2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 函數(shù)的性質(zhì)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 函數(shù)的性質(zhì) 一、函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)圖像的走勢(shì)，高考中?？计湟幌伦饔茫罕容^大小，解不等式，求最值。 定義：（略） 定理1：那么 上是增函數(shù)； 上是減函數(shù). 定理2：（導(dǎo)數(shù)法確定單調(diào)區(qū)間） 若，那么 上是增函數(shù)； 上是減函數(shù). 1.函數(shù)單調(diào)性的判斷(證明) (1)作差法(定義法) (2)作商法 (3)導(dǎo)數(shù)法 2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定 對(duì)于函數(shù)和，如果函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，且函數(shù)在區(qū)間上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間具有單調(diào)性。 3.由單調(diào)函數(shù)的四則運(yùn)算所得到的函數(shù)的單調(diào)性的判斷 對(duì)于兩個(gè)單調(diào)

2、函數(shù)和，若它們的定義域分別為和，且： (1)當(dāng)和具有相同的增減性時(shí)， ①的增減性與相同， ②、、的增減性不能確定； (2)當(dāng)和具有相異的增減性時(shí)，我們假設(shè)為增函數(shù)，為減函數(shù)，那么： ①的增減性不能確定； ②、、為增函數(shù)，為減函數(shù)。 4.奇偶函數(shù)的單調(diào)性 奇函數(shù)在其定義域內(nèi)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其定義域內(nèi)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。 二、函數(shù)的對(duì)稱性 函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì), 對(duì)稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問(wèn)題之中,而且利用對(duì)稱性往往能夠更簡(jiǎn)捷的使問(wèn)題得到解決,對(duì)稱關(guān)系同時(shí)還充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美。 1.函數(shù)的圖象的對(duì)稱性（自身）: 定理1: 函數(shù)的圖象關(guān)于直對(duì)

3、稱 特殊的有： ①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。 ②函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱（奇函數(shù)）。 ③函數(shù)是偶函數(shù)關(guān)于對(duì)稱。 定理2：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 特殊的有： ① 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。 ② 函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇函數(shù)）。 ③ 函數(shù)是奇函數(shù)關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱。 定理3：（性質(zhì)） ①若函數(shù)y=f (x)的圖像有兩條鉛直對(duì)稱軸x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)為周期函數(shù)且2|a-b|是它的一個(gè)周期。 ②若函數(shù)y=f (x)的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心M(m.n)和一條鉛直對(duì)稱軸x=a,那么f(x)為周期函數(shù)且4|a-m|為它的一個(gè)周期。 ③若函數(shù)y = f (x) 圖像同時(shí)關(guān)于

4、點(diǎn)A (a ,c)和點(diǎn)B (b ,c)成中心對(duì)稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個(gè)周期。 ④若一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)是它本身,那么它的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。 2.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性: ①函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對(duì)稱. ②函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱. 特殊地: 與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 ③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的解析式為 ④函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的解析式為 ⑤函數(shù)y = f (x)與a－x = f (a－y)的圖像關(guān)于直線x +y = a成軸對(duì)稱。 函數(shù)y = f (x)與x－a = f (y + a)的圖像關(guān)于直線x－y = a成軸對(duì)稱

5、。 函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對(duì)稱。 3．奇偶函數(shù)性質(zhì) 對(duì)于兩個(gè)具有奇偶性的函數(shù)和，若它們的定義域分別為和，且： （1）滿足定義式子（偶）（奇） （2）在原點(diǎn)有定義的奇函數(shù)有 (3)當(dāng)和具有相同的奇偶性時(shí)，假設(shè)為奇函數(shù)，那么： ①函數(shù)、也為奇函數(shù)； 簡(jiǎn)單地說(shuō)： 奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)， 偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)， 奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)， 偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)， 奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù). ②、為偶函數(shù)； ③兩個(gè)偶函數(shù)之和、差、積、商為偶函數(shù) (4)當(dāng)和具有相異的奇偶性時(shí)，那么： ①、的奇偶性不能

6、確定； ②、、為奇函數(shù)。 （6）任意函數(shù)均可表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和。 （7）一般的奇函數(shù)都具有反函數(shù)，且依然是奇函數(shù)，偶函數(shù)沒(méi)有反函數(shù) （8）圖形的對(duì)稱性 關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)（偶函數(shù)）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)（奇函數(shù)） （9）若是偶函數(shù)，則必有 若是奇函數(shù)，則必有 （10）若為偶函數(shù)，則必有 若是奇函數(shù)，則必有 （11）常見(jiàn)的奇偶函數(shù) 三、函數(shù)的周期性 函數(shù)的周期性反映了函數(shù)的重復(fù)性，在試題中它的主要用途是將大值化小，負(fù)值化正，求值。 1.周期性的定義 對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有都成立，那么就把函數(shù)

