2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題突破 專題五 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 理
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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題突破 專題五 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 理 1.(xx·福建)若雙曲線E:-=1的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在雙曲線E上,且|PF1|=3,則|PF2|等于( ) A.11 B.9 C.5 D.3 2.(xx·課標(biāo)全國Ⅰ)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個交點(diǎn),若=4,則|QF|等于( ) A. B. C.3 D.2 3.(xx·浙江)橢圓+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0) 關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)Q在橢圓上,則橢圓的離心率是________. 4.(xx·安徽)設(shè)F
2、1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+=1(0|F1F2|); (2)雙曲線:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|); (3)拋物線:|PF|=|PM|,點(diǎn)F不在直線l上,PM⊥l于M. 2.求解圓錐
3、曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型,后計(jì)算” 所謂“定型”,就是曲線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的位置;所謂“計(jì)算”,就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2,p的值. 例1 (1)若橢圓C:+=1的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在橢圓C上,且|PF2|=4,則∠F1PF2等于( ) A.30° B.60° C.120° D.150° (2)(xx·杭州模擬)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=x,它的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),則雙曲線的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.x2-=1 D.-y2=1 思維升華 (1)準(zhǔn)確把握圓錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì),注意焦
4、點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上時,橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式.(2)求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數(shù)法,可結(jié)合草圖確定. 跟蹤演練1 (1)(xx·大綱全國)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,離心率為,過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn).若△AF1B的周長為4,則C的方程為( ) A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 (2)(xx·天津)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線過點(diǎn)(2,) ,且雙曲線的一個焦點(diǎn)在拋物線y2=4x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 熱點(diǎn)二 圓
5、錐曲線的幾何性質(zhì) 1.橢圓、雙曲線中,a,b,c之間的關(guān)系 (1)在橢圓中:a2=b2+c2,離心率為e== ; (2)在雙曲線中:c2=a2+b2,離心率為e==. 2.雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為 y=±x.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系. 例2 (1)橢圓Γ:+=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c.若直線y=(x+c)與橢圓Γ的一個交點(diǎn)M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于________. (2)(xx·杭州模擬)已知雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過F1作圓x2+y2=a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支
6、于點(diǎn)B、C,且|BC|=|CF2|,則雙曲線的漸近線方程為( ) A.y=±3x B.y=±2x C.y=±(+1)x D.y=±(-1)x 思維升華 (1)明確圓錐曲線中a,b,c,e各量之間的關(guān)系是求解問題的關(guān)鍵. (2)在求解有關(guān)離心率的問題時,一般并不是直接求出c和a的值,而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點(diǎn),建立關(guān)于參數(shù)c,a,b的方程或不等式,通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍. 跟蹤演練2 (1)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓+=1 (a>b>0)的左,右焦點(diǎn),若在直線x=上存在點(diǎn)P,使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2,則橢圓的離心率的取值范圍是( ) A. B
7、. C. D. (2)(xx·重慶)設(shè)雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn),過B,C分別作AC,AB的垂線,兩垂線交于點(diǎn)D,若D到直線BC的距離小于a+,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-,0)∪(0,) D.(-∞,-)∪(,+∞) 熱點(diǎn)三 直線與圓錐曲線 判斷直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個數(shù)或求交點(diǎn)問題有兩種常用方法 (1)代數(shù)法:即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關(guān)于x,y的方程組,消去y(或x)得一元方程,此方程根的個數(shù)即為交點(diǎn)個數(shù)
8、,方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo); (2)幾何法:即畫出直線與圓錐曲線的圖象,根據(jù)圖象判斷公共點(diǎn)個數(shù). 例3 (xx·江蘇改編)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,且右焦點(diǎn)F到直線l:x=-的距離為3. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)過F的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P,C,若|PC|=2|AB|,求直線AB的方程. 思維升華 解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)而不求思想,弦長公式等簡化計(jì)算;涉及中
9、點(diǎn)弦問題時,也可用“點(diǎn)差法”求解. 跟蹤演練3 (1)(xx·四川)過雙曲線x2-=1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線,交該雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點(diǎn),則|AB|等于( ) A. B.2 C.6 D.4 (2)(xx·浙江杭州二中月考)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 1.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線上有兩點(diǎn)A,B,若直線l的方程為x+y-2=0,且AB⊥l,則橢圓+=1的離心率為( )
10、A. B.
