（新課標）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題八 數(shù)學文化及數(shù)學思想 第1講 數(shù)學文化學案 文 新人教A版

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1、第1講　數(shù)學文化 　　　滲透數(shù)學的美 [典型例題] (1)(2019·高考全國卷Ⅰ) 古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是(≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是(　　) A．165 cm　　　　　　　　　　 B．175 cm C．185 cm D．190 cm (2)(2019·高考全國卷Ⅱ)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．

2、印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有____________個面，其棱長為____________． 【解析】　(1)不妨設(shè)此人咽喉至肚臍的長度為x cm，則≈0.618，得x≈42，故此人身高大約為26＋42＋105＝173(cm)，考慮誤差，結(jié)合選項，可知選B. (2)依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個面都在正

3、方體的表面上，且該半正多面體由18個正方形和8個正三角形圍成，因此題中的半正多面體共有26個面．注意到該多面體的俯視圖的輪廓是一個正八邊形，設(shè)題中的半正多面體的棱長為x，則x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故題中的半正多面體的棱長為－1. 【答案】　(1)B　(2)26?。? 數(shù)學文化的美學特征是構(gòu)成數(shù)學文化的重要內(nèi)容．數(shù)學美表現(xiàn)為一種抽象、嚴謹、含蓄的理性美，從表現(xiàn)形式上分為數(shù)學內(nèi)容的和諧美、數(shù)學結(jié)構(gòu)的形式美、幾何圖形的構(gòu)造美、數(shù)學公式的簡潔美．縱觀數(shù)學領(lǐng)域的一切公式、公理和定理，無不是對客觀世界存在的秩序、對稱、和諧、統(tǒng)一的美的反映．　 [對點訓練] 太極圖是以黑白兩個魚形紋組成

4、的圖案，它形象化地表達了陰陽輪轉(zhuǎn)、相反相成是萬物生成變化根源的哲理，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的形式美．按照太極圖的構(gòu)圖方法，在平面直角坐標系中，圓O被函數(shù)y＝3sinx的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案(如圖)，其中小圓的半徑均為1，現(xiàn)從大圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.函數(shù)y＝3sinx的圖象與x軸相交于點(6，0)和點(－6，0)，則大圓的半徑為6，面積為36π，而小圓的半徑為1，兩個小圓的面積和為2π，所以所求的概率是＝，故選B. 　　　滲透古代名家(學派)的研究 [典型例題] (1)兩千多年前，古希

5、臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學問題．他們在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù)，按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類．如圖中實心點的個數(shù)5，9，14，20，…為梯形數(shù)．根據(jù)圖形的構(gòu)成，記此數(shù)列的第2 017項為a2 017，則a2 017－5＝(　　) A．2 023×2 017　　　　　　 B．2 023×2 016 C．1 008×2 023 D．2 017×1 008 (2)我國古代數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度．祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年．“割圓術(shù)”的第一步是計算單位圓

6、內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6＝________． 【解析】　(1)觀察梯形數(shù)的前幾項，得 5＝2＋3＝a1， 9＝2＋3＋4＝a2， 14＝2＋3＋4＋5＝a3， … an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝ ＝(n＋1)(n＋4)， 由此可得a2 017＝×2 018×2 021＝1 009×2 021. 所以a2 017－5＝(1 008＋1)(2 023－2)－5＝1 008×2 023. (2)由題意，得S6＝6××1×1×sin 60°＝. 【答案】　(1)C　(2) 本例(1)以古希臘畢達哥拉斯學派的研究故事為背景，本例(2)以我國古代數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”為

7、命題背景，分別考查了數(shù)列問題和圓內(nèi)接正六邊形的面積問題．其中畢達哥拉斯學派的“形數(shù)”問題，備受命題者的青睞，已成為高考命題的熱點問題．　 [對點訓練] 1．(2019·長沙市統(tǒng)一模擬考試)我國南北朝時期的數(shù)學家、天文學家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．“冪”是面積，“勢”是高，意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所載，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示三視圖對應(yīng)的幾何體滿足“冪勢同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為(　　) A．8－ B．8－π C．8－ D．4－

8、解析：選B.題中三視圖對應(yīng)的幾何體是一個棱長為2的正方體挖去一個底面半徑為1、高為2的半圓柱后剩余的部分，三視圖對應(yīng)的幾何體的體積V＝23－×π×12×2＝8－π，由祖暅原理得不規(guī)則幾何體的體積為8－π，故選B. 2．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…，該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”，則a2 017a2 019－a等于(　　) A．1 B．－1 C．2 017 D．－2 017 解析

