(全國通用版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理
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1、 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第1課坐標(biāo)系 [過雙基] 1.平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換 設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換 φ:的作用下,點(diǎn)P(x,y)對應(yīng)到點(diǎn)P′(x′,y′),稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡稱伸縮變換. 2.極坐標(biāo)系的概念 (1)極坐標(biāo)系 如圖所示,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn);自極點(diǎn)O引一條射線Ox,叫做極軸;再選定一個(gè)長度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向),這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系. (2)極坐標(biāo) ①極徑:設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑,記為ρ. ②極角:以極
2、軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角,記為θ. ③極坐標(biāo):有序數(shù)對(ρ,θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記作M(ρ,θ). 3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是(x,y),極坐標(biāo)是(ρ,θ),則它們之間的關(guān)系為: 4.常見曲線的極坐標(biāo)方程 圓心在極點(diǎn),半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程 ρ=r(0≤θ<2π) 圓心為,半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程 ρ=2rsin θ(0≤θ<π) 過極點(diǎn),傾斜角為α的直線的極坐標(biāo)方程 θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R) 過點(diǎn)(a,0),與極軸垂直的直線的極坐標(biāo)方程 ρcos θ=a 過點(diǎn),與極軸平行的直線的
3、極坐標(biāo)方程 ρsin θ=a(0<θ<π) 1.點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,-),則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為________. 解析:因?yàn)辄c(diǎn)P(1,-)在第四象限,與原點(diǎn)的距離為2,且OP與x軸所成的角為-,所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)為. 答案: 2.在極坐標(biāo)系中,圓ρ=2cos θ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為________. 解析:把圓ρ=2cos θ的方程化為(x-1)2+y2=1知,圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為x=0和x=2,從而得這兩條切線的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2. 答案:θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2 3.(2017·北京高考)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在圓ρ
4、2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0),則|AP|的最小值為________. 解析:將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=1,圓心為(1,2),半徑r=1.因?yàn)辄c(diǎn)P(1,0)到圓心的距離d==2>1,所以點(diǎn)P在圓外,所以|AP|的最小值為d-r=2-1=1. 答案:1 4.(2017·天津高考)在極坐標(biāo)系中,直線4ρcos+1=0與圓ρ=2sin θ 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________. 解析:依題意,得4ρ+1=0, 即2ρcos θ+2ρsin θ+1=0, 所以直線的直角坐標(biāo)方程為2x+2
5、y+1=0. 由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ, 所以圓的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2y, 即x2+(y-1)2=1, 其圓心(0,1)到直線2x+2y+1=0的距離 d==<1,則直線與圓相交, 故直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2. 答案:2 5.在極坐標(biāo)系中,過點(diǎn)A引圓ρ=8sin θ的一條切線,則切線長為________. 解析:點(diǎn)A的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為A(0,-1), 圓ρ=8sin θ的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-8y=0, 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-4)2=16, 點(diǎn)A與圓心C(0,4)的距離為|AC|=5, 所以切線長為=3. 答案:3 [清易錯(cuò)
