2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-2 兩直線的位置關(guān)系 《教案》
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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-2 兩直線的位置關(guān)系 《教案》 【教學(xué)目標(biāo)】 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直. 2.能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo). 3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式, 會求兩條平行直線間的距離. 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn):掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式, 會求兩條平行直線間的距離; 2.教學(xué)難點(diǎn):學(xué)會對知識進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化,提高分析問題和解決問題的能力; 【教學(xué)策略與方法】 自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動法 【教學(xué)過程】 教學(xué)流程 教師活動 學(xué)生活動 設(shè)計意
2、圖 環(huán)節(jié)二: 考綱傳真: 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo). 3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式, 會求兩條平
3、行直線間的距離. 真題再現(xiàn); 1.(xx·天津高考)已知過點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x-1)2+y2=5相切,且與直線ax-y+1=0垂直,則a=( ) A.- B.1 C.2 D. 【解析】 由題意知圓心為(1,0),由圓的切線與直線ax-y+1=0垂直,可設(shè)圓的切線方程為x+ay+c=0,由切線x+ay+c=0過點(diǎn)P(2,2),∴c=-2-2a,∴=,解得a=2.【答案】 C 1.(xx·湖北卷)直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長度相等的四段弧,則a2+b2=2. 【解析】:依題意,圓心C(0,0)到兩直線l1:y
4、=x+a,l2:y=x+b的距離相等,且每段弧長等于圓周的,即==1×sin 45°=,得|a|=|b|=1,故a2+b2=2. 知識梳理: 知識點(diǎn)1、直線與直線的位置關(guān)系 1.平行與垂直. (1)若直線l1和l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,則 ①直線l1∥l2的充要條件是k1=k2且b1≠b2. ②直線l1⊥l2的充要條件是k1·k2=-1. (2)若l1和l2都沒有斜率,則l1與l2平行或重合. (3)若l1和l2中有一條沒有斜率而另一條斜率為0,則(3)l1⊥l2. 知識點(diǎn)2 兩直線的交點(diǎn) 知識點(diǎn)3 三種距離 P1(x1,y1),
5、P2(x2,y2)兩點(diǎn)之間的距離 |P1P2|= 點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離 d= 平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離 d= 1.必會結(jié)論;(1)直線A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0過定點(diǎn)P,則定點(diǎn)P即為直線A1x+B1y+C1=0 與A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn). (2)點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于A(a,b)的對稱點(diǎn)為P′(2a-x0,2b-y0). (3)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于直線y=kx+b的對稱點(diǎn)為P′(x′,y′),則有可求出x′,y′. 2.必清誤區(qū);在運(yùn)用兩平行直線間的距離公式d=時,一
6、定要注意將兩方程中x,y的系數(shù)化為相同的形式.
考點(diǎn)分項(xiàng)突破
考點(diǎn)一:直線的交點(diǎn)
(1)當(dāng)0
7、0) 由題意知解得即A,從而直線l的斜率k==8, 直線l的方程為y=8(x-3),即8x-y-24=0. 跟蹤訓(xùn)練: 1.經(jīng)過直線l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交點(diǎn),且垂直于直線l3:3x-5y+6=0的直線l的方程為________. 【解析】 由方程組得l1,l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),∵l3的斜率為,∴l(xiāng)的斜率為-,則直線l的方程為y-2=-(x+1),即5x+3y-1=0.【答案】 5x+3y-1=0 歸納;1.兩直線交點(diǎn)的求法;求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),就是解由兩直線方程組成的方程組,以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為交點(diǎn). 2.求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方
8、法;求過兩直線交點(diǎn)的直線方程,先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合其他條件寫出直線方程. 考點(diǎn)二: 三種距離公式的應(yīng)用 ●命題角度1 兩點(diǎn)間距離公式及應(yīng)用 1.已知點(diǎn)P在x軸上,且點(diǎn)P與點(diǎn)A(5,12)的距離為13,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ) A.(0,0)或(0,10) B.(0,0)或(5,0) C.(0,0)或(10,0) D.(0,0)或(0,5) 【解析】 設(shè)P(x,0),則|PA|==13. 解得x=0,或x=10,故選C.【答案】 C 2.在直角三角形ABC中,C(0,0),A(0,a),B(b,0),點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn),則=
9、( ) A.2 B.4 C.5 D.10 【解析】 由題意知,D,P,則|PA|2=+,|PB|2=+,|PC|2=+.所以|PA|2+|PB|2=(a2+b2),從而=10,故選D. 【答案】 D ●命題角度2 點(diǎn)到直線的距離公式及應(yīng)用 3.已知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,且點(diǎn)A(1,3)到直線l的距離為,則直線l的方程為________. 【解析】 當(dāng)直線l過原點(diǎn)時,設(shè)其方程為y=kx,由=,解得k=-7或k=1,直線l的方程為y=-7x或y=x,當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時,由題意,設(shè)其方程為+=1,即x+y-a=0,由=得a=6或a=2.此時直線l的方程為x+y-2
10、=0或x+y-6=0.【答案】 y=x或y=-7x或x+y-2=0或x+y-6=0 4.經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)引直線,使A(2,3),B(0,-5)到它的距離相等,則直線方程為________. 【解析】 法一 若直線斜率不存在,則直線方程為x=1,符合要求.若直線斜率存在,設(shè)其方程為y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0.由題意知=,即|k-1|=|k-7|,解得k=4,此時直線方程為4x-y-2=0. 法二 由題意,所求直線經(jīng)過點(diǎn)(2,3)和(0,-5)的中點(diǎn)或與點(diǎn)(2,3)和(0,-5)所在直線平行. (1)當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)和B(0,-5)的中點(diǎn)(1,-1)時,所求直線
