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1、高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 4-3 平面向量數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例練習(xí) 新人教A版
一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)
1．已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是( )
A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥b
C．|a|＝|b| D．a(chǎn)＋b＝a－b
解析 由|a＋b|＝|a－b|得(a＋b)2＝(a－b)2，
∴a·b＝0，故a⊥b.
答案 B
2．(xx·湖北卷)已知點(diǎn)A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3，4)，則向量在方向上的投影為( )
A. B.
C．－ D．－
解析 ＝(2,1)，＝(5,5)，在方向
2、上的投影為＝＝.
答案 A
3．(xx·全國大綱卷)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析 (m＋n)⊥(m－n)得(m＋n)·(m－n)＝0即m2－n2＝0，(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0，解得λ＝－3.故選B.
答案 B
4．(xx·福建卷)在四邊形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4，2)，則該四邊形的面積為( )
A. B．2
C．5 D．10
解析 因?yàn)椤ぃ?×(－4)＋2×2＝0，所以⊥，所以四邊形ABCD的面積是||·||＝××＝5.
3、答案 C
5．如圖所示，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是邊BC上的高，則·的值等于( )
A．0 B．4
C．8 D．－4
解析 BD＝ABcos30°＝2，所以＝.
故＝－＝－.
又＝－，所以·＝·(－)＝2－·＋2，2＝2＝16，·＝4×4×cos30°＝8，代入上式得·＝8－×8＋16＝4.
答案 B
6．已知三個向量a，b，c兩兩所夾的角都為120°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，則向量a＋b與向量c的夾角θ的值為( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析 ∵(a＋b)·c＝a·c＋b·c＝
4、1×3×cos120°＋2×3×cos120°＝－，
|a＋b|＝＝
＝＝，
∴cosθ＝＝＝－.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°.
答案 D
二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)
7．(xx·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，則t＝________.
解析 a，b均為單位向量，夾角為60°，所以a·b＝，又b·c＝0，即：b·[ta＋(1－t)b]＝0得＋(1－t)＝0，解得t＝2.
答案 2
8．(xx·天津卷)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)．若·＝1，則A
5、B的長為________．
解析 ·＝(＋)·(－)＝2＋·－2＝2＋||·||cos60°－2＝1，把||2＝1代入得||＝.
答案
9.
(xx·大慶高三質(zhì)檢)向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．設(shè)向量a＝－λ，若a⊥，則實(shí)數(shù)λ＝________.
解析 以A為原點(diǎn)，AB為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，C(3，2)，a＝－λ＝(3,2)－λ(2,0)＝(3－2λ，2)，＝(2,0)，∵a⊥，∴a·＝2(3－2λ)＋0＝0，λ＝.
答案
三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)
10．已知|a|＝2，|b|＝1，a與b的夾角為60°，求
6、向量a＋2b與a－b的夾角的余弦值．
解 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1，
|a＋2b|2＝a2＋4b2＋4a·b＝12，
|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，
(a＋2b)·(a－b)＝a2－2b2＋a·b＝3.
∴向量a＋2b與a－b的夾角的余弦值
cosθ＝＝＝.
11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；
(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(－t)·＝0，求t的值．
解 (1)＝(3,5)，＝(－1,1)，
求兩條對角線的長，即求|＋|與|－|的大?。?
由＋
7、＝(2,6)，得|＋|＝2.
由－＝(4,4)，得|－|＝4.
(2)＝(－2，－1)，
∵(－t)·＝·－t2，
易求·＝－11，2＝5，
∴由(－t)·＝0，得t＝－.
12．(xx·四川卷)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－.
(Ⅰ)求cosA的值；
(Ⅱ)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．
解 (Ⅰ)由2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－，
得[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，
即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－.
則cos(A－B＋B)＝－，即cosA＝－.
(Ⅱ)由cosA＝－，0b，則A>B，故B＝.
根據(jù)余弦定理，有
(4)2＝52＋c2－2×5c×(－)，
解得c＝1或c＝－7(舍去)．
故向量在方向上的投影為||cosB＝.
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