6、] 1.極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化易錯(cuò)用互化公式.在解決此類問題時(shí)考生要注意兩個(gè)方面:一是準(zhǔn)確應(yīng)用公式,二是注意方程中的限制條件. 2.在極坐標(biāo)系下,點(diǎn)的極坐標(biāo)不唯一性易忽視. 注意極坐標(biāo)(ρ,θ)(ρ,θ+2kπ)(k∈Z),(-ρ,π+θ+2kπ)(k∈Z)表示同一點(diǎn)的坐標(biāo). 1.若圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcos-1=0,若以極點(diǎn)為原點(diǎn),以極軸為x軸的正半軸建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系xOy,則在直角坐標(biāo)系中,圓心C的直角坐標(biāo)是________. 解析:因?yàn)棣?-4ρcos-1=0,所以ρ2-2ρcos θ-2ρsin θ-1=0,即x2+y2-2x-2y-1=0,因此圓心坐
7、標(biāo)為(1,). 答案:(1,) 2.圓ρ=5cos θ-5sin θ的圓心的極坐標(biāo)為________. 解析:將方程 ρ=5cos θ-5sin θ兩邊都乘以ρ得: ρ2=5ρcos θ-5ρsin θ, 化成直角坐標(biāo)方程為x2+y2-5x+5y=0. 圓心的坐標(biāo)為, 化成極坐標(biāo)為. 答案:(答案不唯一) 平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換 [典例] (1)在同一平面直角坐標(biāo)系中,已知伸縮變換φ:求點(diǎn)A經(jīng)過φ變換所得的點(diǎn)A′的坐標(biāo). (2)求直線l:y=6x經(jīng)過φ:變換后所得到的直線l′的方程. [解] (1)設(shè)A′(x′,y′),由伸縮變換φ: 得到由于點(diǎn)A的坐
8、標(biāo)為, 于是x′=3×=1,y′=×(-2)=-1, ∴A′(1,-1)為所求. (2)設(shè)直線l′上任意一點(diǎn)P′(x′,y′), 由上述可知,將代入y=6x得 2y′=6×,∴y′=x′,即y=x為所求. [方法技巧] 伸縮變換的解題方法 平面上的曲線y=f(x)在變換φ:的作用下得到的方程的求法是將代入y=f(x),得=f,整理之后得到y(tǒng)′=h(x′),即為所求變換之后的方程. [即時(shí)演練] 1.求橢圓+y2=1,經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程. 解:由得① 將①代入+y2=1,得+y′2=1,即x′2+y′2=1. 因此橢圓+y2=1經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x2
9、+y2=1. 2.若函數(shù)y=f(x)的圖象在伸縮變換φ:的作用下得到曲線的方程為y′=3sin,求函數(shù)y=f(x)的最小正周期. 解:由題意,把變換公式代入曲線 y′=3sin得3y=3sin, 整理得y=sin,故f(x)=sin. 所以y=f(x)的最小正周期為=π. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 [典例] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin=,直線與曲線C:ρsin2θ=8cos θ相交于不同的兩點(diǎn)A,B,求|AB|的值. [解] l:ρsin=?ρcos θ-ρsin θ=?x-y-1=0,C的直角坐標(biāo)方
10、程是y2=8x. 由 可得x2-10x+1=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=10,x1x2=1, 所以AB的長為·=8. [方法技巧] 1.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式的3個(gè)前提條件 (1)取直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn). (2)以x軸的非負(fù)半軸為極軸. (3)兩種坐標(biāo)系規(guī)定相同的長度單位. 2.直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的注意點(diǎn) (1)根據(jù)終邊相同的角的意義,角θ的表示方法具有周期性,故點(diǎn)M的極坐標(biāo)(ρ,θ)的形式不唯一,即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無窮多個(gè). 當(dāng)限定ρ≥0,θ∈[0,2π)時(shí),除極點(diǎn)外,點(diǎn)M的極坐標(biāo)是唯一的. (2)當(dāng)把點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí),求
11、極角θ應(yīng)注意判斷點(diǎn)M所在的象限(即角θ的終邊的位置),以便正確地求出角θ∈[0,2π)的值. [即時(shí)演練] 在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos=1(0≤θ<2π),M,N分別為C與x軸,y軸的交點(diǎn). (1)寫出C的直角坐標(biāo)方程,并求M,N的極坐標(biāo); (2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P,求直線OP的極坐標(biāo)方程. 解:(1)由ρcos=1,得ρ=1. 從而C的直角坐標(biāo)方程為x+y=1, 即x+y-2=0. 當(dāng)θ=0時(shí),ρ=2,所以M(2,0). 當(dāng)θ=時(shí),ρ=,所以N. (2)M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0). N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.
