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1、2022年高考數(shù)學 直線與圓的位置關系練習
(45分鐘 100分)
一、選擇題(每小題6分,共18分)
1.如圖,已知AB是☉O的一條弦,點P為AB上一點,PC⊥OP,PC交☉O于C,若AP=4,PB=2,則PC的長是( )
A.3 B.2 C.2 D.
【解析】選B.如圖,延長CP,交☉O于D,因為PC⊥OP,
由垂徑定理可得,PC=PD,
由相交弦定理得,
PA·PB=PC·PD=PC2,
又由AP=4,PB=2,
所以PC=2.故選B.
2.(xx·石景山模擬)已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,以BC為直徑的圓交AB于
2、D,則BD的長為( )
【解析】選D.由題意得AC=3,又AC2=AD·AB,
3.如圖所示,圓O上一點C在直徑AB上的射影為D,CD=4,BD=8,則AD的長等
于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】選A.因為AB是圓O的直徑,所以AC⊥BC,
所以∠B+∠A=90°,因為CD⊥AB,
所以∠B+∠DCB=90°,所以∠DCB=∠A,
所以Rt△ADC∽Rt△CDB,
所以DC2=AD·DB,
因為CD=4,BD=8,所以AD==2.
二、填空題(每小題6分,共18分)
4.(xx·天津模擬)如圖,AB是圓O的直徑,C
3、D⊥AB于D,且AD=2BD,E為AD的中點,連接CE并延長交圓O于F.若CD=,則EF= .
【解析】因為AB是圓O的直徑,所以∠ACB=90°.
所以CD2=AD·DB.
因為AD=2DB,所以CD2=2DB2,
因為CD=,所以DB=1,
所以AB=AD+DB=3.
因為E為AD的中點,所以ED=1.
在Rt△CDE中,,
由相交弦定理可得:EA·EB=EC·EF,
所以1×2=EF,所以EF=.
答案:
5.(xx·黃岡模擬)如圖所示,EB,EC是圓O的兩條切線,B,C是切點,A,D是圓O上兩點,如果∠E=46°,∠DCF=32°,則∠A的度數(shù)是
4、 .
【解析】EB,EC是圓O的兩條切線,所以EB=EC,
又因為∠E=46°,所以∠ECB=∠EBC=67°,
所以∠BCD=180°-(∠BCE+∠DCF)=180°-99°=81°,
因為四邊形ADCB內(nèi)接于☉O,
所以∠A+∠BCD=180°,所以∠A=180°-81°=99°.
答案:99°
6.(xx·梅州模擬)如圖,從圓O外一點P引圓O的割線PAB和PCD,PCD過圓心O,已知PA=1,AB=2,PO=3,則圓O的半徑等于 .
【解析】設半徑為r,則PC=PO-CO=3-r,
PD=PO+OD=3+r.
根據(jù)割線定理可得PA·PB=PC·PD,
5、
即1×(1+2)=(3+r)(3-r),
所以9-r2=3,r2=6,所以r=.
答案:
三、解答題(每小題16分,共64分)
7.(xx·鄭州模擬)如圖,點A是以線段BC為直徑的圓O上一點,AD⊥BC于點D,過點B作圓O的切線,與CA的延長線交于點E,點G是AD的中點,連接CG并延長與BE相交于點F,延長AF與CB的延長線相交于點P.
(1)求證:BF=EF.
(2)求證:PA是圓O的切線.
【證明】(1)因為BC是圓O的直徑,BE是圓O的切線,所以EB⊥BC,又因為AD⊥BC,所以AD∥BE,可知△BFC∽△DGC,△FEC∽△GAC,所以,因為G是AD的中點,所以
6、DG=AG,所以BF=EF.
(2)如圖,連接AO,AB,因為BC是圓O的直徑,所以∠BAC=90°.
在Rt△BAE中,由(1)知F是斜邊BE的中點,
所以AF=FB=EF,所以∠FBA=∠FAB.
又因為OA=OB,所以∠ABO=∠BAO.
因為BE是圓O的切線,所以∠EBO=90°.
因為∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°,所以PA是圓O的切線.
8.(xx·銀川模擬)如圖,已知AP是☉O的切線,P為切點,AC為☉O的割線,且與☉O交于B,C兩點,圓心O在∠PAC的內(nèi)部,點M是BC的中點.
(1)證明A,P,O,M四點共圓.
(2
7、)求∠OAM+∠APM的大小.
【解析】(1)連接OP,OM,因為AP與☉O相切于點P,所以OP⊥AP,因為M是BC中點,所以OM⊥BC,所以∠OPA+∠OMA=180°,因為圓心在∠PAC的內(nèi)部,所以四邊形APOM的對角互補,所以A,P,O,M四點共圓.
(2)由(1)A,P,O,M四點共圓,所以∠OAM=∠OPM.
又OP⊥AP,所以∠OPM+∠APM=90°,所以∠OAM+∠APM=90°.
9. (xx·邯鄲模擬)如圖,A,B,C是圓O上三個點,AD是∠BAC的平分線,交圓O于D,過B作直線BE交AD延長線于E,使BD平分∠EBC.
(1)求證:BE是圓O的切線.
(2
8、)若AE=6,AB=4,BD=3,求DE的長.
【解析】(1)連接BO并延長交圓O于G,連接CG,
因為∠DBC=∠DAC,
又因為AD平分∠BAC,BD平分∠EBC,
所以∠EBC=∠BAC.
又因為∠BGC=∠BAC,所以∠EBC=∠BGC,
因為∠GBC+∠BGC=90°,
所以∠GBC+∠EBC=90°,所以OB⊥BE,
所以BE是圓O的切線.
(2)由(1)可知△BDE∽△ABE, ,
所以AE·BD=AB·BE,
AE=6,AB=4,BD=3,所以BE=.
由切割線定理,得BE2=DE·AE,
所以DE=.
10.如圖,E,P,B,C為圓O上的四點,
9、直線PB,PC,BC分別交直線EO于M,N,A三點,且PM= PN.
(1)求證:∠POA+∠BAO=90°.
(2)若BC∥PE,求的值.
【解析】(1)過點P作圓O的切線交直線EO于F點,
由弦切角性質(zhì)可知∠NPF=∠PBA,
因為PM=PN,所以∠PNO=∠PMA,
則∠PNO-∠NPF=∠PMA-∠PBA,
即∠PFN=∠BAO.又PF為圓O的切線,
(2)若BC∥PE,則∠PEO=∠BAO,
又∠POA=2∠PEO,故∠POA=2∠BAO,
由(1)可知90°=∠POA+∠BAO=3∠BAO,
故∠BAO=30°,
則∠PEO=∠BAO=30°,cos∠PEO=,
2022年高考數(shù)學 直線與圓的位置關系練習
