(全國(guó)版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 算法初步、復(fù)數(shù)、推理與證明 第2講 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)案

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1、 第2講 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 板塊一 知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 1.復(fù)數(shù)的概念 形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中a,b分別是它的實(shí)部和虛部.若b=0,則a+bi為實(shí)數(shù),若b≠0,則a+bi為虛數(shù),若a=0,b≠0,則a+bi為純虛數(shù). 2.復(fù)數(shù)相等 a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R). 3.共軛復(fù)數(shù) a+bi與c+di共軛?a=c且b=-d(a,b,c,d∈R). 4.復(fù)數(shù)的模 向量的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模,記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=(r≥0,r∈R). 考點(diǎn)2

2、 復(fù)數(shù)的幾何意義 考點(diǎn)3 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則 1.加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 2.減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; 3.乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; 4.除法:===+i(c+di≠0). [必會(huì)結(jié)論] 1.(1±i)2=±2i;=i;=-i. 2.-b+ai=i(a+bi). 3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*). 4.i4n+i4n+1

3、+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*). [考點(diǎn)自測(cè)] 1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)方程x2+1=0沒(méi)有解.(  ) (2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)中,虛部為bi.(  ) (3)復(fù)數(shù)的模等于復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,也等于復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模.(  ) (4)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)=1+2i,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.(  ) (5)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念,因此復(fù)數(shù)可以比較大?。?  ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2.[2017·全國(guó)卷Ⅲ]復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i(-2+i)的點(diǎn)位于(

4、  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 C 解析 ∵z=i(-2+i)=-1-2i,∴復(fù)數(shù)z=-1-2i所對(duì)應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)為Z(-1,-2),位于第三象限. 故選C. 3.[2017·全國(guó)卷Ⅱ]=(  ) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 答案 D 解析?。剑剑?-i. 故選D. 4.[2018·榆林模擬]設(shè)復(fù)數(shù)z=-2+i(i是虛數(shù)單位),z的共軛復(fù)數(shù)為,則|(1+z)·|等于(  ) A. B.2 C.5 D. 答案 D 解析 ∵z=-2+i,∴=-2-i, ∴|(1+z)·|=|(1-2+

5、i)·(-2-i)|=|3-i|==,故選D. 5.[2017·江蘇高考]已知復(fù)數(shù)z=(1+i)(1+2i),其中i是虛數(shù)單位,則z的模是________. 答案  解析 ∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i-2=-1+3i, ∴|z|==. |z|=|1+i||1+2i|=×=. 6.[2018·湖北高中聯(lián)考]已知復(fù)數(shù)z=1+i(i是虛數(shù)單位),則-z2的共軛復(fù)數(shù)是________. 答案 1+3i 解析 -z2=-(1+i)2=-2i=1-i-2i=1-3i,其共軛復(fù)數(shù)是1+3i. 板塊二 典例探究·考向突破 考向 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 例 1 (1)[2017·全國(guó)

6、卷Ⅰ]下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是(  ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i) 答案 C 解析 A項(xiàng),i(1+i)2=i(1+2i+i2)=i×2i=-2,不是純虛數(shù).B項(xiàng),i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是純虛數(shù).C項(xiàng),(1+i)2=1+2i+i2=2i,是純虛數(shù).D項(xiàng),i(1+i)=i+i2=-1+i,不是純虛數(shù).故選C. (2)[2017·天津高考]已知a∈R,i為虛數(shù)單位,若為實(shí)數(shù),則a的值為_(kāi)_______. 答案?。? 解析 ∵a∈R,===-i為實(shí)數(shù),∴-=0,∴a=-2. 觸類旁通 求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問(wèn)題

7、的技巧 復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部有關(guān),所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問(wèn)題時(shí),需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根據(jù)題意列方程(組)求解. 【變式訓(xùn)練1】 (1)若復(fù)數(shù)z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是純虛數(shù),則的虛部為(  ) A.- B.-i C. D.i 答案 A 解析 由題意得所以a=1,所以===-i,根據(jù)虛部的概念,可得的虛部為-.故選A. (2)[2018·福州調(diào)研]已知m∈R,i為虛數(shù)單位,若>0,則m=(  ) A.1 B. C. D.-2 答案 B 解析 由已知得== ,由

8、>0,可得1-2m=0,則m=,選B. 考向 復(fù)數(shù)的幾何意義 例 2 (1)[2017·北京高考]若復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) 答案 B 解析 ∵(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i, 又∵復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,∴解得a<-1.故選B. (2)[2018·貴陽(yáng)模擬]已知i為虛數(shù)單位,a為實(shí)數(shù),復(fù)數(shù)z=在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y軸上,則a=________. 答案?。? 解析 z===