12、所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為, 則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為. 所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R). 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 [典例] 已知曲線C1:x+y=和C2:(φ為參數(shù)).以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位. (1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標(biāo)方程; (2)設(shè)C1與x,y軸交于M,N兩點(diǎn),且線段MN的中點(diǎn)為P.若射線OP與C1,C2交于P,Q兩點(diǎn),求P,Q兩點(diǎn)間的距離. [解] (1)C1:ρsin=,C2:ρ2=. (2)∵M(jìn)(,0),N(0,1), ∴P, ∴OP的極坐標(biāo)方程為θ=, 把θ=代入ρsin=得ρ1=1,P. 把θ
13、=代入ρ2=得ρ2=2,Q. ∴|PQ|=|ρ2-ρ1|=1,即P,Q兩點(diǎn)間的距離為1. [方法技巧] 曲線的極坐標(biāo)方程的求解策略 在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離、線段長等幾何問題時(shí),如果不能直接用極坐標(biāo)解決,或用極坐標(biāo)解決較麻煩,可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決. [即時(shí)演練] 在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的普通方程為(x-1)2+y2=1.以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求圓C的極坐標(biāo)方程; (2)直線l的極坐標(biāo)方程是ρ(sin θ+cos θ)=3,射線OM:θ=與圓C的交點(diǎn)為O,P,與直線l的交點(diǎn)為Q,求線段PQ的長. 解:(1)因?yàn)閳AC
14、的普通方程為(x-1)2+y2=1, 又x=ρcos θ,y=ρsin θ, 所以圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cos θ. (2)設(shè)(ρ1,θ1)為點(diǎn)P的極坐標(biāo), 則有解得 設(shè)(ρ2,θ2)為點(diǎn)Q的極坐標(biāo), 則有解得 由于θ1=θ2,所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=2,即線段PQ的長為2. 1.(2017·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ=4. (1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,點(diǎn)B在曲線C2上
15、,求△OAB面積的最大值. 解:(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ,θ)(ρ>0),M的極坐標(biāo)為(ρ1,θ)(ρ1>0). 由題設(shè)知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=. 由|OM|·|OP|=16,得C2的極坐標(biāo)方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB,α)(ρB>0), 由題設(shè)知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面積 S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α· =2≤2+. 當(dāng)α=-時(shí),S取得最大值2+. 所以△OAB面積的最大值為2+. 2.(2015·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xO
16、y中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程; (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M,N,求△C2MN的面積. 解:(1)因?yàn)閤=ρcos θ,y=ρsin θ, 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ=-2, C2的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. (2)將θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得 ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=. 故ρ1-ρ2=,即|MN|=. 由于C2的半徑為1,所以△C
17、2MN的面積為. 3.(2016·北京高考改編)在極坐標(biāo)系中,直線ρcos θ-ρsin θ-1=0與圓ρ=2cos θ交于A,B兩點(diǎn),求|AB|. 解:∵x=ρcos θ,y=ρsin θ, ∴直線的直角坐標(biāo)方程為x-y-1=0. ∵ρ=2cos θ, ∴ρ2(sin2θ+cos2θ)=2ρcos θ, ∴x2+y2=2x. ∴圓的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=1. ∵圓心(1,0)在直線x-y-1=0上, ∴AB為圓的直徑,∴|AB|=2. 4.(2015·安徽高考改編)在極坐標(biāo)系中,求圓ρ=8sin θ上的點(diǎn)到直線θ=(ρ∈R)距離的最大值. 解:圓ρ=8sin