11、方程為x=1. (2)當(dāng)所求直線與直線AB平行時,由kAB=4得所求直線的方程y-2=4(x-1)即4x-y-2=0. 【答案】 4x-y-2=0或x=1 ●命題角度3 兩平行線間的距離公式及應(yīng)用 5.若動點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)分別在直線l1:x-y-5=0,l2:x-y-15=0上移動,則P1P2的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值是( ) A. B.5 C. D.15 【解析】 由題意知l1∥l2,則P1P2的中點(diǎn)P在與直線l1,l2平行,且到l1,l2的距離相等的直線l上. 設(shè)直線l的方程為x-y+C=0,則=, 解得C=-10,則直線l的
12、方程為x-y-10=0. P1P2的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值就是原點(diǎn)到直線l的距離,且d==5,故選B. 【答案】 B 歸納:距離的求法 1.點(diǎn)到直線的距離;可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來求,但要注意此時直線方程必須為一般式. 2.兩平行直線間的距離;(1)利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離; (2)利用兩平行線間的距離公式.在應(yīng)用兩條平行線間的距離公式時,應(yīng)把直線方程化為一般形式,且使x,y的系數(shù)分別相等. 考點(diǎn)三: 對稱問題 1.已知直線l:2x-3y+1=0,點(diǎn)A(-1,-2).求: (1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)
13、; (2)直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程; (3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(-1,-2)對稱的直線l′的方程. 【解】 (1)設(shè)A′(x,y),由已知得解得∴A′. (2)在直線m上取一點(diǎn),如M(2,0),則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)必在m′上.設(shè)對稱點(diǎn)為M′(a,b),則 解得M′.設(shè)m與l的交點(diǎn)為N,則由得N(4,3).又∵m′經(jīng)過點(diǎn)N(4,3), ∴由兩點(diǎn)式得直線方程為9x-46y+102=0. (3)由題意知,l′∥l,設(shè)直線l′的方程為2x-3y+C=0(C≠1), 則點(diǎn)A(-1,-2)到兩平行線的距離相等. 所以 =即=,解得C=-9.因
14、此直線l′的方程為2x-3y-9=0. 跟蹤訓(xùn)練:1.平面直角坐標(biāo)系中,直線y=2x+1關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱的直線l的方程是( ) A.y=2x-1 B.y=-2x+1 C.y=-2x+3 D.y=2x-3 【解析】 由題意,l與直線y=2x+1平行,設(shè)l的方程為2x-y+C=0(C≠1),則點(diǎn)(1,1)到兩平行線的距離相等.∴=,解得C=-3. 因此所求直線l的方程為y=2x-3.【答案】 D 2.如圖,已知A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上,最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn),則光線所經(jīng)過的路程是(
15、) A.3 B.6 C.2 D.2 【解析】 直線AB的方程為x+y=4,點(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D(4,2),關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為C(-2,0).則光線經(jīng)過的路程為|CD|==2. 【答案】 C 歸納:1.中心對稱問題的兩個類型及求解方法 (1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱:若點(diǎn)M(x1,y1)及N(x,y)關(guān)于P(a,b)對稱,則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得進(jìn)而求解. (2)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱,主要求解方法是: ①在已知直線上取兩點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo),再由兩點(diǎn)式求出直線方程; ②求出一個對稱點(diǎn),再
16、利用兩對稱直線平行,由點(diǎn)斜式得到所求直線方程. 2.軸對稱問題的兩個類型及求解方法 (1)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱若兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對稱,由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2). (2)直線關(guān)于直線的對稱 一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱來解決,有兩種情況:一是已知直線與對稱軸相交;二是已知直線與對稱軸平行. 易錯辨析 求直線方程時忽視斜率不存在的情況致誤 1.已知直線l過點(diǎn)P(5,10),且原點(diǎn)到它的距離為5,則直線l的方程為__________________________. [錯誤解
17、法] 設(shè)直線l的方程為y-10=k(x-5),即kx-y+10-5k=0,由已知得=5,解得k=,故直線l的方程為x-y+10-=0,即3x-4y+25=0. [錯解分析] 分析上面解題過程,你知道錯在哪里嗎?提示:上面解題過程沒有討論直線l斜率不存在的情況,導(dǎo)致漏解. [自我糾正] 當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線方程是x=5,滿足條件.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y-10=k(x-5),即kx-y-5k+10=0. 由已知得=5,解得k=,故直線l的方程為x-y-+10=0,即3x-4y+25=0.綜上知,直線l的方程為x=5或3x-4y+25=0. 【答案】 x=5或3x-
18、4y+25=0 。 學(xué)生通過對高考真題的解決,發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學(xué)生通過對高考真題的解決,感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整
19、的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生通過對基礎(chǔ)知識的逐點(diǎn)掃描,來澄清概念,加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ). 在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題,教師及時點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過對考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求,做到有的放矢
20、 由常見問題的解決和總結(jié),使學(xué)生形成解題模塊,提高模式識別能力和解題效率。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的知識進(jìn)行小結(jié),由利于學(xué)生對已有的知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理,加強(qiáng)理解記憶,提高解題技能。 環(huán)節(jié)三: 課堂小結(jié): 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直. 2.能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo). 3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式, 會求兩條平行直線間的距離. 學(xué)生回顧,總結(jié). 引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思,為在今后的學(xué)習(xí)中,進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。 環(huán)節(jié)四: 課后作業(yè):學(xué)生版練與測 學(xué)生通過作業(yè)進(jìn)行課外反思,通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識。
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