《2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.7.1 正切函數(shù)的定義 1.7.2 正切函數(shù)的圖像與性質學案 北師大版必修4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.7.1 正切函數(shù)的定義 1.7.2 正切函數(shù)的圖像與性質學案 北師大版必修4（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.7.1 正切函數(shù)的定義 1.7.2 正切函數(shù)的圖像與性質學案 北師大版必修4
學習目標 1.能借助單位圓中的正切線畫出函數(shù)y＝tan x的圖像.2.掌握正切函數(shù)的圖像、定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等性質(重點).3.注重數(shù)形結合思想的應用以及正切函數(shù)與正、余弦函數(shù)的綜合應用(難點)．
知識點1 正切函數(shù)的定義
(1)任意角的正切函數(shù)：
如果角α滿足α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的終邊與單位圓交于點P(a，b)，唯一確定比值，我們把它叫作角α的正切函數(shù)，記作y＝tan α，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.
2、(2)正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的關系：
根據(jù)定義知tan α＝(α∈R，α≠kπ＋，k∈Z)．
(3)正切值在各象限的符號：
根據(jù)定義知，當角在第一和第三象限時，其正切函數(shù)值為正；當角在第二和第四象限時，其正切函數(shù)值為負．
(4)正切線：
在單位圓中令A(1,0)，過A作x軸的垂線，與角α的終邊或終邊的延長線相交于T，稱線段AT為角α的正切線．
【預習評價】
1．若角α的終邊上有一點P(2x－1,3)，且tan α＝，則x的值為( )
A．7 B．8
C．15 D.
解析 由正切函數(shù)的定義tan α＝＝，解之得x＝8.
答案 B
2．函數(shù)y＝tan 2x的定義域為
3、________．
解析 由正切函數(shù)的定義知，若使y＝tan 2x有意義，則2x≠kπ＋(k∈Z)．
解得x≠＋(k∈Z)．
答案
知識點2 正切函數(shù)的圖像及特征
(1)y＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z的圖像(正切曲線)：
(2)正切曲線的特征：
正切曲線是由被相互平行的直線x＝kπ＋(k∈Z)隔開的無窮多支曲線組成的．這些直線叫作正切曲線各支的漸近線．
【預習評價】
正切函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，那么正切函數(shù)的對稱中心只有一個嗎？
提示 正切函數(shù)的對稱中心除了原點外，諸如(π，0)等都是對稱中心，正切函數(shù)有無數(shù)個對稱中心．
知識點3 正切函數(shù)的性質
4、
函數(shù)
y＝tan x
定義域
值域
R
周期性
周期為kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期為π
奇偶性
奇函數(shù)
單調性
在(k∈Z)上是增加的
【預習評價】 (正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)正切函數(shù)為定義域上的增函數(shù)(×)
(2)正切函數(shù)存在閉區(qū)間[a，b]，使y＝tan x是增加的．(√)
(3)若x是第一象限的角，則y＝tan x是增函數(shù)(×)
(4)正切函數(shù)y＝tan x的對稱中心為(kπ，0)k∈Z.(×)
題型一 正切函數(shù)的定義
【例1】 已知角α的終邊經過點P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α、tan α的值．
5、
解 r＝＝5|a|，
若a＞0，則r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－.tan α＝＝＝－；
若a＜0，則r＝－5a，
角α在第四象限，sin α＝－，
cos α＝，tan α＝－.
規(guī)律方法 已知角α終邊上任一點的坐標(m，n)利用定義求tan α時，其值與該點的位置無關且tan α＝.但要注意判斷角α所在象限．利用定義可求下列特殊角的正切：
α
0
tan α
0
1
－
－1
－
【訓練1】 若tan α＝，利用三角函數(shù)的定義，求sin α和cos α.
解 ∵tan α＝＞0，∴角α是第一
6、或第三象限角．
①若角α是第一象限角，則由tan α＝，角α的終邊上必有一點P(2,1)，
∴r＝|OP|＝＝.
∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝.
②若角α是第三象限角，則由tan α＝知，角α的終邊上必有一點P(－2，－1)，
∴r＝|OP|＝＝.
∴sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝－.
題型二 正切函數(shù)的圖像及應用
【例2】 利用正切函數(shù)的圖像作出y＝|tan x|的圖像并寫出使y＝的x的集合．
解 ∵當x∈時，y＝tan x≤0，
當x∈時，y＝tan x＞0，
∴y＝|tan x|＝
如圖所示．
使y＝的x的集合為.