18、 θ即ρ2=8ρsin θ, 化為直角坐標(biāo)方程為x2+(y-4)2=16, 直線 θ=即tan θ=, 化為直角坐標(biāo)方程為x-y=0, 圓心(0,4)到直線的距離為=2, 所以圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為2+4=6. 5.(2015·北京高考改編)在極坐標(biāo)系中,求點(diǎn)到直線ρ(cos θ+sin θ)=6的距離. 解:點(diǎn)的直角坐標(biāo)為, 直線ρ(cos θ+sin θ)=6的直角坐標(biāo)方程為x+y-6=0. 所以點(diǎn)(1,)到直線的距離d===1. 1.在極坐標(biāo)系中,直線ρ(sin θ-cos θ)=a與曲線ρ=2cos θ-4sin θ相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2,求實(shí)數(shù)
19、a的值. 解:直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x-y+a=0, 曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+(y+2)2=5, 所以圓心C的坐標(biāo)為(1,-2),半徑r=, 所以圓心C到直線的距離為 = =, 解得a=-5或a=-1. 故實(shí)數(shù)a的值為-5或-1. 2.在極坐標(biāo)系中,求直線ρcos=1與圓ρ=4sin θ的交點(diǎn)的極坐標(biāo). 解:ρcos=1化為直角坐標(biāo)方程為x-y=2, 即y=x-2. ρ=4sin θ可化為x2+y2=4y, 把y=x-2代入x2+y2=4y, 得4x2-8x+12=0, 即x2-2x+3=0, 所以x=,y=1. 所以直線與圓
20、的交點(diǎn)坐標(biāo)為(,1), 化為極坐標(biāo)為. 3.(2018·長春模擬)已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2,ρ2-2ρcos=2. (1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程. 解:(1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4; 因?yàn)棣?-2ρcos=2, 所以ρ2-2ρ=2, 所以x2+y2-2x-2y-2=0. (2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減,得經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程為x+y=1. 化為極坐標(biāo)方程為ρcos θ+ρsin θ=1, 即ρsin=. 4.已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x 軸正半軸
21、為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程; (2)設(shè)l1:θ=,l2:θ=,若l1,l2與曲線C相交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn) A,B ,求△AOB的面積. 解:(1)∵曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)), ∴曲線C的普通方程為(x-2)2+(y-1)2=5, 將代入并化簡得ρ=4cos θ+2sin θ, 即曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ+2sin θ. (2)在極坐標(biāo)系中,C:ρ=4cos θ+2sin θ, ∴由得|OA|=2+1, 同理:|OB|=2+. 又∵∠AOB=, ∴S△AOB=|OA|·|OB|sin∠AOB=, 即△AOB的面積為. 5.在坐標(biāo)系中
22、,曲線C:ρ=2acos θ(a>0),直線l:ρcosθ-=,C與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn). (1)求a的值; (2)若原點(diǎn)O為極點(diǎn),A,B為曲線C上兩點(diǎn),且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值. 解:(1)由已知在直角坐標(biāo)系中, C:x2+y2-2ax=0?(x-a)2+y2=a2(a>0); l:x+y-3=0. 因?yàn)镃與l只有一個(gè)公共點(diǎn),所以l與C相切, 即=a,則a=1. (2)設(shè)A(ρ1,θ),則B, ∴|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2cos θ+2cos=3cos θ-sin θ=2cos. 所以,當(dāng)θ=-時(shí),(|OA|+|OB|)max=2. 6.在平面
23、直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1:x+y-4=0,曲線C2:x2+(y-1)2=1,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程; (2)若曲線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α,且曲線C3分別交C1,C2于點(diǎn)A,B,求的最大值. 解:(1)∵x=ρcos θ,y=ρsin θ, ∴C1:ρcos θ+ρsin θ-4=0,C2:ρ=2sin θ. (2)曲線C3為θ=α, 設(shè)A(ρ1,α),B(ρ2,α),ρ1=,ρ2=2sin α, 則==×2sin α(cos α+sin α) =2sin2α-+1, ∴當(dāng)α=時(shí),max=. 7.平面直角坐標(biāo)系xO
24、y中,曲線C1的方程為+y2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin,射線OM的極坐標(biāo)方程為θ=α0(ρ≥0). (1)寫出曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程; (2)若射線OM平分曲線C2,且與曲線C1交于點(diǎn)A,曲線C1上的點(diǎn)滿足∠AOB=,求|AB|. 解:(1)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2=, 曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x-)2+(y-1)2=4. (2)曲線C2是圓心為(,1),半徑為2的圓, ∴射線OM的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ≥0), 代入ρ2=,可得ρ=2. 又∠AOB=,∴ρ=, ∴|AB|===. 8.
