2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-7 拋物線《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-7 拋物線《教案》 【教學(xué)目標(biāo)】 1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率)． 2.理解數(shù)形結(jié)合的思想． 　3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡單應(yīng)用。 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn)：掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì); 2.教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會對知識進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力； 【教學(xué)策略與方法】 自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動法 【教學(xué)過程】 教學(xué)流程 教師活動 學(xué)生活動 設(shè)計(jì)意圖

2、 環(huán)節(jié)二： 考綱傳真: 1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率)． 2.理解數(shù)形結(jié)合的思想． 3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡單應(yīng)用。 真題再現(xiàn); 1.(xx·全國Ⅰ)以拋物線

3、C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn).已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析　不妨設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)，則圓的方程可設(shè)為x2＋y2＝r2(r>0)，如圖，又可設(shè)A(x0，2)， D，點(diǎn)A(x0，2)在拋物線y2＝2px上， ∴8＝2px0，①點(diǎn)A(x0，2)在圓x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②點(diǎn)D在圓x2＋y2＝r2上， ∴5＋＝r2，③聯(lián)立①②③，解得p＝4，即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p＝4，故選B.答案　B 2.(xx·陜西，14)若拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)

4、線經(jīng)過雙曲線x2－y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝________. 解析　由于雙曲線x2－y2＝1的焦點(diǎn)為(±，0)，故應(yīng)有＝，p＝2.答案　2 3.(xx·全國Ⅱ，11)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0，2)，則C的方程為(　　) A.y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x C.y2＝4x或y2＝16x D.y2＝2x或y2＝16x 解析　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，由拋物線的定義，得|MF|＝x0＋＝5，則x0＝5－.又點(diǎn)F的坐標(biāo)為，所以以MF為直徑的圓的方程為(x－x0)＋(y－y0)y＝0

5、.將x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.由y＝2px0，得16＝2p，解之得p＝2，或p＝8.所以C的方程為y2＝4x或y2＝16x，故選C. 答案　C 知識梳理： 知識點(diǎn)1　拋物線的定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線． 知識點(diǎn)2　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離 圖形 頂點(diǎn)

6、O(0,0) 對稱軸 x軸 y軸 焦點(diǎn) F F F F 離心率 e＝1 準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半徑(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y(tǒng)0＋ |PF|＝－y0＋ 1．必會結(jié)論；設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)． (3)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切． (4

7、)通徑：過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦，長等于2p.通徑是過焦點(diǎn)最短的弦． 2．必知聯(lián)系；(1)若拋物線的開口方向不能確定，可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝mx或x2＝my(m≠0)． (2)若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與拋物線相切，或直線平行于對稱軸，即由得ay2＋by＋c＝0或ax2＋bx＋c＝0.當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相切，當(dāng)a＝0時(shí)，此時(shí)直線就是與對稱軸平行的直線． 考點(diǎn)分項(xiàng)突破 考點(diǎn)一：拋物線的準(zhǔn)線方程及幾何性質(zhì) 1.已知拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，其上一點(diǎn)P(－3，m)到焦點(diǎn)的距離為5，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2

8、＝－4x 【解析】　依題意得，－(－3)＝5，∴p＝4.∴拋物線方程為y2＝－8x.故選B.【答案】　B 2．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的方程為(　　) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 【解析】　由已知得拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)A(0,2)，點(diǎn)M(x0，y0)，則＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5，得＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8.故C的方程為y2＝4x或y2＝16x

9、.故選C.【答案】　C 3．(xx·湖南高考)如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b(a0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點(diǎn)，則＝________. 【解析】　∵正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b，O為AD的中點(diǎn)，∴C，F(xiàn). 又∵點(diǎn)C，F(xiàn)在拋物線y2＝2px(p>0)上，∴解得＝＋1. 【答案】　＋1 歸納；1．拋物線幾何性質(zhì)的確定 由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點(diǎn)位置、焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，從而進(jìn)一步確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程． 2．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法及流程 (1)方法：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

10、程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可． (2)流程：因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量． 考點(diǎn)二: 拋物線的定義及應(yīng)用 ●命題角度1　到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化 1．(xx·全國卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝x0，則x0＝(　　) A．4 B．2 C．1 D．8 【解析】　如圖，F(xiàn)，過A作AA′⊥準(zhǔn)線l， ∴|AF|＝|AA′|，∴x0＝x0＋＝x0＋，∴x0＝1. 【答案】　C ●命題角度2　到焦點(diǎn)與定點(diǎn)距離之和最小問題 2．已知拋物線的方程