規(guī)律方法 1.作正切函數(shù)的
7、圖像時，先畫一個周期的圖像，再把這一圖像向左、右平移．從而得到正切函數(shù)的圖像，通過圖像的特點，可用“三點兩線法”，這三點是，(0,0)，，兩線是直線x＝±為漸近線．
2．如果由y＝f(x)的圖像得到y(tǒng)＝f(|x|)及y＝|f(x)|的圖像，可利用圖像中的對稱變換法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的圖像，令其關于y軸對稱便可以得到y(tǒng)＝f(|x|)(x≤0)的圖像；同理只要作出y＝f(x)的圖像，令圖像“上不動，下翻上”便可得到y(tǒng)＝|f(x)|的圖像．
【訓練2】 (1)函數(shù)y＝的定義域為________．
解析 要使該函數(shù)有意義，則有
即x≠kπ－且x≠kπ＋.
答案
(2)
8、根據(jù)正切函數(shù)的圖像，寫出tan x≥－1的解集．
解 作出y＝tan x及y＝－1的圖像，如下圖．
∴滿足此不等式的x的集合為
.
方向1 比較大小
【例3－1】 比較tan 1、tan 2、tan 3的大?。?
解 ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0.
∵<3<π，∴－<3－π<0，
顯然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在內是增函數(shù)，
∴tan (2－π)
9、2x＋2tan x＋2的最值及相應的x值．
解 令t＝tan x，∵x∈，
∴t∈[－，1]，
y＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，
∴當t＝－1，即x＝－時，ymin＝1，
當t＝1，即x＝時，ymax＝5.
方向3 性質的綜合應用
【例3－3】 已知f(x)＝－atan x(a≠0)．
(1)判斷f(x)在x∈上的奇偶性；
(2)求f(x)的最小正周期；
(3)求f(x)的單調區(qū)間；
(4)若a＞0，求f(x)在上的值域．
解 (1)∵f(x)＝－atan x(a≠0)，x∈，
∴f(－x)＝－atan(－x)＝atan x＝－f(x)．
又∵定義域關于原點對
10、稱，
∴f(x)為奇函數(shù)．
(2)f(x)的最小正周期為π.
(3)∵y＝tan x在(k∈Z)上單調遞增，
∴當a＞0時，f(x)在(k∈Z)上單調遞減，
當a＜0時，f(x)在(k∈Z)上單調遞增．
(4)當a＞0時，f(x)在上單調遞減，故x＝時，f(x)max＝－a，無最小值．
∴f(x)的值域為(－∞，－a]．
規(guī)律方法 1.比較同名三角函數(shù)值的大小，實質上是將兩個角利用周期性放在同一個單調區(qū)間內，利用單調性比較大小．
2．對于形如y＝tan(ωx＋φ)(ω、φ為非零常數(shù))的函數(shù)性質和圖像的研究，應以正切函數(shù)的性質與圖像為基礎，運用整體思想和換元法求解．如果ω<0，
11、一般先利用誘導公式將x的系數(shù)化為正數(shù)，再進行求解.
課堂達標
1．函數(shù)y＝3tan(2x＋)的定義域是( )
A．{x|x≠kπ＋，k∈Z} B．{x|x≠π－，k∈Z}
C．{x|x≠π＋，k∈Z} D．{x|x≠π，k∈Z}
解析 由2x＋≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠＋.
答案 C
2．函數(shù)f(x)＝tan(x＋)的單調遞增區(qū)間為( )
A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
D．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
解析 由kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z.
解之得kπ－＜x＜kπ＋，故選C.
答案 C
12、3．已知點P(tan α，cos α)在第二象限，則α的終邊在第________象限．
解析 由P點在第二象限．∴tan α＜0，cos α＞0，
∴α在第四象限．
答案 四
4．若角θ的終邊經過點A，且tan θ＝，則m＝________.
解析 由tan θ＝＝＝.
∴m＝－.
答案?。?
5．函數(shù)y＝tan(2x＋θ)圖像的一個對稱中心為，若－＜θ＜，求θ的值．
解 因為函數(shù)y＝tan(2x＋θ)的一個對稱中心為，
∴2·＋θ＝，k∈Z.∴θ＝－π，k∈Z.
又∵－＜θ＜，
∴當k＝2時，θ＝；當k＝1時，θ＝－.
∴滿足題意的θ為或－.
課堂小結
1．作正切
13、曲線簡圖時，只需先作出一個周期中的兩條漸近線x＝－，x＝，然后描出三個點(0,0)，(，1)，(－，－1)，用光滑的曲線連接得到一條曲線，再平移至各個單調區(qū)間內即可．
2．正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)都是三角函數(shù)，但應用它們的性質時應注意它們的區(qū)別．
(1)正弦、余弦函數(shù)是有界函數(shù)，值域為[－1,1]，正切函數(shù)是無界函數(shù)，值域為R.
(2)正弦、余弦函數(shù)的圖像是連續(xù)的，定義域為R，正切函數(shù)的圖像是不連續(xù)的，定義域為.