9、,由a+3=0,得a=-3. 觸類旁通 復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用 復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,每一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)(有序?qū)崝?shù)對(duì)).復(fù)數(shù)的實(shí)部對(duì)應(yīng)著點(diǎn)的橫坐標(biāo),而虛部則對(duì)應(yīng)著點(diǎn)的縱坐標(biāo),只要在復(fù)平面內(nèi)找到這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)所表示的點(diǎn),就可根據(jù)點(diǎn)的位置判斷復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的取值. 【變式訓(xùn)練2】 (1)[2018·邯鄲模考]已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z=在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,則實(shí)數(shù)a的值可以是(  ) A.-2 B.1 C.2 D.3 答案 A 解析 z===,因?yàn)閺?fù)數(shù)z=在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,所以解得-4

10、復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,若=λ+μ,(λ,μ∈R),則λ+μ的值是________. 答案 1 解析 由條件得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),由=λ+μ,得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ), ∴解得∴λ+μ=1. 考向 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 命題角度1 復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算 例 3 [2017·山東高考]已知a∈R,i是虛數(shù)單位.若z=a+i,z·=4,則a=(  ) A.1或-1 B.或- C.- D. 答案 A 解析 依題意得(a+i)(a-i)=4,即a

11、2+3=4,∴a=±1.故選A. 命題角度2 復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算 例 4 [2015·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=i,則|z|=(  ) A.1 B. C. D.2 答案 A 解析 由題意知1+z=i-zi, 所以z===i,所以|z|=1. 命題角度3 復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算 例 5 [2018·紹興模擬]i是虛數(shù)單位,2018+7=________. 答案 0 解析 原式=1009+7=1009+i7=i4×252+1+i3=i-i=0. 觸類旁通 復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算類似,需要注意in的運(yùn)算周期性. 【變式訓(xùn)練3】 [2018·香坊模擬]已知復(fù)數(shù)z=+,a∈R,

12、若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于第四象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A.a(chǎn)>1 B.a(chǎn)<0 C.01.故選A. 核心規(guī)律 1.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).除了原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù). 2.設(shè)z=a+bi(a,b∈R),利用復(fù)數(shù)相等和相關(guān)性質(zhì)將復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的常用方法. 3.在復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算中,加、減、乘運(yùn)算按多項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行,除法法則需分母實(shí)數(shù)化. 滿分策略 1.判定復(fù)數(shù)是不是實(shí)數(shù),僅注意虛部等于0是不夠的,還需考慮

13、它的實(shí)部是否有意義. 2.注意復(fù)數(shù)和虛數(shù)是包含關(guān)系,不能把復(fù)數(shù)等同為虛數(shù),如虛數(shù)不能比較大小,但說(shuō)兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小就不對(duì)了. 3.注意不能把實(shí)數(shù)集中的所有運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來(lái).例如,若z1,z2∈C,z+z=0,就不能推出z1=z2=0;z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立. 板塊三 啟智培優(yōu)·破譯高考 數(shù)學(xué)思想系列12——解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的實(shí)數(shù)化思想 [2018·金華模擬]已知z∈C,解方程z·-3i=1+3i. 解題視點(diǎn) 設(shè)z=a+bi(a,b∈R),根據(jù)已知中恒等的條件,列出一組含a,b的方程,解方程組使問(wèn)題獲得解決. 解 設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則(a+b

14、i)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i. 根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義,得 解之得或∴z=-1或z=-1+3i. 答題啟示 (1)復(fù)數(shù)問(wèn)題要把握一點(diǎn),即復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化,這是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題最基本的思想方法. (2)本題求解的關(guān)鍵是先把z用復(fù)數(shù)的形式表示出來(lái),再用待定系數(shù)法求解,這是常用的數(shù)學(xué)方法. (3)本題易錯(cuò)原因?yàn)橄氩坏嚼么ㄏ禂?shù)法,或不能將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)方程求解. 跟蹤訓(xùn)練 [2018·金版創(chuàng)新]設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+||=2+i,則z=(  ) A.-+i B.+i C.--i D.-i 答案 B 解析 設(shè)z=a+bi(a,b∈R

15、),由已知得a+bi+=2+i,由復(fù)數(shù)相等可得∴故z=+i,故選B. 板塊四 模擬演練·提能增分 [A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1.[2017·全國(guó)卷Ⅲ]設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i,則|z|=(  ) A. B. C. D.2 答案 C 解析 由(1+i)z=2i,得z==1+i, ∴|z|=.故選C. ∵2i=(1+i)2, ∴由(1+i)z=2i=(1+i)2,得z=1+i,∴|z|=.故選C. 2.[2018·湖南模擬]已知=1+i(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z=(  ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 答案 D 解析 由=1+i,得z=

16、== =-1-i. 3.[2018·江西模擬]已知復(fù)數(shù)z1=cos23°+isin23°和復(fù)數(shù)z2=cos37°+isin37°,則z1·z2為(  ) A.+i B.+i C.-i D.-i 答案 A 解析 z1·z2=(cos23°+isin23°)·(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=+i.故選A. 4.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,z1=2+i,則=(  ) A.1+i B.+i C.1+i D.1+i 答案 B 解析 因?yàn)閺?fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,z1=2+i,所以z2=2-i,所

