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1、高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 5.3 解三角形 文
考點(diǎn)一 正、余弦定理
1.(xx江西,5,5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.若3a=2b,則的值為( )
A.- B. C.1 D.
答案 D
2.(xx北京,12,5分)在△ABC中,a=1,b=2,cos C=,則c= ;sin A= .?
答案 2;
3.(xx湖北,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知A=,a=1,b=,則B= .?
答案 或
4.(xx福建,14,4分)在△ABC中,A=60°,
2、AC=2,BC=,則AB等于 .?
答案 1
5.(xx陜西,16,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.
(1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sin A+sin C=2sin(A+C);
(2)若a,b,c成等比數(shù)列,且c=2a,求cos B的值.
解析 (1)證明:∵a,b,c成等差數(shù)列,∴a+c=2b.
由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.
∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),
∴sin A+sin C=2sin(A+C).
(2)由題設(shè)有b2=ac,c=2a,∴b=a,
由余弦定理得cos B===.
3、6.(xx山東,17,12分)△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a=3,cos A=,B=A+.
(1)求b的值;
(2)求△ABC的面積.
解析 (1)在△ABC中,
由題意知,sin A==,
因?yàn)锽=A+,
所以sin B=sin=cos A=.
由正弦定理可得b===3.
(2)由B=A+得cos B=cos=-sin A=-.
由A+B+C=π,得C=π-(A+B).
所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)
=sin Acos B+cos Asin B
=×+×
=.
因此△ABC的面積S=absin C=×3×3×
4、=.
7.(xx重慶,18,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a+b+c=8.
(1)若a=2,b=,求cos C的值;
(2)若sin Acos2+sin Bcos2=2sin C,且△ABC的面積S=sin C,求a和b的值.
解析 (1)由題意可知c=8-(a+b)=.
由余弦定理得cos C===-.
(2)由sin Acos2+sin Bcos2=2sin C可得:
sin A·+sin B·=2sin C,
化簡(jiǎn)得sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C.
因?yàn)閟in Acos B+cos As
5、in B=sin(A+B)=sin C,
所以sin A+sin B=3sin C.
由正弦定理可知a+b=3c.又因?yàn)閍+b+c=8,所以a+b=6.
由于S=absin C=sin C,所以ab=9,從而a2-6a+9=0,
解得a=3,b=3.
8.(xx大綱全國(guó),18,12分)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.
解析 由題設(shè)和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.
故3tan Acos C=2sin C,
因?yàn)閠an A=,所以cos C=2sin C,tan C=.(6分)
所
6、以tan B=tan[180°-(A+C)]=-tan(A+C)
=(10分)
=-1,即B=135°.(12分)
考點(diǎn)二 解三角形及其應(yīng)用
9.(xx四川,8,5分)如圖,從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時(shí)氣球的高是60 m,則河流的寬度BC等于( )
A.240(-1)m B.180(-1)m
C.120(-1)m D.30(+1)m
答案 C
10.(xx課標(biāo)Ⅰ,16,5分)如圖,為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°,C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點(diǎn)測(cè)得
7、∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,則山高M(jìn)N= m.?
答案 150
11.(xx安徽,16,12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,且b=3,c=1,△ABC的面積為,求cos A與a的值.
解析 由三角形面積公式,得×3×1·sin A=,故sin A=.
因?yàn)閟in2A+cos2A=1,
所以cos A=±=±=±.
①當(dāng)cos A=時(shí),由余弦定理得
a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×=8,
所以a=2.
②當(dāng)cos A=-時(shí),由余弦定理得
a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×
8、=12,
所以a=2.
12.(xx課標(biāo)Ⅱ,17,12分)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ),AB=1,BC=3,CD=DA=2.
(1)求C和BD;
(2)求四邊形ABCD的面積.
解析 (1)由題設(shè)及余弦定理得
BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C
=13-12cos C,①
BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A
=5+4cos C.②
由①,②得cos C=,故C=60°,BD=.
(2)四邊形ABCD的面積
S=AB·DAsin A+BC·CDsin C
=sin 60°
=2.
13.(xx遼寧,17,12分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C
9、的對(duì)邊分別為a,b,c,且a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
解析 (1)由·=2得c·acos B=2.
又cos B=,所以ac=6.
由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.
又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.
解得a=2,c=3或a=3,c=2.
因?yàn)閍>c,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,sin B===.
由正弦定理,得sin C=sin B=·=.
因?yàn)閍=b>c,所以C為銳角,因此cos C===.
于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C
10、
=×+×=.
14.(xx湖南,19,13分)如圖,在平面四邊形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=.
(1)求sin∠CED的值;
(2)求BE的長(zhǎng).
解析 設(shè)∠CED=α.
(1)在△CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC.
于是由題設(shè)知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,
解得CD=2(CD=-3舍去).
在△CDE中,由正弦定理,得=.
于是sin α===,即sin∠CED=.
(2)由題設(shè)知,0<α<,于是由(1)知,
cos α===.
而∠AEB=-α,所以cos∠AEB=cos=coscos α+sinsin α=-cos α+sin α=-×+×=.
在Rt△EAB中,cos∠AEB==,故BE===4.
高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 5.3 解三角形 文
