2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分專題二 三角函數(shù)與平面向量 第2講 三角變換與解三角形專題強化精練提能 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分專題二 三角函數(shù)與平面向量 第2講 三角變換與解三角形專題強化精練提能 理 1．(xx·濟南市第一次模擬)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，則tan 2α＝(　　) A．－　　　　　　　　 B. C．－或0 D.或0 解析：選D.由2sin 2α＝1＋cos 2α得 4sin αcos α＝2cos2α，所以cos α(2sin α－cos α)＝0， 所以cos α＝0或tan α＝. 由cos α＝0知α＝2kπ±(k∈Z)，所以tan 2α＝0； 由tan α＝知tan 2α＝. 2．(xx·南昌市第一次模擬)在△ABC中，角

2、A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cos A＝，則b等于(　　) A. B. C. D. 解析：選C.因為cos A＝，所以sin A＝＝＝， 所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝cos 45°＋sin 45°＝. 由正弦定理＝，得b＝ ＝×sin 45°＝. 3．(xx·德州模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，則tan C等于(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選C.因為2S＝(a＋

3、b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，則結(jié)合面積公式與余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，＝4，所以＝4，解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)，故選C. 4．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 解析：選B.因為bcos C＋ccos B ＝b·＋c· ＝ ＝＝a＝asin A，所以sin A＝1. 因為A∈(0，π)，所以A＝，

4、即△ABC是直角三角形． 5. 如圖所示，在△ABC中，D，E是BC邊上的兩點，分別連接AD，AE，若∠ACB＝∠ADC＝，△ABC，△ABD，△ABE的外接圓直徑分別為d，e，f，則(　　) A．d＜f＜e B．e＜ d＜f C．e＜f＜d D．e＝d＞f 解析：選D.因為∠ACB＝∠ADC＝，所以AD＝AC，又由題圖可知AC>AE，根據(jù)正弦定理可得d＝，e＝，f＝，所以有e＝d＞f，選D. 6．已知sin＋sin α＝，則sin的值是(　　) A．－ B. C. D．－ 解析：選D.sin＋sin α＝?sincos α＋cossin α＋sin α＝?si

5、n α＋cos α＝?sin α＋cos α＝，故sin＝sin αcos＋cos αsin＝－＝－. 7．(xx·東營市摸底考試)已知tan(3π－α)＝－， tan(β－α)＝－，則tan β＝________． 解析：依題意得tan α＝，tan β＝tan[(β－α)＋α]＝＝. 答案： 8．(xx·高考福建卷)若銳角△ABC的面積為10，且AB＝5，AC＝8，則BC等于________． 解析：由正弦定理，得S＝×AB×AC×sin A＝10， 所以sin A＝＝.因為A∈(0，)，所以A＝. 由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos A ＝25＋6

6、4－2×5×8×cos＝49，所以BC＝7. 答案：7 9．某同學(xué)騎電動車以24 km/h的速度沿正北方向的公路行駛，在點A處測得電視塔S在電動車的北偏東30°方向上，15 min后到點B處，測得電視塔S在電動車的北偏東75°方向上，則點B與電視塔的距離是________． 解析：如圖，由題意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，所以BS＝＝3. 答案：3 km 10．(xx·江西省八所中學(xué)聯(lián)考) 如圖， 圓O與x軸的正半軸的交點為A，點C，B在圓O上，且點C位于第一象限，點

7、B的坐標為，∠AOC＝α.若BC＝1，則cos2－sin·cos－的值為________． 解析：由題意得OB＝BC＝1，從而△OBC為等邊三角形，所以sin∠AOB＝sin＝，所以cos2－sincos －＝·－－＝－sin α＋cos α＝sin＝sin ＝sin＝. 答案： 11．(xx·高考浙江卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2. (1)求tan C的值； (2)若△ABC的面積為3，求b的值． 解：(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得 sin2B－＝sin2C， 所以－cos 2B＝sin2C. 又由A＝，即B＋C

8、＝π，得 －cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C， 解得tan C＝2. (2)由tan C＝2，C∈(0，π)，得 sin C＝，cos C＝. 因為sin B＝sin(A＋C)＝sin， 所以sin B＝. 由正弦定理得c＝， 又因為A＝，bcsin A＝3，所以bc＝6，故b＝3. 12．已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－. (1)求cos 2α的值； (2)求2α－β的值． 解：(1)因為tan α＝2，所以＝2，即sin α＝2cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，解得sin2α＝，cos2α＝. 所以cos 2α

9、＝cos2α－sin2α＝－. (2)因為α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈. 又cos 2α＝－<0，故2α∈，sin 2α＝. 由cos β＝－，β∈(0，π)，得sin β＝，β∈. 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β ＝×－×＝－. 又2α－β∈，所以2α－β＝－. 13．(xx·山東省五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin. (1)求函數(shù)f(x)的最大值，并寫出f(x)取最大值時x的取值集合； (2)已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f(A)＝，b＋c＝2.求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)f

10、(x)＝2cos2x－sin ＝(1＋cos 2x)－ ＝1＋sin 2x＋cos 2x ＝1＋sin. 所以函數(shù)f(x)的最大值為2. 當(dāng)且僅當(dāng)sin＝1，即2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z時取到． 所以函數(shù)取最大值時x的取值集合為 . (2)由題意，f(A)＝sin＋1＝， 化簡得sin＝. 因為A∈(0，π)，所以2A＋∈， 所以2A＋＝， 所以A＝. 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc. 由b＋c＝2，知bc≤＝1，即a2≥1，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝1時取等號． 又由b＋c＞a得a＜2，所以a的取值范圍是[1，2)．

11、 14. 海島B上有一座高為10米的塔，塔頂有一個觀測站A，上午11時測得一游船位于島北偏東15°方向上，且俯角為30°的C處，一分鐘后測得該游船位于島北偏西75°方向上，且俯角為45°的D處．(假設(shè)游船勻速行駛) (1)求該船行駛的速度(單位：米/分鐘)； (2)又經(jīng)過一段時間后，游船到達海島B的正西方向E處，問此時游船距離海島B多遠？ 解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝10， 則BC＝10米． 在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝10，則BD＝10米． 在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°， 則CD＝＝20米． 所以速度v＝＝20米/分鐘． (2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°， 又因為∠DBE＝15°， 所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°. 在△BCE中，由正弦定理可知＝， 所以EB＝＝5米．