(3)正弦、余弦函數(shù)均是既有增區(qū)間又有減區(qū)間，而正切函數(shù)在每一個區(qū)間(k∈Z)上都是增加的.
基礎過關
1．已知sin θ·tan θ＜0，那么角θ是( )
A．
14、第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
解析 若sin θ＞0，tan θ＜0，則θ在第二象限；若sin θ＜0，tan θ＞0，則θ在第三象限．
答案 B
2．若已知角α滿足sin α＝，cos α＝，則tan α＝( )
A. B.
C. D.
解析 由三角函數(shù)定義可知tan α＝.
答案 B
3．函數(shù)f(x)＝tan，x∈R的最小正周期為( )
A. B．π
C．2π D．4π
解析 由＝2π，故選C.
答案 C
4．使函數(shù)y＝2tan x與y＝cos x同時為單調遞增的區(qū)間是____________
15、____．
解析 由y＝2tan x與y＝cos x的圖像知，同時為單調遞增的區(qū)間為(2kπ－，2kπ](k∈Z)和[2kπ＋π，2kπ＋)(k∈Z)．
答案 (2kπ－，2kπ](k∈Z)和[2kπ＋π，2kπ＋)(k∈Z)
5．函數(shù)y＝tan x的值域是________．
解析 ∵y＝tan x在區(qū)間上單調遞增．
tan＝－tan ＝－1，tan＝，
∴y＝tan x在上的值域是.
答案 [－1，]
6．求函數(shù)y＝tan的定義域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、單調性．
解 由3x－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z.
所以所求定義域為.
值域為R，周期T＝，是非
16、奇非偶函數(shù)．
在區(qū)間(k∈Z)上是增函數(shù)．
7．利用函數(shù)圖像，解不等式－1≤tan x≤.
解 作出函數(shù)y＝tan x的圖像，如圖所示．觀察圖像可得：
在內，滿足條件的x為－≤x≤，由正切函數(shù)的周期性可知，
滿足不等式的x的解集為
.
能力提升
8．關于函數(shù)y＝tan，下列說法正確的是( )
A．是奇函數(shù)
B．在區(qū)間上單調遞減
C.為其圖像的一個對稱中心
D．最小正周期為π
解析 函數(shù)y＝tan是非奇非偶函數(shù)，A錯誤；
在區(qū)間上單調遞增，B錯誤；
最小正周期為，D錯誤．
∵當x＝時，tan＝0，
∴為其圖像的一個對稱中心，故選C.
答案 C
9．函數(shù)
17、f(x)＝tan ωx (ω>0)的圖像的相鄰兩支曲線截直線y＝所得線段長為，則f的值是( )
A．0 B．1
C．－1 D.
解析 由題意，得T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0.
答案 A
10．已知函數(shù)y＝tan ωx在(－，)是減函數(shù)，則ω的取值范圍是____________．
解析 ∵y＝tan ωx在(－，)內是減函數(shù)，
∴ω<0且T＝≥π.
∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0.
答案 [－1,0)
11．求函數(shù)y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域為____________．
解析 ∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤1
18、.
令tan x＝t，則t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴當t＝－1，即x＝－時，ymin＝－4，
當t＝1，即x＝時，ymax＝4.
故所求函數(shù)的值域為[－4,4]．
答案 [－4,4]
12．若函數(shù)f(x)＝tan2x－atan x的最小值為－6.求實數(shù)a的值．
解 設t＝tan x，因為|x|≤，
所以t∈[－1,1]．
則原函數(shù)化為：y＝t2－at＝2－，
對稱軸t＝.
①若－1≤≤1，則當t＝時，
ymin＝－＝－6，所以a2＝24(舍去)；
②若＜－1，即a＜－2時，
二次函數(shù)在[－1,1]上遞增，
ymin＝2－＝
19、1＋a＝－6，
所以a＝－7；
③若＞1，即a＞2時，二次函數(shù)在[－1,1]上遞減．
ymin＝2－＝1－a＝－6，所以a＝7.
綜上所述，a＝－7或a＝7.
13．(選做題)已知函數(shù)f(x)＝.
(1)求函數(shù)定義域；
(2)用定義判斷f(x)的奇偶性；
(3)在[－π，π]上作出f(x)的圖像；
(4)寫出f(x)的最小正周期及單調性．
解 (1)∵由cos x≠0得x≠kπ＋(k∈Z)，
∴函數(shù)的定義域是.
(2)由(1)知函數(shù)的定義域關于原點對稱．
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函數(shù)．
(3)f(x)＝
f(x)(x∈[－π，π])的圖像如圖所示．
(4)f(x)的最小正周期為2π，遞增區(qū)間是(k∈Z)，遞減區(qū)間是(k∈Z)．
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