9、：選A.因為a1a3－a＝1×2－1＝1，a2a4－a＝1×3－22＝－1，a3a5－a＝2×5－32＝1，a4a6－a＝3×8－52＝－1，…，由此可知anan＋2－a＝(－1)n＋1，所以a2 017a2 019－a＝(－1)2 017＋1＝1，故選A. 　　　滲透古代數(shù)學名著 [典型例題] (1)(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，由明代數(shù)學家程大位所著，該書完善了珠算口訣，確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變，對我國民間普及珠算和數(shù)學知識起到了很大的作用．如圖所示程序框圖的算法思路源于該書中的“李白沽酒”問題，執(zhí)行該程序框圖，若輸入a

10、的值為4，則輸出的m的值為(　　) A．19　　　　　　　　　 B．35 C．67 D．131 (2)《數(shù)書九章》中對已知三角形三邊長求三角形面積的求法填補了我國數(shù)學史中的一個空白，雖與著名的海倫公式形式上有所不同，但實質(zhì)完全等價，由此可以看出我國古代已經(jīng)具有很高的數(shù)學水平，其求法是“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積”．把以上這段文字用數(shù)學公式表示，即S＝(S，a，b，c分別表示三角形的面積、大斜、中斜、小斜)．現(xiàn)有周長為4＋2的△ABC滿足sin A∶sin B∶sin C＝(＋1)∶∶(－1)，試用上

11、面給出的數(shù)學公式計算△ABC的面積為(　　) A. B．2 C. D．2 【解析】　(1)由題意，執(zhí)行程序框圖，可得a＝4，m＝5，i＝1，m＝7， 滿足條件i≤4，執(zhí)行循環(huán)體，i＝2，m＝11， 滿足條件i≤4，執(zhí)行循環(huán)體，i＝3，m＝19， 滿足條件i≤4，執(zhí)行循環(huán)體，i＝4，m＝35， 滿足條件i≤4，執(zhí)行循環(huán)體，i＝5，m＝67， 此時，不滿足條件i≤4，退出循環(huán)體，輸出m的值為67，故選C. (2)因為sin A∶sin B∶sin C＝(＋1)∶∶(－1)， 則由正弦定理得a∶b∶c＝(＋1)∶∶(－1)． 設(shè)a＝(＋1)x，b＝x，c＝(－1)x，

12、 又周長為4＋2， 所以4＋2＝(＋1)x＋x＋(－1)x， 解得x＝2. 所以S＝ ＝.故選A. 【答案】　(1)C　(2)A 中國古代數(shù)學取得了極其輝煌的成就，出現(xiàn)了劉徽、祖沖之等偉大的數(shù)學家，以及《九章算術(shù)》等經(jīng)典的數(shù)學傳世之作，這些中國古代數(shù)學名著是我們的豐富寶庫，繼新課程改革以來，高考題中出現(xiàn)了一些以古代名著為命題背景的試題，涉及的有《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》、《算法統(tǒng)宗》等．從某種意義上講，這些試題的價值實際上已遠遠超出了試題本身．　 [對點訓練] 1．《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有圓堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺．問積幾何？術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，

13、十二而一．”這里所說的圓堢壔就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圓柱體的體積為V＝×底面圓的周長的平方×高，由此可推得圓周率π的取值為(　　) A．3　　　　　　　　　　　 B．3.1 C．3.14 D．3.2 解析：選A.設(shè)圓柱體的底面半徑為r，高為h，由圓柱的體積公式得，體積為V＝πr2h.由題意知V＝×(2πr)2×h，所以πr2h＝×(2πr)2×h，解得π＝3.故選A. 2．《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大的正方形，如圖所示，若圖中直角三角形兩銳角分別為α，β，且小正方形與大正方形的面積之比

14、為4∶9，則cos(α－β)的值為(　　) A. B. C. D．0 解析：選A.設(shè)大正方形的邊長為1，由小正方形與大正方形的面積之比為4∶9，可得小正方形的邊長為，則cos α－sin α＝，① sin β－cos β＝.② 由題意可得α＋β＝，所以cos α＝sin β，sin α＝cos β. ①×②，可得＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin2β＋cos2β－cos(α－β)＝1－cos(α－β)，所以cos(α－β)＝.故選A. 一、選擇題 1．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有一衰分問題：今有北

