2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第19講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí) 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第19講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí) 新人教A版 [考情展望] 1.考查三角函數(shù)圖象的識別.2.考查三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性).3.考查三角函數(shù)的值域(最值). 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì) 函數(shù) y=sin x y=cos x y=tan x 圖象 定義域 x∈R x∈R x∈R且x≠+kπ,k∈Z 值域 [-1,1] [-1,1] R 單調(diào)性 遞增區(qū)間是[2kπ-,2kπ+] (k∈Z), 遞減區(qū)間是 2kπ+,2kπ+(k∈Z) 遞增區(qū)間是[2kπ-π,2kπ](k

2、∈Z), 遞減區(qū)間是 [2kπ,2kπ+π](k∈Z) 遞增區(qū)間是( kπ-,kπ+)(k∈Z) 最值 ymax=1; ymin=-1 ymax=1; ymin=-1 無最大值和最小值 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對稱性 對稱中心 (kπ,0),k∈Z ,k∈Z ,k∈Z 對稱軸 x=kπ+,k∈Z x=kπ,k∈Z 無對稱軸 最小正周期 2π 2π π 三角函數(shù)奇偶性的判斷技巧 1.若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),則 (1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ=+kπ(k∈Z); (2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件

3、是φ=kπ(k∈Z). 2.若f(x)=Acos(ωx+φ)(A,ω≠0),則 (1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ=kπ(k∈Z). (2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ=+kπ(k∈Z). 1.函數(shù)y=tan 3x的定義域?yàn)?  ) A. B. C. D. 【解析】 由3x≠+kπ,k∈Z得x≠+,k∈Z,故選D. 【答案】 D 2.函數(shù)f(x)=2cos是(  ) A.最小正周期為2π的奇函數(shù) B.最小正周期為2π的偶函數(shù) C.最小正周期為2π的非奇非偶函數(shù) D.最小正周期為π的偶函數(shù) 【解析】 f(x)=2cos=2cos =-2sin x,故f(

4、x)是最小正周期為2π的奇函數(shù). 【答案】 A 3.函數(shù)f(x)=sin的圖象的一條對稱軸是(  ) A.x=     B.x= C.x=- D.x=- 【解析】 法一 ∵正弦函數(shù)圖象的對稱軸過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),故令x-=kπ+,k∈Z,∴x=kπ+,k∈Z. 取k=-1,則x=-. 法二 x=時,y=sin=0,不合題意,排除A;x=時,y=sin=,不合題意,排除B;x=-時,y=sin=-1,符合題意,C項(xiàng)正確;而x=-時,y=sin=-,不合題意,故D項(xiàng)也不正確. 【答案】 C 4.比較大?。簊in________sin. 【解析】 ∵-<-<-<0,∴si

5、n>sin. 【答案】?。? 5.(xx·天津高考)函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間上的最小值為(  ) A.-1 B.- C. D.0 【解析】 ∵x∈[0,],∴-≤2x-≤,∴當(dāng)2x-=-時,f(x)=sin(2x-)有最小值-. 【答案】 B 6.(xx·江蘇高考)函數(shù)y=3sin的最小正周期為________. 【解析】 函數(shù)y=3sin的最小正周期T==π. 【答案】 π 考向一 [053] 三角函數(shù)的定義域和值域  (1)函數(shù)y=的定義域?yàn)開_______. (2)求下列函數(shù)的值域: ①y=2cos2 x+2cos x; ②y=3cos x-

6、sin x,x∈[0,π]; ③y=sin x+cos x+sin xcos x. 【思路點(diǎn)撥】 (1)由tan x-1≠0,且x≠+kπ,k∈Z解得. (2)①令cos x=t,轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求解,注意t的范圍. ②借助輔助角公式,化原式成y=Asin(ωx+φ)的形式,借助函數(shù)的單調(diào)性求解. ③令sin x+cos x=t,則sin xcos x=,從而轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求值域. 【嘗試解答】 (1)要使函數(shù)有意義,必需有 即 故函數(shù)的定義域?yàn)? . 【答案】  (2)①y=2cos2x+2cos x=22-. 當(dāng)且僅當(dāng)cos x=1時,得ymax=4, 當(dāng)且僅當(dāng)c

7、os x=-時,得ymin=-, 故函數(shù)值域?yàn)? ②y=3cos x-sin x=2 =2cos. ∵x∈[0,π], ∴≤x+≤, ∴-1≤cos≤, ∴-2≤2cos≤3. ∴y=3cos x-sin x的值域?yàn)閇-2,3]. ③法一:y=sin xcos x+sin x+cos x =+sin =sin2+sin- =2-1, 所以當(dāng)sin=1時, y取最大值1+-=+. 當(dāng)sin=-時,y取最小值-1, ∴該函數(shù)值域?yàn)? 法二:設(shè)t=sin x+cos x,則sin xcos x=(-≤t≤), y=t+t2-=(t+1)2-1, 當(dāng)t=時,y取最

8、大值為+, 當(dāng)t=-1時,y取最小值為-1. ∴函數(shù)值域?yàn)? 規(guī)律方法1 1.求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解三角不等式,常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解. 2.求解三角函數(shù)的值域(最值)的常見類型及方法.,(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域); (2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函數(shù),可先設(shè)sin x=t,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值); (3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函數(shù),可設(shè)t=sin x±cos x,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解. 考向二

