高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三講 函數(shù)與方程及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

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1、高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三講 函數(shù)與方程及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 一、選擇題 1.已知0<a<1,則函數(shù)y=a|x|-|logax|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(  ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 答案:B 2.方程log4x+x=7的解所在區(qū)間是(  ) A.(1,2) B.(3,4) C.(5,6) D.(6,7) 解析:構(gòu)造函數(shù)F(x)=log4x+x-7,F(xiàn)(5)=log45-2<0,F(xiàn)(6)=log46-1>0,F(xiàn)(x)在(5,6)內(nèi)有零點(diǎn),即log4x+x-7=0在(5,6)內(nèi)有解. 答案:C 3.方程mx2+2(m+1)x+m+3=0僅有一個(gè)負(fù)

2、根,則m的取值范圍是(  ) A.(-3,0) B.[-3,0) C.[-3,0] D.[-1,0] 解析:當(dāng)m=0時(shí),由原方程得x=-<0成立,排除選項(xiàng)A,B;當(dāng)m=-3時(shí),原方程變?yōu)椋?x2-4x=0,兩根為x1=0,x2=-,也符合題意,故選C. 答案:C 二、填空題 4.下表是函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上一些點(diǎn)的數(shù)值. x 1 1.25 1.375 1.406 5 1.438 f(x) -2 -0.984 -0.260 -0.052 0.165 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 f(x) 0.625 1

3、.982 2.645 4.35 6 由此可判斷,方程f(x)=0的一個(gè)近似解為_(kāi)_______. (精確度0.1,且近似解保留兩位有效數(shù)字) 解析:∵f(1.438)·f(1.406 5)<0,且|1.438-1.406 5|=0.031 5<0.1,∴f(x)=0的一個(gè)近似解為1.4. 答案:1.4 5.如圖,將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器.當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為_(kāi)___________時(shí),其容積最大. 解析:設(shè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為x,高為d,則d=×(1-x);又底面六邊形面

4、積為:S=6··x2·sin 60°=x2, ∴V=Sd=x2·(1-x)=(x2-x3),對(duì)V求導(dǎo),則V′=(2x-3x2),令V′=0,解得x=0或x=, 當(dāng)0<x<時(shí),V′>0,V是增函數(shù);當(dāng)x>時(shí),V′<0,V是減函數(shù).∴x=時(shí),V有最大值. 答案: 6.若關(guān)于x的方程3x2-5x+a=0的一個(gè)根在(-2,0)內(nèi),另一個(gè)根在(1,3)內(nèi),則a的取值范圍為_(kāi)_______. 解析:設(shè)f(x)=3x2-5x+a, 則? 解得-12<a<0. 答案:(-12,0) 7.(xx·福建卷)函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________. 解析:令x2-2=0得,x

5、=±,只有x=-符合題意; 令2x-6+ln x=0得,6-2x=ln x,在同一坐標(biāo)系內(nèi),畫出y=6-2x,y=ln x的圖象,觀察知交點(diǎn)有1個(gè),所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè). 答案:2 8.方程2-x+x2=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 解析:方程變形為3-x2=2-x=,令y1=3-x2,y2=. 如圖所示,由圖象可知有2個(gè)交點(diǎn). 答案:2 三、解答題 9.將一張2×6米的硬鋼板按圖紙的要求進(jìn)行操作:沿線裁去陰影部分,把剩余部分按要求焊接成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體水箱(⑦為底,①②③④為側(cè)面,⑤+⑥為水箱蓋,其中①與③,②與④分別是全等的矩形,且⑤+⑥=

6、⑦),設(shè)水箱的高為x米,容積為y立方米. (1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式; (2)如何設(shè)計(jì)x的大小,可使得水箱的容積最大? 解析:(1)依題意水箱底的寬為(2-2x)米,長(zhǎng)為=(3-x)米.則水箱的容積y=(2-2x)(3-x)·x=2x3-8x2+6x(0<x<1),即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x3-8x2+6x(0<x<1). (2)y=2x3-8x2+6x(0<x<1), ∴y′=6x2-16x+6. 令y′=6x2-16x+6=0, 得x=或x=(舍去), 當(dāng)0<x<時(shí),y′>0,函數(shù)單調(diào)遞增; 當(dāng)<x<1時(shí),y′<0,函數(shù)單調(diào)遞減. ∴當(dāng)x=時(shí),

7、函數(shù)y=2x3-8x2+6x(0<x<1)取得最大值,即設(shè)計(jì)水箱的高為米時(shí),容積最大. 10.為了保護(hù)環(huán)境,發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì),某單位在國(guó)家科研部門的支持下,進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y(單位:元)與月處理量x(單位:噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為:y=x2-200x+80 000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元. (1)該單位每月處理量為多少噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低? (2)該單位每月能否獲利?如果獲利,求最大利潤(rùn);如果不獲利,則國(guó)家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損? 解析:(1)由題意可知,二氧化碳的每噸平均處理成本為=x+-200≥2-200=200, 當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=400時(shí),等號(hào)成立. ∴當(dāng)月處理量為400噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低,最低成本為200元. (2)設(shè)該單位每月獲利為S, 則S=200x-y=200x- =-x2+400x-80 000 =-(x-400)2,x∈[400,600]. ∵x∈[400,600], ∴x=400時(shí),S取值最大值為0. 因此,該單位不能獲利,最多能收支平衡.

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