25、已知在一個(gè)極坐標(biāo)系中點(diǎn)C的極坐標(biāo)為. (1)求出以C為圓心,半徑長為2的圓的極坐標(biāo)方程(寫出解題過程)并畫出圖形; (2)在直角坐標(biāo)系中,以圓C所在極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系,點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn),Q(5,-),M是線段PQ的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡的普通方程. 解:(1)作出圖形如圖所示,設(shè)圓C上任意一點(diǎn)A(ρ,θ),則∠AOC=θ-或-θ. 由余弦定理得, 4+ρ2-4ρcosθ-=4, ∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos. (2)在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,),可設(shè)圓C上任意一點(diǎn)P(1+2cos α,+2sin α), 設(shè)M
26、(x,y),由Q(5,-),M是線段PQ的中點(diǎn), 得點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),即(α為參數(shù)), ∴點(diǎn)M的軌跡的普通方程為(x-3)2+y2=1. 第2課參數(shù)方程 [過雙基] 1.參數(shù)方程的概念 一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線C上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)x,y是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù):并且對于t的每一個(gè)允許值,由函數(shù)式所確定的點(diǎn)P(x,y)都在曲線C上,那么方程叫做這條曲線的參數(shù)方程,變數(shù)t叫做參變數(shù),簡稱參數(shù).相對于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程. 2.直線、圓、橢圓的參數(shù)方程 (1)過點(diǎn)M(x0,y0),傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))
27、. (2)圓心在點(diǎn)M0(x0,y0),半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (3)橢圓+=1(a>b>0)的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)). 1.參數(shù)方程(t為參數(shù))與極坐標(biāo)方程ρ=sin θ所表示的圖形分別是________. 解析:將參數(shù)方程消去參數(shù)t,得2x-y-5=0,對應(yīng)圖形為直線. 由ρ=sin θ,得ρ2=ρsin θ,即x2+y2=y(tǒng), 即x2+2=,對應(yīng)圖形為圓. 答案:直線、圓 2.曲線(θ為參數(shù))與直線y=x+2的交點(diǎn)坐標(biāo)為________. 解析:曲線的直角坐標(biāo)方程為y=x2.將其與直線方程聯(lián)立得∴x2-x-2=0,∴x=-1或x=2.由x=sin θ
28、知,x=2不合題意.∴x=-1,y=1,∴交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,1). 答案:(-1,1) 3.設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的方程為x-3y+2=0,則曲線C上到直線l距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________. 解析:∵曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)), ∴(x-2)2+(y+1)2=9, ∴圓心(2,-1)到直線l的距離 d===. 又∵<3,>3,∴有2個(gè)點(diǎn). 答案:2 4.參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為________. 解析:∵x=, y===4-3×=4-3x. 又x===2-∈[0,2), ∴x∈[0,2), ∴所求的普通方程為3x+y-4=0(x∈
29、[0,2)). 答案:3x+y-4=0(x∈[0,2)) [清易錯(cuò)] 1.在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使x,y的取值范圍保持一致,否則不等價(jià). 2.直線的參數(shù)方程中,參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí),t才有幾何意義且其幾何意義為:|t|是直線上任一點(diǎn)M(x,y)到M0(x0,y0)的距離,即|M0M|=|t|. 1.直線y=x-1上的點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的最近距離是________. 解析:由得 ∴(x+2)2+(y-1)2=1,∴圓心坐標(biāo)為(-2,1), 故圓心到直線x-y-1=0的距離d==2, ∴直線上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最近距離是d-r=2-1. 答案:2-1 2.直線(t
30、為參數(shù))與圓(θ為參數(shù))相切,則切線的傾斜角為________. 解析:直線的普通方程為bx-ay-4b=0,圓的普通方程為(x-2)2+y2=3,因?yàn)橹本€與圓相切,則圓心(2,0)到直線的距離為,從而有 =,即3a2+3b2=4b2,所以b=±a,而直線的傾斜角α的正切值tan α=,所以tan α=±,因此切線的傾斜角或. 答案:或 參數(shù)方程與普通方程的互化 [典例] 已知橢圓C:+=1,直線l:(t為參數(shù)). (1)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程; (2)設(shè)A(1,0),若橢圓C上的點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與其到直線l的距離相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo). [解] (1)橢
31、圓C:(θ為參數(shù)),直線l:x-y+9=0. (2)設(shè)P(2cos θ,sin θ), 則|AP|= =2-cos θ, 點(diǎn)P到直線l的距離 d==. 由|AP|=d,得3sin θ-4cos θ=5, 又sin2θ+cos2θ=1,得sin θ=,cos θ=-. 故P. [方法技巧] 將參數(shù)方程化為普通方程的方法 (1)將參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征,選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎR姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?、加減消參法、平方消參法等,對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程,常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參,如sin2θ+cos2θ=1等. (2)將參數(shù)方程化為普通方程時(shí),要