7、叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù)，就把這個(gè)最小的正數(shù)叫做最小正周期。如果非零常數(shù)是函數(shù)的周期，那么、（）也是函數(shù)的周期。 2. 函數(shù)的周期性的主要結(jié)論： 結(jié)論1：如果（），那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期 結(jié)論2：如果（），那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期 結(jié)論3：如果定義在上的函數(shù)有兩條對(duì)稱軸、對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期 結(jié)論4：如果偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期 結(jié)論5：如果奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期 結(jié)論6：如果函數(shù)同時(shí)關(guān)于兩點(diǎn)、（）成中心對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)

8、周期 結(jié)論7：如果奇函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（）成中心對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期 結(jié)論8：如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)（）成中心對(duì)稱，且關(guān)于直線（）成軸對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期 結(jié)論9：如果或，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期 結(jié)論10：如果或，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期 結(jié)論11：如果，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期 函數(shù)的圖象和性質(zhì)課堂例題 一、函數(shù)圖象的分析和判斷 例1 (1)設(shè)a

9、x)＞2x＋4的解集為 （2）若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且滿足f(x) ＞x f′(x)，則一定有（ ） A、2 f(5)< f(10) B、2 f(5)> f(10) C、2 f(5)= f(10) D、f(5)< f(10) (3)(xx浙江9) 9．設(shè)，，則（ ） A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則 類型三：函數(shù)的性質(zhì)（對(duì)稱性、奇偶性、周期性、單調(diào)性） 判斷對(duì)稱性的問(wèn)題： 例3：判斷函數(shù)對(duì)稱性命題的正誤 有以下四個(gè)命題： (1) 定義在R上的函數(shù)y=f(x)

10、，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x-1) +f(1-x)=2，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱。 (2) 定義在R上的函數(shù)y=f(x)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x-1) =f(1-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。 (3) 同一坐標(biāo)系中，實(shí)數(shù)集上的函數(shù)y= f(x-1)與實(shí)數(shù)集上的函數(shù)y=f(1-x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱。 (4) 同一坐標(biāo)系中，實(shí)數(shù)集上的函數(shù)y= f(x+1)與實(shí)數(shù)集上的函數(shù)y=f(1-x)的圖象關(guān)于x=0對(duì)稱。 其正確的命題是 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 判斷函數(shù)的奇偶性 例4：（xx年全國(guó)1卷）函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

11、R，若與都是奇函數(shù)，則（ ） (A) 是偶函數(shù) (B) 是奇函數(shù) (C) (D) 是奇函數(shù) 練習(xí)：設(shè)，、，且＞，則下列結(jié)論必成立的是（ ） A. ＞ B. +＞0 C. ＜ D. ＞ 3．[xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ] 設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函數(shù)B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù) 函數(shù)周期性的問(wèn)題 例5、

12、已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，且f(4)＝4，則f(2 012)＝(　　) A．0 B．－4 C．－8 D．－16 練習(xí)1．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足 f＝－f(x)，且函數(shù)y＝f為奇函數(shù)，給出三個(gè)結(jié)論：①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③f(x)是偶函數(shù)．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 。 練習(xí)2.(xx·高考天津卷)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞

13、增．若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，則a的取值范圍是(　　) A．[1，2] B. C. D．(0，2] 【思路點(diǎn)撥】　(1)先確定y＝－3|x|的奇偶性及單調(diào)性，再驗(yàn)證． 練習(xí)3.(1)(xx·高考山東卷)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當(dāng)－3≤x＜－1時(shí)，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x＜3時(shí)，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝(　　) A．335 B．338 C．1 678 D．2 012 (2)(xx·高考江蘇卷)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－4x

14、，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為_(kāi)_______． 類型四：交點(diǎn)和所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和 例6、(1)(新課標(biāo)2011、12)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于（ ） （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 (2)(新課標(biāo)2011、12)已知函數(shù)y= f (x) 的周期為2，當(dāng)x時(shí) f (x) =x2,那么函數(shù)y = f (x) 的圖像與函數(shù)y =的圖像的交點(diǎn)共有( ) （A）10個(gè) （B）9個(gè) （C）8個(gè) （D）1個(gè) 類型五：分段函數(shù)問(wèn)題 例7（13年11）已知函數(shù)f(x

15、)＝，若| f(x)|≥ax，則a的取值范圍是( ) A、（－∞，0] B、（－∞，1] C、[－2，1] D、[－2，0] 【解析】∵||=，∴由||≥得，且， 由可得，則≥-2，排除Ａ，Ｂ， 當(dāng)=1時(shí)，易證對(duì)恒成立，故=1不適合，排除C，故選D. 類型六：三次函數(shù)的問(wèn)題： 例8、（14年11） 已知函數(shù)=，若存在唯一的零點(diǎn)，且＞0，則的取值范圍為（ ） .（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）11．已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是 A． B． C． D． 解析：當(dāng)時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件 當(dāng)時(shí)，，令， 解得，當(dāng)時(shí)，在，為極小值，為極大值，若存在唯一的零點(diǎn)，且，只需，當(dāng)時(shí)，在，為極大值，為極小值，不可能有滿足條件的極值，故選C