2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.2 充分條件和必要條件講義（含解析）蘇教版選修2-1

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.2 充分條件和必要條件講義（含解析）蘇教版選修2-1 充分條件和必要條件 如圖：p：開關(guān)A閉合，q：燈泡B亮． 問題1：p與q有什么關(guān)系？ 提示：命題p成立，命題q一定成立． p：兩三角形相似，q：對應(yīng)角相等． 問題2：p與q有什么關(guān)系？ 提示：命題p成立，命題q一定成立． 一般地，如果p?q，那么稱p是q的充分條件，q是p的必要條件． 充要條件 已知p：整數(shù)x是6的倍數(shù)； q：整數(shù)x是2和3的倍數(shù)． 問題1：“若p，則q”是真命題嗎？ 提示：是．

2、 問題2：“若q，則p”是真命題嗎？ 提示：是． 問題3：p是q的什么條件？ 提示：充要條件． 1．如果p?q，且q?p，那么稱p是q的充分必要條件．簡稱p是q的充要條件，記作p?q. 2．如果p?q，且q ?/ p，那么稱p是q的充分不必要條件． 3．如果p ?/ q，且q?p，那么稱p是q的必要不充分條件． 4．如果p ?/ q，且q ?/ p，那么稱p是q的既不充分又不必要條件． 原命題“若p，則q”，逆命題為“若q，則p”，則p與q的關(guān)系有以下四種情形： 原命題 逆命題 p、q的關(guān)系 真 假 p是q的充分不必要條件 q是p的必要不

3、充分條件 假 真 p是q的必要不充分條件 q是p的充分不必要條件 真 真 p與q互為充要條件 假 假 p是q的既不充分也不必要條件 q是p的既不充分也不必要條件 充分條件和必要條件的判斷 [例1]　對于二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列結(jié)論正確的是________． ①Δ＝b2－4ac≥0是函數(shù)f(x)有零點的充要條件； ②Δ＝b2－4ac＝0是函數(shù)f(x)有零點的充分條件； ③Δ＝b2－4ac>0是函數(shù)f(x)有零點的必要條件； ④Δ＝b2－4ac<0是函數(shù)f(x)沒有零點的充要條件． [思路點撥]　逐一分析

4、Δ，根據(jù)二次函數(shù)與Δ的關(guān)系，判斷結(jié)論是否正確． [精解詳析]　 ①是正確的，因為Δ＝b2－4ac≥0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根?f(x)＝ax2＋bx＋c有零點； ②是正確的，因為Δ＝b2－4ac＝0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根，因此函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零點，但是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零點時，有可能Δ>0； ③是錯誤的，因為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零點時，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根，但未必有Δ＝b2－4ac>0，也有可能Δ＝0； ④是正確的，因為Δ＝b2－4ac<0?方程ax2＋bx＋

5、c＝0(a≠0)無實根?函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)無零點． [答案]?、佗冖? [一點通]　　充分、必要條件判斷的常用方法： (1)定義法：分清條件和結(jié)論，利用定義判斷． (2)等價法：將不易判斷的命題轉(zhuǎn)化為它的等價命題判斷． 1．從“?”、“ ?/ ”與“?”中選出適當(dāng)?shù)姆柼羁眨? (1)x>1________x>0； (2)a>b________a2>b2； (3)a2＋b2＝2ab________a＝b； (4)A??________A＝?. 解析：(1)由于命題“若x>1，則x>0”為真命題，則x>1?x>0； (2)由于命題“若a>b，則a

6、2>b2”為假命題，則a>b?/ a2>b2； (3)由于命題“若a2＋b2＝2ab，則a＝b”為真命題，且逆命題也為真命題，故a2＋b2＝2ab?a＝b； (4)由于命題“若A??，則A＝?”為真命題，且逆命題也為真命題，故A???A＝?. 答案：(1)?　(2) ?/ 　(3)?　(4)? 2．(福建高考改編)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的________條件． 解析：因為A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，則A＝{1,3}，所以A?B；若A?B，則a＝2或a＝3，所以A?B ?/ a＝3，所以“a＝3”是“A?B”的

7、充分不必要條件． 答案：充分不必要 3．指出下列各題中p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分又不必要條件”中選一個作答)： (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等； (3)p：a>b，q：a＋c>b＋c； (4)p：a>b，q：ac>bc. 解：(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 ?/ x－3＝0，故p是q的充分不必要條件． (2)兩個三角形相似 ?/ 兩個三角形全等，但兩個三角形全等?兩個三角形相似，故p是q的必要不充分條件．

8、 (3)a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故p是q的充要條件． (4)a>b ?/ ac>bc，且ac>bc ?/ a>b，故p是q的既不充分又不必要條件. 充分條件、必要條件的應(yīng)用 [例2]　已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍． [思路點撥]　先利用不等式的解法確定命題p、q成立的條件，再根據(jù)p是q的充分不必要條件確定a的不等式組，求得a的范圍． [精解詳析]　令M＝{x|2x2－3x－2≥0} ＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0} ＝{x|x≤－

9、或x≥2}， N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0} ＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0} ＝{x|x≤a－2或x≥a}． 由已知p?q且q ?/ p，得MN. ∴或 ?≤a<2或