32、注意兩種方程的等價(jià)性,不要增解. [即時(shí)演練] 將下列參數(shù)方程化為普通方程. (1)(k為參數(shù)); (2)(θ為參數(shù)). 解:(1)兩式相除,得k=, 將其代入x=,得x=, 化簡得所求的普通方程是4x2+y2-6y=0(y≠6). (2)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ), 得y2=2-x.又x=1-sin 2θ∈[0,2], 故所求的普通方程為y2=2-x,x∈[0,2]. 參數(shù)方程 [典例] 在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系取相同的單位長度.已知曲線C:ρsin2θ=2ac
33、os θ(a>0),過點(diǎn)P(-2,-4)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與曲線C分別交于M,N,若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的值. [解] 曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=2ax(a>0), 將直線l的參數(shù)方程化為(t′為參數(shù)), 代入曲線C的方程得: t′2-(4+a)t′+16+4a=0, 則Δ>0,即a>0或a<-4. 設(shè)交點(diǎn)M,N對應(yīng)的參數(shù)分別為t1′,t2′, 則t1′+t2′=2(4+a),t1′t2′=2(16+4a), 若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列, 則|t1′-t2′|2=|t1′t2′|, 解得a=1或a=-4(舍去
34、), 所以滿足條件的a=1. [方法技巧] (1)解決直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問題時(shí),一般是先化為普通方程,再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來解決問題. (2)對于形如(t為參數(shù)). 當(dāng)a2+b2≠1時(shí),應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題. [即時(shí)演練] 已知直線l:x+y-1=0與拋物線y=x2相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長度和點(diǎn)M(-1,2)到A,B兩點(diǎn)的距離之積. 解:因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)M,且l的傾斜角為, 所以它的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 即(t為參數(shù)), 把它代入拋物線的方程,得t2+t-2=0, 由根與系數(shù)的關(guān)系得t1+t2=-,t1·t2=-2, 由
35、參數(shù)t的幾何意義可知|AB|=|t1-t2|=, |MA|·|MB|=|t1t2|=2. 極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 [典例] (2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時(shí),P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程; (2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M為l3與C的交點(diǎn),求M的極徑. [解] (1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2); 消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=(x+2). 設(shè)P(x,
36、y),由題設(shè)得 消去k得x2-y2=4(y≠0). 所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0). (2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 聯(lián)立 得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-,從而cos2θ=,sin2θ=. 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5, 所以交點(diǎn)M的極徑為. [方法技巧] 處理極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合問題的方法 (1)涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題,求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解.當(dāng)然,還要結(jié)合題目本身特點(diǎn),確定選擇何種方程. (2)數(shù)形結(jié)
37、合的應(yīng)用,即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,或者利用ρ和θ的幾何意義,直接求解,能達(dá)到化繁為簡的解題目的. [即時(shí)演練] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為:ρ=,直線的參數(shù)方程是(α為參數(shù),0≤α<π). (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)直線與曲線C交于兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)為M(2,2),求α. 解:(1)曲線C:ρ=,即ρsin2θ=4cos θ,于是有ρ2sin2θ=4ρcos θ,化為直角坐標(biāo)方程為y2=4x. (2)法一: 把x=2+tcos α,y=2+tsin α代入y2=4x,
38、 得(2+tsin α)2=4(2+tcos α), 即t2sin2α+(4sin α-4cos α)t-4=0. 由AB的中點(diǎn)為M(2,2)得t1+t2=0,有4sin α-4cos α=0,所以k=tan α=1. 由0≤α<π,得α=. 法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則?(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2). ∵y1+y2=4,∴k1=tan α==1, 由0≤α<π,得α=. 1.(2017·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)若a=-1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo); (2)
39、若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為,求a. 解:(1)曲線C的普通方程為+y2=1. 當(dāng)a=-1時(shí),直線l的普通方程為x+4y-3=0, 由解得或 從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),. (2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0, 故C上的點(diǎn)(3cos θ,sin θ)到l的距離為 d=. 當(dāng)a≥-4時(shí),d的最大值為 . 由題設(shè)得=,解得a=8; 當(dāng)a<-4時(shí),d的最大值為. 由題設(shè)得=,解得a=-16. 綜上,a=8或a=-16. 2.(2016·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25. (1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)