17、以===+i.故選B. 5.[2018·天津模擬]已知復(fù)數(shù)z滿足(i-1)(z-i3)=2i(i為虛數(shù)單位),則z的共軛復(fù)數(shù)為(  ) A.i-1 B.1+2i C.1-i D.1-2i 答案 B 解析 依題意可得z=+i3=-i=-(i-1)-i=1-2i,其共軛復(fù)數(shù)為1+2i,故選B. 6.已知a為實(shí)數(shù),若復(fù)數(shù)z=(a2-1)+(a+1)i為純虛數(shù),則=(  ) A.1 B.0 C.1+i D.1-i 答案 D 解析 z=(a2-1)+(a+1)i為純虛數(shù),則有a2-1=0,a+1≠0,得a=1,則有===1-i,選D. 7.[2018·郴州模擬]設(shè)z=1-i

18、(i是虛數(shù)單位),若復(fù)數(shù)+z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為,則向量的模是(  ) A.1 B. C. D.2 答案 B 解析 z=1-i(i是虛數(shù)單位), 復(fù)數(shù)+z2=+(1-i)2=-2i=1-i. 向量的模:=.故選B. 8.[2018·溫州模擬]滿足=i(i為虛數(shù)單位)的復(fù)數(shù)是________. 答案?。? 解析 由已知得z+i=zi,則z(1-i)=-i, 即z====-. 9.若=1-bi,其中a,b都是實(shí)數(shù),i是虛數(shù)單位,則|a+bi|=________. 答案  解析 ∵a,b∈R,且=1-bi,則a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i,∴∴

19、 ∴|a+bi|=|2-i|==. 10.[2017·浙江高考]已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則a2+b2=________,ab=________. 答案 5 2 解析 (a+bi)2=a2-b2+2abi. 由(a+bi)2=3+4i,得解得a2=4,b2=1. 所以a2+b2=5,ab=2. [B級(jí) 知能提升] 1.[2018·成都模擬]已知復(fù)數(shù)z1=2+6i,z2=-2i,若z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,線段AB的中點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 z,則|z|=(  ) A. B.5 C.2 D.2 答案 A 解析 復(fù)數(shù)z1=2+6i

20、,z2=-2i,若z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A(2,6),B(0,-2),線段AB的中點(diǎn)C(1,2)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=1+2i,則|z|==.故選A. 2.[2017·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)有下面四個(gè)命題 p1:若復(fù)數(shù)z滿足∈R,則z∈R; p2:若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R,則z∈R; p3:若復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1z2∈R,則z1=2; p4:若復(fù)數(shù)z∈R,則∈R. 其中的真命題為(  ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 答案 B 解析 設(shè)z=a+bi(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R).

21、對(duì)于p1,若∈R,即=∈R,則b=0?z=a+bi=a∈R,所以p1為真命題. 對(duì)于p2,若z2∈R,即(a+bi)2=a2+2abi-b2∈R,則ab=0.當(dāng)a=0,b≠0時(shí),z=a+bi=bi∈/ R,所以p2為假命題. 對(duì)于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,則a1b2+a2b1=0.而z1=2,即a1+b1i=a2-b2i?a1=a2,b1=-b2.因?yàn)閍1b2+a2b1=0?/ a1=a2,b1=-b2,所以p3為假命題. 對(duì)于p4,若z∈R,即a+bi∈R,則b=0?=a-bi=a∈R,所以p4為真命

22、題.故選B. 3.[2018·廈門(mén)模擬]已知復(fù)數(shù)z=x+yi,且|z-2|=,則的最大值為_(kāi)_______. 答案  解析 ∵|z-2|==, ∴(x-2)2+y2=3. 由圖可知max==. 4.已知復(fù)數(shù)z=bi(b∈R),是實(shí)數(shù),i是虛數(shù)單位. (1)求復(fù)數(shù)z; (2)若復(fù)數(shù)(m+z)2所表示的點(diǎn)在第一象限,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解 (1)因?yàn)閦=bi(b∈R), 所以====+i. 又因?yàn)槭菍?shí)數(shù),所以=0,所以b=-2,即z=-2i. (2)因?yàn)閦=-2i,m∈R,所以(m+z)2=(m-2i)2=m2-4mi+4i2=(m2-4)-4mi,又因?yàn)閺?fù)數(shù)(m+z)2所表示的點(diǎn)在第一象限,所以解得m<-2,即m∈(-∞,-2). 5.若虛數(shù)z同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:①z+是實(shí)數(shù);②z+3的實(shí)部與虛部互為相反數(shù).這樣的虛數(shù)是否存在?若存在,求出z;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解 存在.設(shè)z=a+bi(a,b∈R,b≠0), 則z+=a+bi+ =a+bi. 又z+3=a+3+bi實(shí)部與虛部互為相反數(shù),z+是實(shí)數(shù),根據(jù)題意有 因?yàn)閎≠0,所以 解得或 所以z=-1-2i或z=-2-i. 11

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