9、 [054] 三角函數(shù)的單調(diào)性  求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (1)y=sin;(2)y=|tan x|. 【思路點(diǎn)撥】 (1)y=-sin,再借助復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解;(2)由y=tan x的圖象→y=|tan x|的圖象→求單調(diào)區(qū)間. 【嘗試解答】 (1)y=-sin, 它的增區(qū)間是y=sin的減區(qū)間, 它的減區(qū)間是y=sin的增區(qū)間. 由2kπ-≤3x-≤2kπ+,k∈Z, 得-≤x≤+,k∈Z. 由2kπ+≤3x-≤2kπ+,k∈Z. 得+≤x≤+π,k∈Z. 故所給函數(shù)的減區(qū)間為,k∈Z; 增區(qū)間為,k∈Z. (2)觀察圖象可知,y=|tan x|的增區(qū)間是,k∈

10、Z,減區(qū)間是,k∈Z. 規(guī)律方法2 1.求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時,通常要畫出圖象,結(jié)合圖象判定. 2.求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中,ω>0)的單調(diào)區(qū)間時,要視“ωx+φ”為一個整體,通過解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù),防止把單調(diào)性弄錯. 對點(diǎn)訓(xùn)練 (xx·常州模擬)已知函數(shù)y=sin, 求: (1)函數(shù)的周期; (2)求函數(shù)在[-π,0]上的單調(diào)遞減區(qū)間. 【解】 由y=sin可化為y=-sin. (1)周期T===π. (2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z

11、. 所以x∈R時,y=sin的減區(qū)間為,k∈Z. 取k=-1,0可得函數(shù)在[-π,0]上的單調(diào)遞減區(qū)間為和. 考向三 [055] 三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性  (1)已知函數(shù)f(x)=sin(πx-)-1,則下列說法正確的是(  ) A.f(x)是周期為1的奇函數(shù) B.f(x)是周期為2的偶函數(shù) C.f(x)是周期為1的非奇非偶函數(shù) D.f(x)是周期為2的非奇非偶函數(shù) (2)已知f(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)為偶函數(shù),則φ可以取的一個值為(  ) A.         B. C.-        D.- (3)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)

12、,給出以下四個論斷: ①它的最小正周期為π; ②它的圖象關(guān)于直線x=成軸對稱圖形; ③它的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形; ④在區(qū)間上是增函數(shù). 以其中兩個論斷作為條件,另兩個論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個命題________(用序號表示即可). 【思路點(diǎn)撥】 (1)借助誘導(dǎo)公式對f(x)先化簡,再判斷. (2)化f(x)為Asin(ωx+φ)的形式,再結(jié)合誘導(dǎo)公式求解. (3)本題是一個開放性題目,依據(jù)正弦函數(shù)的圖象及單調(diào)性、周期性以及對稱性逐一判斷. 【嘗試解答】 (1)周期T==2,f(x)=sin-1 =-cos πx-1,因此函數(shù)f(x)是偶函數(shù),故選B. (2)

13、f(x)=2=2cos=2cos,由f(x)為偶函數(shù),知φ+=kπ(k∈Z),即φ=kπ-(k∈Z),由所給選項(xiàng)知只有D適合. (3)若①、②成立,則ω==2;令2·+φ=kπ+,k∈Z,且|φ|<,故k=0,∴φ=.此時f(x)=sin,當(dāng)x=時,sin=sin π=0, ∴f(x)的圖象關(guān)于成中心對稱;又f(x)在上是增函數(shù),∴在上也是增函數(shù),因此①②?③④,用類似的分析可得①③?②④.因此填①②?③④或①③?②④. 【答案】 (1)B (2)D (3)①②?③④或①③?②④ 規(guī)律方法3 1.判斷三角函數(shù)的奇偶性和周期性時,一般先將三角函數(shù)式化為一個角的一種三角函數(shù),再根據(jù)函數(shù)奇偶

14、性的概念、三角函數(shù)奇偶性規(guī)律、三角函數(shù)的周期公式求解. 2.求三角函數(shù)的周期主要有三種方法:(1)周期定義;(2)利用正(余)弦型函數(shù)周期公式;(3)借助函數(shù)的圖象.   思想方法之九 研究三角函數(shù)性質(zhì)的一大“法寶”——整體思想 所謂整體思想就是研究問題時從整體出發(fā),對問題的整體形式、結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行綜合分析、整體處理的思想方法. 在三角函數(shù)學(xué)習(xí)中,運(yùn)用“整體思想”可以解決以下幾類問題 (1)三角函數(shù)的化簡求值; (2)研究三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(如定義域、值域、單調(diào)性等); (3)解三角不等式或求含參變量的取值范圍問題. ———— [1個示范例]  ————[1個對點(diǎn)練] ————

15、    (xx·課標(biāo)全國卷)已知ω>0,函數(shù)f(x)=sin在上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是(  ) A.    B. C. D.(0,2] 【解析】 由<x<π得ω+<ωx+<πω+, 由題意知?, ∴ ∴≤ω≤,故選A. 已知函數(shù)f(x)=2sin ωx在區(qū)間上的最小值為-2,則ω的取值范圍是(  ) A.∪[6,+∞) B.∪ C.(-∞,-2]∪[6,+∞) D.(-∞,-2]∪ 【解析】 當(dāng)ω>0時,由-≤x≤得 -ω≤ωx≤ω,由題意知,-ω≤-,∴ω≥, 當(dāng)ω<0時,由-≤x≤得ω≤ωx≤-ω, 由題意知,ω≤-,∴ω≤-2, 綜上知ω∈(-∞,-2]∪. 【答案】 D

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