40、系,求C的極坐標(biāo)方程; (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=,求l的斜率. 解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圓C的極坐標(biāo)方程為 ρ2+12ρcos θ+11=0. (2)法一:在(1)中建立的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R). 設(shè)A,B所對應(yīng)的極徑分別為ρ1,ρ2, 將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得 ρ2+12ρcos α+11=0, 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11. |AB|=|ρ1-ρ2|= =. 由|AB|=得cos2α=,tan α=±. 所以直線l的斜率為或-. 法二:
41、由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)),消去參數(shù)得y=x·tan α. 設(shè)直線l的斜率為k, 則直線l的方程為kx-y=0. 由圓C的方程(x+6)2+y2=25知, 圓心坐標(biāo)為(-6,0),半徑為5. 又|AB|=,由垂徑定理及點(diǎn)到直線的距離公式得 = ,即=, 整理得k2=,解得k=±, 即直線l的斜率為±. 3.(2015·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t≠0),其中0≤α<π.在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ. (1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo); (2)若C1與C2相交于點(diǎn)A,C1與C3
42、相交于點(diǎn)B,求|AB|的最大值. 解:(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0, 曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0. 聯(lián)立 解得或 所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和. (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0), 其中0≤α<π. 因此A的極坐標(biāo)為(2sin α,α),B的極坐標(biāo)為(2cos α,α). 所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4. 當(dāng)α=時(shí),|AB|取得最大值,最大值為4. 4.(2014·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ,
43、θ∈. (1)求C的參數(shù)方程; (2)設(shè)點(diǎn)D在C上,C在D處的切線與直線l:y=x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo). 解:(1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0≤y≤1). 可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤t≤π). (2)設(shè)D(1+cos t,sin t). 由(1)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓. 因?yàn)镚在點(diǎn)D處的切線與l垂直, 所以直線GD與l的斜率相同,tan t=,t=. 故D的直角坐標(biāo)為,即. 1.(2017·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù)).設(shè)
44、P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值. 解:直線l的普通方程為x-2y+8=0. 因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上,設(shè)P(2s2,2s), 從而點(diǎn)P到直線l的距離 d==. 當(dāng)s=時(shí),dmin=. 因此當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)時(shí),曲線C上點(diǎn)P到直線l的距離取到最小值. 2.已知曲線C1:(t為參數(shù)),曲線C2:(θ為參數(shù)). (1)化C1,C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線; (2)若C1上的點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)為t=,Q為C2上的動(dòng)點(diǎn),求PQ中點(diǎn)M到直線C3:(t為參數(shù))的距離的最小值. 解:(1)曲線C1:(x+4)2+(y-3)2=1,曲線C2:+=1, 曲線
45、C1是以(-4,3)為圓心,1為半徑的圓; 曲線C2是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,焦點(diǎn)在x軸上,長半軸長是8,短半軸長是3的橢圓. (2)當(dāng)t=時(shí),P(-4,4),Q(8cos θ,3sin θ), 故M-2+4cos θ,2+sin θ. 曲線C3為直線x-2y-7=0, M到C3的距離d=|4cos θ-3sin θ-13|,從而當(dāng)cos θ=,sin θ=-時(shí),d取最小值. 3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,C2的極坐標(biāo)方程ρ2-2ρcos θ-3=0. (1)說明C2是哪種曲線,并將C2的方程化為普通方程;
46、 (2)C1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)A,B,點(diǎn)P的極坐標(biāo),求線段AB的長及定點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)的距離之積. 解:(1)C2是圓,C2的極坐標(biāo)方程ρ2-2ρcos θ-3=0, 化為普通方程為x2+y2-2x-3=0,即(x-1)2+y2=4. (2)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,1),且在直線C1上, 將C1的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入x2+y2-2x-3=0,得2+2-2-3=0,化簡得t2+t-3=0. 設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 則t1+t2=-,t1·t2=-3, 所以|AB|=|t1-t2|= ==, 定點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)的距離之積|PA|·|PB|=|t1t2|=3.
