2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變形 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)案 北師大版必修4

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變形 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)案 北師大版必修4 內(nèi)容要求　1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2 x＝1，＝tan x (重點(diǎn)).2.會(huì)運(yùn)用以上兩個(gè)基本關(guān)系式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明(難點(diǎn))． 知識(shí)點(diǎn)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】 1．已知α是第二象限角，sin α＝，則cos α＝(　　) A．－ B．－ C． D. 答案　A 2．已知α是第四象限角，且tan α＝－，則sin α＝(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　A 題型一　利用同角基本關(guān)系式求

2、值 【例1】　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 解　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角， (1)當(dāng)α是第二象限角時(shí)，則 sin α＝ ＝ ＝， tan α＝＝＝－. (2)當(dāng)α是第三象限角時(shí)，則 sin α＝－＝－，tan α＝. 規(guī)律方法　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系揭示了同角之間的三角函數(shù)關(guān)系，其最基本的應(yīng)用是“知一求二”，要注意這個(gè)角所在的象限，由此來(lái)決定所求的是一解還是兩解，同時(shí)應(yīng)體會(huì)方程思想的應(yīng)用． 【訓(xùn)練1】　已知sin α＝m(|m|≤1)，求tan α的值． 解　當(dāng)m＝0時(shí)，cos α＝±1，tan α＝＝0；

3、 當(dāng)m＝±1時(shí)，α的終邊在y軸上，cos α＝0，tan α無(wú)意義； 當(dāng)α在第一、四象限時(shí)，cos α＞0， ∴cos α＝＝ ∴tan α＝＝； 當(dāng)α在第二、三象限時(shí)，cos α＜0， ∴cos α＝－＝－. ∴tan α＝＝＝. 題型二　已知正切求值 【例2】　已知tan α＝2.求： (1)； (2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α. 解　(1)原式＝＝＝－2. (2)原式＝ ＝＝＝1. 規(guī)律方法　知切求弦常見(jiàn)的有兩類(lèi)： 1．求關(guān)于sin α、cos α的齊次式值的問(wèn)題，如果cos α≠0，則可將被求式化為關(guān)于tan α的表達(dá)式，然后整體代

4、入tan α的值，從而完成被求式的求值問(wèn)題． 2．若不是sin α，cos α的齊次式，可利用方程組的消元思想求解．如果已知tan α的值，求形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的值，注意將分母的1化為sin2α＋cos2α，將其代入，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan α的表達(dá)式后求值． 【訓(xùn)練2】　已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1. 求：(1)tan α； (2). 解　（1）由條件得 ＝1 ?＝1 ?4tan2α－3tan α－1＝0 ?tan α＝－或tan α＝1. (2)原式＝， 當(dāng)tan α＝－時(shí)，原式＝； 當(dāng)tan α＝1時(shí)，

5、原式＝. 方向1　三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) 【例3－1】　化簡(jiǎn)tan α，其中α是第二象限角． 解　因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵? 所以sin α＞0，cos α＜0. 故tan α ＝tan α ＝tan α ＝· ＝· ＝－1. 方向2　三角恒等式的證明 【例3－2】　求證：＝. 證明　左邊＝＝ ＝＝＝右邊，所以等式成立． 方向3　利用sin α±cos α與sin αcos α的關(guān)系解題 【例3－3】　已知在△ABC中，sin A＋cos A＝. (1)求sin Acos A的值； (2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形； (3)求sin A－cos A的值

6、． 解　(1)∵sin A＋cos A＝， 兩邊平方得1＋2sin Acos A＝， ∴sin Acos A＝－. (2)由(1)sin Acos A＝－＜0，且0＜A＜π，可知cos A＜0，∴角A為鈍角， ∴△ABC是鈍角三角形． (3)(sin A－cos A)2 ＝1－2sin Acos A ＝. 由(2)知sin A－cos A＞0， ∴sin A－cos A＝. 規(guī)律方法　1.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的三種常用技巧 (1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱(chēng)，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的． (2)對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根

7、號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的． (3)對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的． 2．證明三角恒等式的原則是由繁到簡(jiǎn)．常用的方法有： (1)從一邊開(kāi)始，證得它等于另一邊； (2)證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子； (3)變更論證，即通過(guò)化除為乘、左右相減等，轉(zhuǎn)化成證明與其等價(jià)的等式. 課堂達(dá)標(biāo) 1．已知sin α＝，α∈(0，π)，則tan α等于(　　) A. B. C．± D．± 解析　∵sin α＝，α∈(0，π)， ∴cos α＝±＝±， ∴tan α＝＝±. 答案　D 2．已知tan α＝－，

8、那么sin2α＋2sin αcos α－3cos2α的值是(　　) A．－ B．－ C．3 D．－3 解析　sin2α＋2sin αcos α－3cos2α ＝ ＝， 將tan α＝－代入上式得－3. 答案　D 3．若tan α＝2，且α∈，則sin＝________. 解析　∵tan α＝＝2，∴sin α＝2cos α， 又∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝. ∵α∈，∴cos α＝－. ∴sin＝cos α＝－. 答案　－ 4．已知sin αcos α＝，則sin α－cos α＝________. 解析　(sin α－cos α)2＝sin2α－