15、鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣(　　) A．104人　　　　　　　　 B．108人 C．112人 D．120人 解析：選B.由題設(shè)可知這是一個分層抽樣的問題，其中北鄉(xiāng)可抽取的人數(shù)為300×＝300×＝108.故選B. 2．如圖，半徑為1的圓形古幣內(nèi)有一陰影區(qū)域，在圓內(nèi)隨機撒一大把豆子，共n顆，其中，落在陰影區(qū)域內(nèi)的豆子共m顆，則陰影區(qū)域的面積約為(　　) A. B. C. D. 解析：選C.設(shè)陰影區(qū)域的面積為S，由幾何概型概率計算公式可得＝＝， 所以S＝，故選C. 3．將元代著名數(shù)學家朱世杰的《四元玉鑒》

16、中的一首詩改編如下：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當原多少酒？”用程序框圖表示如圖，用x表示壺中原有酒的量，可知最終輸出的x＝0，則一開始輸入的x的值為(　　) A. B. C．4 D. 解析：選D.這是一道函數(shù)與程序框圖相結(jié)合的題，當i＝1時，酒量為2x－1； 當i＝2時，酒量為2(2x－1)－1＝4x－3； 當i＝3時，酒量為2(4x－3)－1＝8x－7； 當i＝4時，酒量為0， 即2(4x－3)－1＝0， 解得x＝. 故選D. 4．大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論．主要用于解釋

17、中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和．是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列第20項為(　　) A．180 B．200 C．128 D．162 解析：選B.根據(jù)前10項可得規(guī)律：每兩個數(shù)增加相同的數(shù)，且增加的數(shù)構(gòu)成首項為2，公差為2的等差數(shù)列．可得從第11項到20項為60，72，84，98，112，128，144，162，180，200.所以此數(shù)列第20項為200. 5．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初

18、行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其意思為：“有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，走了六天后(第六天剛好用完)到達目的地．”若將此問題改為“第6天到達目的地”，則此人第二天至少走了(　　) A．96里 B．48里 C．72里 D．24里 解析：選A.根據(jù)題意知，此人每天行走的路程構(gòu)成了公比為的等比數(shù)列．設(shè)第一天走a1里，則第二天走a2＝a1(里)．易知≥378，則a1≥192. 則第二天至少走96里．故選A. 6．遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”．如圖所示的是一位母親記錄的孩子自出生

19、后的天數(shù)，在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，滿七進一，根據(jù)圖示可知，孩子已經(jīng)出生的天數(shù)是(　　) A．336 B．510 C．1 326 D．3 603 解析：選B.由題意滿七進一，可得該圖示為七進制數(shù)，化為十進制數(shù)為1×73＋3×72＋2×7＋6＝510. 7. 漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”(如圖)，四個全等的直角三角形(朱實)，可以圍成一個大的正方形，中空部分為一個小正方形(黃實)．若直角三角形中一條較長的直角邊長為8，直角三角形的面積為24，若在上面扔一顆玻璃小球，則小球落在“黃實”區(qū)域的概率為(　　) A. B. C. D

20、. 解析：選C.因為直角三角形中一條較長的直角邊長為8，直角三角形的面積為24，所以可得另外一條直角邊長為6，所以小正方形的邊長為8－6＝2，則“黃實”區(qū)域的面積為22＝4，因為大正方形的面積為82＋62＝100，所以小球落在“黃實”區(qū)域的概率為＝，故選C. 8．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學形成了完整的體系．其中《方田》章有弧田面積計算問題，術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面積計算公式為：弧田面積＝(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圓弧(弧田弧)和以圓弧的端點為端點的線段(弧田弦)圍成的平面圖形，公式中的“弦”指的是弧田弦的長，“矢”

21、指的是弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差．現(xiàn)有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圓為圓O，若用上述弧田面積計算公式算得該弧田的面積為平方米，則cos∠AOB＝(　　) A. B. C. D. 解析：選D.如圖，依題意AB＝6，設(shè)CD＝x(x>0)，則(6x＋x2)＝，解得x＝1.設(shè)OA＝y(tǒng)，則(y－1)2＋9＝y(tǒng)2，解得y＝5. 由余弦定理得cos∠AOB＝＝，故選D. 9．(2019·昆明市質(zhì)量檢測)數(shù)列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱為“