47、4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),定點(diǎn)P(1,1). (1)以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,單位長度與平面直角坐標(biāo)系下的單位長度相同建立極坐標(biāo)系,求圓C的極坐標(biāo)方程; (2)已知直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),求||PA|-|PB||的值. 解:(1)依題意得圓C的一般方程為(x-1)2+y2=4, 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式得ρ2-2ρcos θ-3=0, 所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcos θ-3=0. (2)因?yàn)槎c(diǎn)P(1,1)在直線l上,所以直線l的參數(shù)方程可表示為(t為參數(shù)). 代入
48、(x-1)2+y2=4,得t2-t-3=0. 設(shè)點(diǎn)A,B分別對應(yīng)的參數(shù)為t1,t2, 則t1+t2=,t1t2=-3. 所以t1,t2異號(hào),不妨設(shè)t1>0,t2<0, 所以|PA|=t1,|PB|=-t2, 所以||PA|-|PB||=|t1+t2|=. 5.已知直線l:(t為參數(shù)),曲線C1:(θ為參數(shù)). (1)設(shè)l與C1相交于A,B兩點(diǎn),求|AB|; (2)若把曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍,縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍,得到曲線C2,設(shè)點(diǎn)P是曲線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l距離的最小值. 解:(1)由已知得l的普通方程為y=(x-1),C1的普通方程為x2+y2=1,
49、 聯(lián)立方程解得l與C1的交點(diǎn)為A(1,0),B,則|AB|=1. (2)由題意,得C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)), 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為, 從而點(diǎn)P到直線l的距離是 d==sin+2, 當(dāng)sin=-1時(shí),d取得最小值,且最小值為. 6.在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=. (1)直接寫出直線l的普通方程、曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離為d,求d的取值范圍. 解:(1)直線l的普通方程為x-y+3=0, 曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x2+y2=3. (2)∵曲線C
50、的直角坐標(biāo)方程為3x2+y2=3, 即x2+=1, ∴曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為(cos α,sin α), ∴d= ==. ∴d的最小值為=,d的最大值為=. ∴≤d≤,即d的取值范圍為. 7.平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C:(x-1)2+y2=1.直線l經(jīng)過點(diǎn)P(m,0),且傾斜角為,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系. (1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程; (2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),且|PA|·|PB|=1,求實(shí)數(shù)m的值. 解:(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為:(x-1)2+y2=1,即x2+y2=2x,即ρ2=2ρcos θ, 所以曲
51、線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ. 直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (2)設(shè)A,B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,將直線l的參數(shù)方程代入x2+y2=2x中, 得t2+(m-)t+m2-2m=0, 所以t1t2=m2-2m, 由題意得|m2-2m|=1, 解得m=1或m=1+或m=1-. 8.已知直線的參數(shù)方程是(t是參數(shù)),圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos. (1)求圓心C的直角坐標(biāo); (2)由直線l上的點(diǎn)向圓C引切線,求切線長的最小值. 解:(1)∵ρ=4cos=2cos θ-2sin θ, ∴ρ2=2ρcos θ-2ρsin θ, ∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x+2y=0, 即(x-)2+(y+)2=4, ∴圓心的直角坐標(biāo)為(,-). (2)直線l上的點(diǎn)向圓C引切線,則切線長為 ==≥4, ∴直線l上的點(diǎn)向圓C引的切線長的最小值為4. 24
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