9、2sin αcos α＋cos2α ＝1－2sin αcos α＝. 則sin α－cos α＝±. 答案　± 5．已知sin α＋cos α＝m，求sin3α＋cos3α的值． 解　∵sin α＋cos α＝m，∴sin αcos α＝. ∴sin3α＋cos3α＝(sin α＋cos α)(sin2α－sin αcos α＋cos2α) ＝m(1－)＝(3－m2)． 課堂小結(jié) 1．“同角”有兩層含義：一是“角相同”；二是“任意性”，即關(guān)系式恒成立，與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān)．如：sin23α＋cos23α＝1等． 2．已知角α的一個(gè)三角函數(shù)值，求α的其他兩個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，要特別

10、注意角所在的象限，以確定三角函數(shù)值的符號(hào)． 3．計(jì)算、化簡(jiǎn)或證明三角函數(shù)式時(shí)常用的技巧： (1)“1”的代換．為了解題的需要，有時(shí)可以將1用“sin2α＋cos2α”代替． (2)切化弦．利用商數(shù)關(guān)系把切函數(shù)化為弦函數(shù)． (3)整體代換．將計(jì)算式適當(dāng)變形使條件可以整體代入，或?qū)l件適當(dāng)變形找出與算式之間的關(guān)系. 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　) A．tan α＝－ B．cos α＝－ C．sin α＝－ D．tan α＝ 解析　由商數(shù)關(guān)系可知A、D均不正確，當(dāng)α為第二象限角時(shí)，cos α<0，sin α>0，故B正確． 答案　B 2．

11、已知＝2，則sin θcos θ的值是(　　) A. B．± C. D．－ 解析　由題意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)， ∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2， 解得sin θcos θ＝. 答案　C 3．已知α是第二象限的角，tan α＝－，則cos α等于(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析　∵α是第二象限角，∴cos α<0. 又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－， ∴cos α＝－. 答案　C 4．若α為第三象限角，則＋＝________. 解析　∵α為第三象限角， ∴sin α<

12、0，cos α<0， ∴原式＝＋ ＝＋＝－1－2 ＝－3. 答案?。? 5．已知sin αcos α＝且<α<，則cos α－sin α＝______. 解析　(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝， ∵<α<，∴cos α

13、θ＋3＝0， 所以tan θ＝－3或tan θ＝－. 7．若cos α＝－且tan α＞0，求的值． 解?。? ＝＝ ＝ ＝sin α(1＋sin α)． ∵tan α＝＞0，cos α＝－＜0， ∴sin α＜0.又sin2α＋cos2α＝1， ∴sin α＝－＝－， ∴原式＝sin α(1＋sin α) ＝－·＝－. 能力提升 8．函數(shù)y＝－sin2x－3cos x的最小值是(　　) A．－ B．－2 C. D．－ 解析　y＝－(1－cos2x)－3cos x ＝cos2x－3cos x＋ ＝2－2 當(dāng)cos x＝1時(shí)，ymin＝2－2＝－. 答案

14、　A 9．使＝成立的角α的范圍是(　　) A．2kπ－π＜α＜2kπ(k∈Z) B．2kπ－π≤α≤2kπ(k∈Z) C．2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z) D．只能是第三或第四象限角 解析　∵＝＝＝， ∴sin α＜0.∴2kπ－π＜α＜2kπ，(k∈Z)． 答案　A 10．已知sin x＝，cos x＝，且x∈，則tan x＝________. 解析　由sin2x＋cos2x＝1，即2＋2＝1.得m＝0或m＝8.又x∈，∴sin x＜0，cos x＞0，∴當(dāng)m＝0時(shí)，sin x＝－，cos x＝，此時(shí) tan x＝－；當(dāng)m＝8時(shí)，sin x＝，cos x＝－(舍去)，

15、 綜上知：tan x＝－. 答案?。? 11．在△ABC中，sin A＝ ，則角A＝________. 解析　由題意知cos A>0，即A為銳角． 將sin A＝ 兩邊平方得2sin2A＝3cos A. ∴2cos2A＋3cos A－2＝0， 解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)， ∴A＝. 答案　 12．求證：－＝. 證明　方法一 左邊＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝右邊．∴原式成立． 方法二　∵＝＝， ＝＝， ∴－＝.∴原式成立． 13．(選做題)已知關(guān)于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的兩根為sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求： (1)m的值; (2)＋的值; (3)方程的兩根及此時(shí)θ的值． 解　(1)由根與系數(shù)的關(guān)系可知， Sin θ＋cos θ＝，① sin θ·cos θ＝m，② 將①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝， 所以sin θ·cos θ＝，代入②得m＝. (2)＋ ＝＋ ＝＝sin θ＋cos θ＝. (3)因?yàn)橐亚蟮胢＝， 所以原方程化為2x2－(＋1)x＋＝0， 解得x1＝，x2＝. 所以或 又因?yàn)棣取?0，π)，所以θ＝或.