C. D.
2.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,且點(diǎn)(1,)在該橢圓上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過橢圓C的左焦點(diǎn)F1的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),若△AOB的面積為,求圓心在原點(diǎn)O且與直線l相切的圓的方程.
提醒:完成作業(yè) 專題五 第2講
二輪專題強(qiáng)化練
專題五
第2講 橢圓、雙曲線、拋物線
A組 專題通關(guān)
1.已知橢圓+=1(0 11、.2
C.1 D.
2.(xx·廣東)已知雙曲線C:-=1的離心率e=,且其右焦點(diǎn)為F2(5,0),則雙曲線C的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
3.(xx·課標(biāo)全國Ⅱ)已知A,B為雙曲線E的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則E的離心率為( )
A. B.2 C. D.
4.已知雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)的離心率為2.若拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為( )
A.x2=y(tǒng) B.x2=y(tǒng)
C.x2=8y D.x2=16 12、y
5.(xx·課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為( )
A. B. C. D.
6.已知P為橢圓+=1上的一點(diǎn),M,N分別為圓(x+3)2+y2=1和圓(x-3)2+y2=4上的點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值為________.
7.已知點(diǎn)P(0,2),拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,線段PF與拋物線C的交點(diǎn)為M,過M作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為Q,若∠PQF=90°,則p=________.
8.(xx·山東)平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)的漸 13、近線與拋物線C2:x2=2py(p>0)交于點(diǎn)O,A,B.若△OAB的垂心為C2的焦點(diǎn),則C1的離心率為________.
9.已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,焦距為2,離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)M(0,1),且與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),若=2,求直線l的方程.
10.(xx·浙江)已知橢圓+y2=1上兩個不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=mx+對稱.
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
B組 能力提高
11.(xx·遼寧)已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,過點(diǎn) 14、A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,則直線BF的斜率為( )
A. B.
C. D.
12.(xx·浙江六校聯(lián)考)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P為雙曲線上任一點(diǎn),且·的最小值的取值范圍是[-c2,-c2],則該雙曲線的離心率的取值范圍為( )
A.(1,] B.[,2]
C.(1,) D.[2,+∞)
13.已知拋物線y2=4x的準(zhǔn)線過雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)且與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且△AOB的面積為,則雙曲線的離心率為________.
14.已知橢圓C的長軸左、右頂點(diǎn)分別為A, 15、B,離心率e=,右焦點(diǎn)為F,且·=-1.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若P是橢圓C上的一動點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q,點(diǎn)P在x軸上的射影點(diǎn)為M,連接QM并延長交橢圓于點(diǎn)N,求證:∠QPN=90°.
學(xué)生用書答案精析
第2講 橢圓、雙曲線、拋物線
高考真題體驗(yàn)
1.B [由雙曲線定義||PF2|-|PF1||=2a,∵|PF1|=3,∴P在左支上,∵a=3,
∴|PF2|-|PF1|=6,
∴|PF2|=9,故選B.]
2.C [∵=4,∴||=4||,
∴=.
如圖,過Q作QQ′⊥l,垂足為Q′,
設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為A 16、,
則|AF|=4,
∴==,∴|QQ′|=3,根據(jù)拋物線定義可知|QQ′|=|QF|=3,故選C.]
3.
解析 方法一 設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為
F1(-c,0),如圖,連接QF1,QF,設(shè)QF與直線y=x交于點(diǎn)M.由題意知M為線段QF的中點(diǎn),且OM⊥FQ.
又O為線段F1F的中點(diǎn),
∴F1Q∥OM,
∴F1Q⊥QF,|F1Q|=2|OM|.
