2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第40講 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理練習(xí) 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第40講 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.考查分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.2.多以選擇題、填空題形式考查． 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理 1．分類加法計(jì)數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法． 2．分步乘法計(jì)數(shù)原理 完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法． 1．在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有(　　) A．50個(gè)　

2、　　B．45個(gè)　　　C．36個(gè)　　　D．35個(gè) 【解析】　根據(jù)題意，十位數(shù)上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目要求的兩位數(shù)分別有8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)． 由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè))． 【答案】　C 2．在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息．若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為(　　) A．10 B．11 C．12 D．15 【解析】　若4個(gè)位置的數(shù)字都不同

3、的信息個(gè)數(shù)為1；若恰有3個(gè)位置的數(shù)字不同的信息個(gè)數(shù)為C；若恰有2個(gè)位置上的數(shù)字不同的信息個(gè)數(shù)為C. 由分類計(jì)數(shù)原理知滿足條件的信息個(gè)數(shù)為1＋C＋C＝11. 【答案】　B 3．某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的6個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個(gè)新節(jié)目，如果將這3個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為(　　) A．504 B．210 C．336 D．120 【解析】　分三步，先插一個(gè)新節(jié)目，有7種方法，再插第二個(gè)新節(jié)目，有8種方法，最后插第三個(gè)節(jié)目，有9種方法． 故共有7×8×9＝504種不同的插法． 【答案】　A 4．甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1

4、門相同的選法有(　　) A．6種 B．12種 C．24種 D．30種 【解析】　分步完成．首先甲、乙兩人從4門課程中同選1門，有4種方法，其次甲從剩下的3門課程中任選1門，有3種方法，最后乙從剩下的2門課程中任選1門，有2種方法，于是，甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法共有4×3×2＝24(種)，故選C. 【答案】　C 5．(xx·山東高考)用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．243 B．252 C．261 D．279 【解析】　0,1,2，…，9共能組成9×10×10＝900(個(gè))三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝

5、648(個(gè))， ∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個(gè))． 【答案】　B 6．(xx·浙江高考)將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答)． 【解析】　按C的位置分類計(jì)算． ①當(dāng)C在第一或第六位時(shí)，有A＝120(種)排法； ②當(dāng)C在第二或第五位時(shí)，有AA＝72(種)排法； ③當(dāng)C在第三或第四位時(shí)，有AA＋AA＝48(種)排法． 所以共有2×(120＋72＋48)＝480(種)排法． 【答案】　480 考向一 [172]　分類加法計(jì)數(shù)原理 第十章　計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布　集合P＝{

6、x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…9}，且P?Q，把滿足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(　　) A．9　　　B．14　　　C．15　　　D．21 【思路點(diǎn)撥】　由P?Q可知：x＝y(tǒng)或x＝2，故可按分類加法計(jì)數(shù)原理求解． 【嘗試解答】　∵P?Q，∴x＝y(tǒng)或x＝2. ①當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3,4，…9，共有7種選法． ②當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，y＝3,4，…9，共有7種選法． ∴共有滿足條件的點(diǎn)7＋7＝14(個(gè))． 【答案】　B 規(guī)律方法1　分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在，重點(diǎn)在于抓住題目中的關(guān)鍵詞或關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置.首先

7、根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)；其次分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　 圖10－1－1 如圖10－1－1所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)． 【解析】　把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類： 第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32(個(gè))． 第二類，有兩條公共邊的三角形共有8(個(gè))． 由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有32＋8＝40(個(gè))． 【答案】　40 考向二 [173]　分步乘法計(jì)數(shù)原理 　(xx·大綱全國卷)將字母a，a，

8、b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有(　　) A．12種　　　B．18種　　　C．24種　　　D．36種 【思路點(diǎn)撥】　先排第一列三個(gè)位置，再排第二列第一行上的元素，則其余位置上元素就可以確定． 【嘗試解答】　先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A種不同排法． 再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A種不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1種排法． 因此共有A·A·1＝12(種)不同的排列方法． 【答案】　A 規(guī)律方法2　1.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且也要確

9、定分步的標(biāo)準(zhǔn)，分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事. 2.分步必須滿足兩個(gè)條件：(1)步驟互相獨(dú)立，互不干擾.(2)步與步確保連續(xù)，逐步完成. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，則 (1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個(gè)不同的二次函數(shù)； (2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個(gè)圖象開口向上的二次函數(shù)． 【解】　(1)a的取值有5種情況，b的取值有6種情況，c的取值有6種情況，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180個(gè)不同的二次函數(shù)． (2)y＝ax2＋bx＋c的開口向上時(shí)，a的取值有

