高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 5.3 解三角形 文

高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 5.3 解三角形 文 考點(diǎn)一　正、余弦定理 1.(xx江西,5,5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.若3a=2b,則的值為(　　) A.- B. C.1 D. 答案　D　 2.(xx北京,12,5分)在△ABC中,a=1,b=2,cos C=,則c=　　　　;sin A=　　　　.  答案　2; 3.(xx湖北,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知A=,a=1,b=,則B=　　　　.  答案　或 4.(xx福建,14,4分)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=,則AB等于　　　　.  答案　1 5.(xx陜西,16,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c. (1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若a,b,c成等比數(shù)列,且c=2a,求cos B的值. 解析　(1)證明:∵a,b,c成等差數(shù)列,∴a+c=2b. 由正弦定理得sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)由題設(shè)有b2=ac,c=2a,∴b=a, 由余弦定理得cos B===. 6.(xx山東,17,12分)△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a=3,cos A=,B=A+. (1)求b的值; (2)求△ABC的面積. 解析　(1)在△ABC中, 由題意知,sin A==, 因?yàn)锽=A+, 所以sin B=sin=cos A=. 由正弦定理可得b===3. (2)由B=A+得cos B=cos=-sin A=-. 由A+B+C=π,得C=π-(A+B). 所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B =×+× =. 因此△ABC的面積S=absin C=×3×3×=. 7.(xx重慶,18,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a+b+c=8. (1)若a=2,b=,求cos C的值; (2)若sin Acos2+sin Bcos2=2sin C,且△ABC的面積S=sin C,求a和b的值. 解析　(1)由題意可知c=8-(a+b)=. 由余弦定理得cos C===-. (2)由sin Acos2+sin Bcos2=2sin C可得: sin A·+sin B·=2sin C, 化簡(jiǎn)得sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C. 因?yàn)閟in Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C, 所以sin A+sin B=3sin C. 由正弦定理可知a+b=3c.又因?yàn)閍+b+c=8,所以a+b=6. 由于S=absin C=sin C,所以ab=9,從而a2-6a+9=0, 解得a=3,b=3. 8.(xx大綱全國(guó),18,12分)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B. 解析　由題設(shè)和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A. 故3tan Acos C=2sin C, 因?yàn)閠an A=,所以cos C=2sin C,tan C=.(6分) 所以tan B=tan[180°-(A+C)]=-tan(A+C) =(10分) =-1,即B=135°.(12分) 考點(diǎn)二　解三角形及其應(yīng)用 9.(xx四川,8,5分)如圖,從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時(shí)氣球的高是60 m,則河流的寬度BC等于(　　) A.240(-1)m B.180(-1)m C.120(-1)m D.30(+1)m 答案　C　 10.(xx課標(biāo)Ⅰ,16,5分)如圖,為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°,C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,則山高M(jìn)N=　　　　m.  答案　150 11.(xx安徽,16,12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,且b=3,c=1,△ABC的面積為,求cos A與a的值. 解析　由三角形面積公式,得×3×1·sin A=,故sin A=. 因?yàn)閟in2A+cos2A=1, 所以cos A=±=±=±. ①當(dāng)cos A=時(shí),由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×=8, 所以a=2. ②當(dāng)cos A=-時(shí),由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×=12, 所以a=2. 12.(xx課標(biāo)Ⅱ,17,12分)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ),AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求C和BD; (2)求四邊形ABCD的面積. 解析　(1)由題設(shè)及余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C =13-12cos C,① BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A =5+4cos C.② 由①,②得cos C=,故C=60°,BD=. (2)四邊形ABCD的面積 S=AB·DAsin A+BC·CDsin C =sin 60° =2. 13.(xx遼寧,17,12分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求: (1)a和c的值; (2)cos(B-C)的值. 解析　(1)由·=2得c·acos B=2. 又cos B=,所以ac=6. 由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B. 又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13. 解得a=2,c=3或a=3,c=2. 因?yàn)閍>c,所以a=3,c=2. (2)在△ABC中,sin B===. 由正弦定理,得sin C=sin B=·=. 因?yàn)閍=b>c,所以C為銳角,因此cos C===. 于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C =×+×=. 14.(xx湖南,19,13分)如圖,在平面四邊形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=. (1)求sin∠CED的值; (2)求BE的長(zhǎng). 解析　設(shè)∠CED=α. (1)在△CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC. 于是由題設(shè)知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0, 解得CD=2(CD=-3舍去). 在△CDE中,由正弦定理,得=. 于是sin α===,即sin∠CED=. (2)由題設(shè)知,0<α<,于是由(1)知, cos α===. 而∠AEB=-α,所以cos∠AEB=cos=coscos α+sinsin α=-cos α+sin α=-×+×=. 在Rt△EAB中,cos∠AEB==,故BE===4.