在Rt△MOF中,tan∠MOF==,|OF|=c,
可解得|OM|=,|MF|=,故|QF|=2|MF|=,|QF1|=2|OM|=.
由橢圓的定義得|QF|+|QF1|=+=2a,整理得b=c,
∴a==c,故e==.
方法 17、二 設(shè)Q(x0,y0),則FQ的中點(diǎn)坐標(biāo),kFQ=,依題意
解得
又∵(x0,y0)在橢圓上,
∴+=1,
令e=,則4e6+e2=1,
∴離心率e=.
4.x2+y2=1
解析 設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0).
∵x2+=1,
∴F1(-,0),F(xiàn)2(,0).
∵AF2⊥x軸,∴A(,b2).
∵|AF1|=3|F1B|,∴=3,
∴(-2,-b2)=3(x0+,y0).
∴x0=-,y0=-.
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
將B代入x2+=1,
得b2=.∴橢圓E的方程為x2+y2=1.
熱點(diǎn)分類突破
例1 (1)C (2)C
解析 (1)由題意得a=3,c=, 18、
所以|PF1|=2.
在△F2PF1中,
由余弦定理可得cos∠F2PF1==-.
又因?yàn)閏os∠F2PF1∈(0°,180°),所以∠F2PF1=120°.
(2)雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程是
y=±x,故可知=,
又∵焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),
∴c==2,
解得a=1,b=.
∴雙曲線方程為x2-=1.
跟蹤演練1 (1)A (2)D
解析 (1)由e=得=.①
又△AF1B的周長為4,
由橢圓定義,得4a=4,得a=,
代入①得c=1,∴b2=a2-c2=2,
故C的方程為+=1.
(2)雙曲線-=1的漸近線方程為y=±x,又漸近線過點(diǎn)( 19、2,),所以=,即2b=a,①
拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-,
由已知,得=,即a2+b2=7,②
聯(lián)立①②解得a2=4,b2=3,
所求雙曲線的方程為-=1,選D.
例2 (1)-1 (2)C
解析 (1)直線y=(x+c)過點(diǎn)F1(-c,0),且傾斜角為60°,所以∠MF1F2=60°,從而∠MF2F1=30°,所以MF1⊥MF2.
在Rt△MF1F2中,|MF1|=c,|MF2|=c,所以該橢圓的離心率e===-1.
(2)由題意作出示意圖,
易得直線BC的斜率為,
cos∠CF1F2=,
又由雙曲線的定義及|BC|=|CF2|
可得|CF1|-
|CF2 20、|=|BF1|
=2a,
|BF2|-|BF1|
=2a?|BF2|=4a,
故cos∠CF1F2==?b2-2ab-2a2=0?()2-2()-2=0?=1+,故雙曲線的漸近線方程為y=±(+1)x.
跟蹤演練2 (1)D (2)A
解析 (1)設(shè)P,線段F1P的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,
當(dāng)kQF2存在時,則kF1P=,
kQF2=,
由kF1P·kQF2=-1,得
y2=,y2≥0,
但注意到b2-2c2≠0,即2c2-b2>0,
即3c2-a2>0,即e2>,故 21、得≤e<1,
即所求的橢圓離心率的取值范圍是.
(2)由題作出圖象如圖所示.
由-=1可知A(a,0),F(xiàn)(c,0).
易得
B,
C.
∵kAB==,
∴kCD=.
∵kAC==,
∴kBD=-.
∴l(xiāng)BD:y-=-(x-c),
即y=-x++,
lCD:y+=(x-c),
即y=x--.
∴xD=c+.
∴點(diǎn)D到BC的距離為.
∴b2,∴0<<1.∴0<<1.
例3 解 (1)由題意,得=且c+=3,
解得a=,c=1,則b=1,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)當(dāng)AB⊥ 22、x軸時,|AB|=,
又|CP|=3,不合題意.
當(dāng)AB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
將直線AB的方程代入橢圓方程,
得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,
則x1,2=,
C的坐標(biāo)為,且
|AB|==
=.
若k=0,則線段AB的垂直平分線為y軸,與直線l平行,不合題意.