10、2種情況，b、c的取值均有6種情況． 因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72個(gè)圖象開口向上的二次函數(shù)． 考向三 [174]　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 　在1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字所組成的允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，其各個(gè)數(shù)字之和為9的三位數(shù)共有(　　) A．16個(gè)　　　B．18個(gè)　　　C．19個(gè)　　　D．21個(gè) 【思路點(diǎn)撥】　先確定出三個(gè)數(shù)字(可以有相同的)之和為9的有幾類，然后對(duì)每類體別用分步列式計(jì)算． 【嘗試解答】　三個(gè)數(shù)字和為9的有以下五類： ①1＋3＋5，②2＋3＋4，③2＋2＋5，④1＋4＋4，⑤3＋3＋3. 其中第①、②類的個(gè)數(shù)相同，例如用1、3、5排成一

11、個(gè)三位數(shù)，百位有3種排法，十位有2種排法，個(gè)位有1種排法，共有3×2×1＝6個(gè)． 第③、④類的個(gè)數(shù)相同，例如用1、4、4排成三位數(shù)有3個(gè)，百位是1，其他兩位是4；十位是1，其他兩位是4；個(gè)位是1，其他兩位是4. 第⑤類只有一個(gè)數(shù)333. 總之，各個(gè)數(shù)字之和為9的共有 6＋6＋3＋3＋1＝19(個(gè))． 【答案】　C 規(guī)律方法3　用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，關(guān)鍵是明確需要分類還是分步. (1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù). (2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務(wù)，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到

12、總數(shù). 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(xx·北京高考)從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．24　　　B．18　　　C．12　　　D．6 【解析】　根據(jù)所選偶數(shù)為0和2分類討論求解． 當(dāng)選0時(shí)，先從1,3,5中選2個(gè)數(shù)字有C種方法，然后從選中的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè)排在末位有C種方法，剩余1個(gè)數(shù)字排在首位，共有CC＝6(種)方法；當(dāng)選2時(shí)，先從1,3,5中選2個(gè)數(shù)字有C種方法，然后從選中的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè)排在末位有C種方法，其余2個(gè)數(shù)字全排列，共有CCA＝12(種)方法．依分類加法計(jì)數(shù)原理知共有6＋12＝18(個(gè))奇數(shù)． 【答案】　B

13、 思想方法之二十二　分類討論思想在計(jì)數(shù)原理中的妙用 分類加法計(jì)數(shù)原理體現(xiàn)了分類討論思想在計(jì)數(shù)原理中的應(yīng)用．解決此類問題的關(guān)鍵是確定分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重復(fù)、不遺漏． ————[1個(gè)示范例]————[1個(gè)對(duì)點(diǎn)練]———— 圖10－1－2 　編號(hào)為A，B，C，D，E的五個(gè)小球放在如圖10－1－2所示的五個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子只能放一個(gè)小球，且A球不能放在1,2號(hào)，B球必須放在與A球相鄰的盒子中，求不同的放法有多少種？ 【解】　根據(jù)A球所在位置分三類： (1)若A球放在3號(hào)盒子內(nèi)，則B球只能放在4號(hào)盒子內(nèi)，余下的三個(gè)盒子放球C、D、E，則根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，3×2×1＝6種不

14、同的放法； (2)若A球放在5號(hào)盒子內(nèi)，則B球只能放在4號(hào)盒子內(nèi)，余下的三個(gè)盒子放球C、D、E，則根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，3×2×1＝6種不同的放法； (3)若A球放在4號(hào)盒子內(nèi)，則B球可以放在2號(hào)、3號(hào)、5號(hào)盒子中的任何一個(gè)，余下的三個(gè)盒子放球C、D、E有A＝6種不同的放法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，3×3×2×1＝18種不同方法． 綜上所述，由分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30種． 如圖10－1－3，用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有________． 圖10－1－3 【解析】　按區(qū)域1與3是否同色分類： (1)區(qū)域1與3同色：先涂區(qū)域1與3有4種方法，再涂區(qū)域2,4,5(還有3種顏色)有A種方法． ∴區(qū)域1與3涂同色，共有4A＝24種方法． (2)區(qū)域1與3不同色：先涂區(qū)域1與3有A種方法，第二步涂區(qū)域2有2種涂色方法，第三步涂區(qū)域4只有一種方法，第四步涂區(qū)域5有3種方法． ∴這時(shí)共有A×2×1×3＝72種方法， 故由分類計(jì)數(shù)原理，不同的涂色種數(shù)為24＋72＝96. 【答案】　96