10、等式0， 要使AB，應(yīng)有解得0

11、 當(dāng)m≠0時，P：B＝. ∵q是p的充分不必要條件，∴BA. 易知m＝0適合題意． 當(dāng)－＝－3或－＝2，即m＝或m＝－時，也適合題意． ∴m的值為－或或0. 求充要條件 [例3]　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝pn＋q(p≠0，p≠1)，求數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件． [思路點撥]　根據(jù)數(shù)列的前n項和Sn與數(shù)列通項an的關(guān)系，先求出數(shù)列的通項an，根據(jù)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，探求q所滿足的條件，同時要注意充分性的證明． [精解詳析]　a1＝S1＝p＋q. 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)， ∵p≠0，p≠1，∴＝p. 若{an}為等比

12、數(shù)列，則＝＝p， ∴＝p， ∵p≠0，∴p－1＝p＋q， ∴q＝－1.∴{an}為等比數(shù)列的必要條件是q＝－1. 下面證明q＝－1是{an}為等比數(shù)列的充分條件． 當(dāng)q＝－1時，Sn＝pn－1(p≠0，p≠1)， ∴a1＝S1＝p－1； 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn－1＝pn－1(p－1)， ∴an＝(p－1)pn－1(p≠0，p≠1)， ＝＝p為常數(shù)， ∴q＝－1時，數(shù)列{an}為等比數(shù)列．即數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件為q＝－1. [一點通]　求充要條件一般有兩種方法： (1)等價轉(zhuǎn)化法．將原命題進行等價變形或轉(zhuǎn)化，直至獲得其成立的充要條件，求解

13、的過程同時也是證明的過程，因為求解的過程的每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來證． (2)非等價轉(zhuǎn)化法．先尋找必要條件，即將求充要條件的對象視為結(jié)論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明． 6．使函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)的充分不必要條件為________． 解析：由函數(shù)f(x)＝|x－a|的圖像知，函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)的充要條件為a≤1，所以使“函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)”的充分不必要條件即求使“a≤1”成立的充分不必要條件，即填寫形如a≤p

14、，且p<1即可，故答案不唯一，可填a≤0. 答案：a≤0 7．設(shè)n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________. 解析：由于方程都是正整數(shù)解，由判別式“16－4n≥0”得“1≤n≤4”，逐個分析，當(dāng)n＝1、2時，方程沒有整數(shù)解；而當(dāng)n＝3時，方程有正整數(shù)解1、3；當(dāng)n＝4時，方程有正整數(shù)解2. 答案：3或4 1．關(guān)于充分條件、必要條件、充要條件以及既不充分又不必要條件的關(guān)系有如下四種情形： (1)若pq，則p是q的充分不必要條件； (2)若qp，則p是q的必要不充分條件； (3)若p＝q，則p是q的充分必要條件，既充要條件； (4)若

15、pq，且qp，則p是q的既不充分又不必要條件． 2．根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，往往運用等價轉(zhuǎn)化的思想，利用互為逆否命題的等價性來解決． [對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(二)]　 1．(安徽高考改編)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________條件． 解析：由(2x－1)x＝0可得x＝或x＝0，因為“x＝或x＝0”是“x＝0”的必要不充分條件，所以“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分條件． 答案：必要不充分 2．已知直線l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，則l1∥l2的充要條件是a＝________.

16、 解析：由1×3－a×(a－2)＝0，得a＝3或－1，而a＝3時，兩條直線重合，所以a＝－1. 答案：－1 3．對任意實數(shù)a，b，c，給出下列命題： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要條件； ②“a>b”是“a2>b2”的充分條件； ③“a<5”是“a<3”的必要條件； ④“a＋5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件． 其中真命題的序號為________． 解析：①“a＝b”是ac＝bc的充分不必要條件，故①錯，②a>b是a2>b2的既不充分也不必要條件，故②錯．③④正確． 答案：③④ 4．(北京高考改編)“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標(biāo)原點”的_______

17、_條件． 解析：由sin φ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此為曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標(biāo)原點的充要條件，故“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標(biāo)原點”的充分不必要條件． 答案：充分不必要 5．若p：x(x－3)<0是q：2x－30，x1x2

18、＝<0(x1，x2為方程的兩根)，所以ac<0. (2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2為方程的兩根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相異實根，且兩根異號，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根． 綜上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0. 7．求直線l：ax－y＋b＝0經(jīng)過兩直線l1：2x－2y－3＝0和l2：3x－5y＋1＝0交點的充要條件． 解：由得交點P. 若直線l：ax－y＋b＝0經(jīng)過點P， 則a×－＋b＝0.∴17a＋4b＝11. 設(shè)a，b滿足17a＋4b＝11，則b＝， 代入方程

19、ax－y＋b＝0，得ax－y＋＝0， 整理，得－a＝0. ∴直線l：ax－y＋b＝0恒過點，此點即為l1與l2的交點． 綜上，直線l：ax－y＋b＝0經(jīng)過兩直線l1：2x－2y－3＝0和l2：3x－5y＋1＝0交點的充要條件為17a＋4b＝11. 8．已知p：－6≤x－4≤6，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍． 解：p：－6≤x－4≤6?－2≤x≤10. q：x2－2x＋1－m2≤0?[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)?1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因為q是p的充分不必要條件． 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，如圖， 故有或 解得m≤3. 又m>0，所以實數(shù)m的范圍為{m|0