從而k≠0,故直線PC的方程為
y+=-,
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為,
從而|PC|=.
因?yàn)閨PC|=2|AB|,
所以=,
解得k=±1.
此時直線AB的方程為y=x-1或y=-x+1.
跟蹤演練3 (1)D (2)D
23、
解析 (1)由題意知,雙曲線x2-=1的漸近線方程為y=±x,將x=c=2代入得y=±2,即A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,2),(2,-2),所以|AB|=4.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓的方程有,
+=1,+=1,
兩式相減得,+
=0.
∵線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),
∴x1+x2=2,y1+y2=-2代入上式得:
=.
∵直線AB的斜率為=,
∴=?a2=2b2,
∵右焦點(diǎn)為F(3,0),
∴a2-b2=c2=9,
解得a2=18,b2=9,
又此時點(diǎn)(1,-1)在橢圓內(nèi),
∴橢圓方程為+=1.
高考押題精練
1.C [由條 24、件可知直線l的斜率為-,又AB⊥l,可知直線AB的斜率為,故=,故=2,由此可知a>b>0,則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)橢圓的焦距為2c,則=2,解得橢圓的離心率為=.]
2.解 (1)由題意可得e==,
又a2=b2+c2,
所以b2=a2.
因?yàn)闄E圓C經(jīng)過點(diǎn)(1,),
所以+=1,
解得a=2,所以b2=3,
故橢圓C的方程為+=1.
(2)由(1)知F1(-1,0),設(shè)直線l的方程為x=ty-1,
由消去x,
得(4+3t2)y2-6ty-9=0,
顯然Δ>0恒成立,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1+y2=,y1y2=-,
所以|y1-y2|=
= 25、=,
所以S△AOB=·|F1O|·|y1-y2|
==,
化簡得18t4-t2-17=0,
即(18t2+17)(t2-1)=0,
解得t=1,t=-(舍去),
又圓O的半徑r=
=,
所以r=,故圓O的方程為x2+y2=.
二輪專題強(qiáng)化練答案精析
第2講 橢圓、雙曲線、拋物線
1.A [已知橢圓+=1(0 26、曲線方程為-=1,故選C.]
3.D [如圖,設(shè)雙曲線E的方程為-=1(a>0,b>0),則|AB|=2a,由雙曲線的對稱性,可設(shè)點(diǎn)M(x1,y1)在第一象限內(nèi),過M作MN⊥x軸于點(diǎn)N(x1,0),∵△ABM為等腰三角形,且∠ABM=120°,∴|BM|=|AB|=2a,∠MBN=60°,
∴y1=|MN|=|BM|sin∠MBN
=2asin 60°=a,x1=|OB|+|BN|=a+2acos 60°=2a.將點(diǎn)M(x1,y1)的坐標(biāo)代入-=1,可得a2=b2,∴e===,選D.]
4.D [∵雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)的離心率為2,
∴==2,∴b=a,
∴雙曲線的 27、漸近線方程為x±y=0,
∴拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為=2,
∴p=8.∴所求的拋物線方程為x2=16y.]
5.D [由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(,0),
因此直線AB的方程為y=(x-),
即4x-4y-3=0.
方法一 聯(lián)立拋物線方程化簡得
4y2-12y-9=0,
故|yA-yB|==6.
因此S△OAB=|OF||yA-yB|=××6=.
方法二 聯(lián)立方程得x2-x+=0,
故xA+xB=.
根據(jù)拋物線的定義有|AB|=xA+xB+p=+=12,
同時原點(diǎn)到直線AB的距離為h==,
因此S△OAB=|AB|·h=.]
6. 28、7
解析 由題意知橢圓的兩個焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2分別是兩圓的圓心,且|PF1|+|PF2|=10,從而|PM|+|PN|的最小值為
|PF1|+|PF2|-1-2=7.
7.
解析 由拋物線的定義可得|MQ|=|MF|,
F(,0),又PQ⊥QF,故M為線段PF的中點(diǎn),所以M(,1),把M(,1),代入拋物線y2=2px(p>0)得,1=2p×,
解得p=,故答案為.