11、為x2＝8y，F(xiàn)是焦點(diǎn)，點(diǎn)A(－2,4)，在此拋物線上求一點(diǎn)P，使|PF|＋|PA|的值最小． 【解】　∵(－2)2<8×4，∴點(diǎn)A(－2,4)在拋物線x2＝8y的內(nèi)部． 如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B，連接AQ.由拋物線的定義可知|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，A三點(diǎn)共線時(shí)，|PF|＋|PA|取得最小值，即為|AB|. ∵A(－2,4)，∴不妨設(shè)|PF|＋|PA|的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝.故使|PF|＋|PA|的值最小的拋物線上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為. ●命題角度

12、3　到點(diǎn)(線)與準(zhǔn)線的距離之和最小問題 3．已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋4＝0，在拋物線上有一動點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，P到直線l的距離為d2，則d1＋d2的最小值是(　　) A.＋2 B.＋1 C.－2 D.－1 【解析】　設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，則d1＝|PF|－1，d1＋d2＝d2＋|PF|－1，點(diǎn)F到直線l的距離d＝＝.則d1＋d2≥－1，故選D. 【答案】　D 歸納：與拋物線有關(guān)的最值問題的求解策略 與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的

13、難度．“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑． 考點(diǎn)三: 直線與拋物線的綜合問題 (1)(xx·遼寧高考)已知點(diǎn)A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為(　　) A. B. C. D. (2)(xx·福建高考)已知點(diǎn)F為拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2，m)在拋物線E上，且|AF|＝3. ①求拋物線E的方程； ②已知點(diǎn)G(－1,0)，延長AF交拋物線E于點(diǎn)B，證明：以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切． 【解析】　(

14、1)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為直線x＝－，而點(diǎn)A(－2,3)在準(zhǔn)線上，所以－＝－2，即p＝4，從而C：y2＝8x，焦點(diǎn)為F(2,0)．設(shè)切線方程為y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)①，由于Δ＝1－4×(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝.因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，所以k＝.將k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,8)，所以直線BF的斜率為＝.【答案】　D (2)法一?、儆蓲佄锞€的定義得|AF|＝2＋.因?yàn)閨AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，所以拋物線E的方程為y2＝4x.②因?yàn)辄c(diǎn)A(2，m)在拋物線E：y2＝4x上， 所以

15、m＝±2.由拋物線的對稱性，不妨設(shè)A(2,2)． 由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y＝2(x－1)．由得2x2－5x＋2＝0， 解得x＝2或x＝，從而B. 又G(－1,0)，所以kGA＝＝，kGB＝＝－，所以kGA＋kGB＝0，從而∠AGF＝∠BGF，這表明點(diǎn)F到直線GA，GB的距離相等，故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切． 法二　①同法一．②設(shè)以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.因?yàn)辄c(diǎn)A(2，m)在拋物線E：y2＝4x上，所以m＝±2.由拋物線的對稱性，不妨設(shè)A(2,2)．由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為 y＝2(x－1)．由得

16、2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，從而B. 又G(－1,0)，故直線GA的方程為2x－3y＋2＝0，從而r＝＝.又直線GB的方程為2x＋3y＋2＝0，所以點(diǎn)F到直線GB的距離d＝＝＝r.這表明以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切． 跟蹤訓(xùn)練1.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8. (1)求拋物線C的方程； (2)不過原點(diǎn)的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積． 【解】　(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，－8)，∴(－8)2

17、＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x. (2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)直線l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點(diǎn)為M. 由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2. 由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8或m＝0(舍)，∴直線l2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0)． 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|＝3＝24. 歸納：解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的常用方法 1．直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的

18、位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系． 2．有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式． 3．涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解決．提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)，一般用“點(diǎn)差法”求解． 。 學(xué)生通過對高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學(xué)生通過對高考真題的解決

19、，感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生通過對基礎(chǔ)知識的逐點(diǎn)掃描，來澄清概念，加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ). 在解題中注意

20、引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題，教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過對考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求，做到有的放矢

21、 由常見問題的解決和總結(jié)，使學(xué)生形成解題模塊，提高模式識別能力和解題效率。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的知識進(jìn)行小結(jié)，由利于學(xué)生對已有的知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理，加強(qiáng)理解記憶，提高解題技能。 環(huán)節(jié)三： 課堂小結(jié)： 1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率)． 2.理解數(shù)形結(jié)合的思想．　 3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡單應(yīng)用。 學(xué)生回顧，總結(jié). 引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，為在今后的學(xué)習(xí)中，進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。 環(huán)節(jié)四： 課后作業(yè)：學(xué)生版練與測 學(xué)生通過作業(yè)進(jìn)行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識。