8.
解析 由題意,不妨設(shè)直線OA的方程為y=x,直線OB的方程為y=-x.
由得x2=2p ·x,
∴x=,y=,∴A.
設(shè)拋物線C2的焦點(diǎn)為F,則F,
∴kAF=.
∵△OAB的垂心為F,∴AF⊥OB,
29、
∴kAF·kOB=-1,
∴·=-1,∴=.
設(shè)C1的離心率為e,則e2===1+=.∴e=.
9.解 (1)設(shè)橢圓方程為+
=1(a>0,b>0),
因?yàn)閏=1,=,
所以a=2,b=,
所以橢圓方程為+=1.
(2)由題意得直線l的斜率存在,
設(shè)直線l的方程為y=kx+1,
聯(lián)立方程
得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且Δ>0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由=2,得x1=-2x2,
又
所以
消去x2得()2=,
解得k2=,k=±,
所以直線l的方程為y=±x+1,
即x-2y+2=0或x+2y-2=0.
10.解 (1)由題 30、意知m≠0,可設(shè)直線AB的方程為
y=-x+b.由
消去y,得x2-x+b2-1=0.
因?yàn)橹本€y=-x+b與橢圓+y2=1有兩個不同的交點(diǎn),
所以Δ=-2b2+2+>0,①
將AB中點(diǎn)M代入直線方程y=mx+解得b=-,②
由①②得m<-或m>.
(2)令t=∈∪,
則|AB|=·.
且O到直線AB的距離為d=.
設(shè)△AOB的面積為S(t),
所以S(t)=|AB|·d
= ≤.
當(dāng)且僅當(dāng)t2=時,等號成立.
故△AOB面積的最大值為.
11.D [拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為直線x=-,而點(diǎn)A(-2,3)在準(zhǔn)線上,所以-=-2,即p=4,從而C:y2=8x,焦點(diǎn) 31、為F(2,0).設(shè)切線方程為y-3=k(x+2),代入y2=8x得y2-y+2k+3=0(k≠0),①
由于Δ=1-4×(2k+3)=0,所以k=-2或k=.
因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限,
所以k=.
將k=代入①中,得y=8,再代入y2=8x中得x=8,
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,8),
所以直線BF的斜率為.]
12.B [設(shè)P(m,n),則-=1,
即m2=a2(1+),
設(shè)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),
則=(-c-m,-n),
=(c-m,-n),
則·=m2-c2+n2=a2(1+)-c2+n2
=n2(1+)+a2-c2≥a2-c2(當(dāng)n=0時取等號).
則· 32、的最小值為a2-c2,
由題意可得-c2≤a2-c2≤-c2,
即c2≤a2≤c2,
即c≤a≤c,
則≤e≤2,故選B.]
13.2
解析 拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,
由題意知,雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),
即c=1,
且A(-c,),B(-c,-),
因?yàn)椤鰽OB的面積為,
所以×2××1=,
即=,
所以,=,
解得a=,∴e===2.
14.(1)解 依題意,設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0),
則A(-a,0),B(a,0),F(xiàn)(c,0),
由e==,
得a=c.①
由·=-1,
得(c+a,0)·(c-a,0)=c2-a2=-1.②
聯(lián)立①②,解得a=,c=1,
所以b2=1,
故橢圓C的方程為+y2=1.
(2)證明 設(shè)P(x1,y1),N(x2,y2),
由題意知xi≠0,yi≠0(i=1,2),
且x1≠x2,
又Q(-x1,-y1),M(x1,0).
由Q,M,N三點(diǎn)共線,知kQM=kQN,
所以=.③
又kPQkPN+1=·+1.④
把③代入④,得kPQkPN+1=·+1=.⑤
因?yàn)辄c(diǎn)P,N在橢圓上,
所以x+2y=2,x+2y=2,⑥
把⑥代入⑤,
得kPQkPN+1==0,
即kPQkPN=-1,
所以∠QPN=90°.
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