22、兔子數(shù)列”．該數(shù)列從第三項開始，每項等于其前相鄰兩項之和．記數(shù)列{Fn}的前n項和為Sn，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．S2 019＝F2 021－1 B．S2 019＝F2 021＋2 C．S2 019＝F2 020－1 D．S2 019＝F2 020＋2 解析：選A.根據(jù)題意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)， 所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1， S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1， S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1， …， 所以S2 019＝F2 021－1. 10．中國古

23、代名詞“芻童”原來是草堆的意思，關(guān)于“芻童”體積計算的描述，《九章算術(shù)》注曰：“倍上袤，下袤從之．亦倍下袤，上袤從之．各以其廣乘之，并，以高乘之，六而一．”其計算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形，上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為(　　) A. B. C．39 D. 解析：選B.設(shè)下底面的長為x，則下底面的寬為＝9－x.由題可知上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為

24、3，所以其體積V＝×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋＋，故當x＝時，體積取得最大值，最大值為－＋×＋＝.故選B. 11．我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題，與題中描繪的器具形狀一樣(大小不同)的器具的三視圖如圖所示(單位：寸)．若在某地下雨天時利用該器具接的雨水深度為6寸，則這一天該地的平均降雨量約為(注：平均降雨量等于器具中積水的體積除以器具口的面積．參考公式：圓臺的體積V＝πh(R2＋r2＋R·r)，其中R，r分別表示上、下底面的半徑，h為高)(　　) A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸 解析：選A.由三視圖可知，該器具的上

25、底面半徑為12寸，下底面半徑為6寸，高為12寸． 因為所接雨水的深度為6寸，所以水面半徑為×(12＋6)＝9(寸)， 則盆中水的體積為π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)， 所以這一天該地的平均降雨量約為≈2(寸)，故選A. 12．(2019·江西玉山一中期中) 在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖．在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，點P在棱AC上運動，設(shè)CP的長度為x，若△PBD的面積為f(x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是(　　) 解析：選A. 如圖，作PQ⊥BC于點Q，作QR⊥BD于點R

26、，連接PR，則PQ∥AB，QR∥CD. 因為PQ⊥BD，且PQ∩QR＝Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，即PR為△PBD中BD邊上的高． 設(shè)AB＝BD＝CD＝1，則＝＝，即PQ＝. 又＝＝＝，所以QR＝， 所以PR＝＝＝，所以f(x)＝＝，故選A. 13．楊輝三角又稱“賈憲三角”，是因為賈憲約在公元11世紀首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，而1261年楊輝在《詳解九章算法》一書中，輯錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于楊輝三角．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是(

27、　　) A．2 017×22 016 B．2 018×22 015 C．2 017×22 015 D．2 018×22 016 解析：選B.由題意，最后一行為第2 017行，且第1行的最后一個數(shù)為2×2－1，第2行的最后一個數(shù)為3×20，第3行的最后一個數(shù)為4×21…第n行的最后一個數(shù)為(n＋1)×2n－2，則第2 017行僅有的一個數(shù)為2 018×22 015，故選B. 14．(2019·蓉城名校第一次聯(lián)考)高斯是德國著名的數(shù)學家，享有“數(shù)學王子”的美譽，以他的名字“高斯”命名的成果達110個，其中的一個成果是：設(shè)x∈R，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，[x]表示不超過x的最大

28、整數(shù)，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x}表示x的非負純小數(shù)，即{x}＝x－[x]，若方程{x}＝1－kx有且僅有4個實數(shù)根，則正實數(shù)k的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析：選D. 根據(jù)題意可得函數(shù)y＝{x}在x軸正半軸的圖象如圖所示，函數(shù)y＝1－kx為過定點P(0，1)的直線，所以要使方程{x}＝1－kx有且僅有4個實數(shù)根且k為正實數(shù)，則直線y＝1－kx應(yīng)在PA，PB之間以及恰好在PA處，所以－≤－k<－，即k∈.故選D. 二、填空題 15. 魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部

29、分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為________．(容器壁的厚度忽略不計)　 解析：表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球．設(shè)其半徑為R，(2R)2＝62＋22＋12，解得R2＝，所以該球形容器的表面積的最小值為4πR2＝41π. 答案：41π 16．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，其中“勾股”章講述了“勾股定理”及

30、一些應(yīng)用．直角三角形的三條邊分別稱為“勾”“股”“弦”．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，若線段PF2，PF1分別是Rt△F1PF2的“勾”“股”，則點P的橫坐標為________． 解析：由題意知半焦距c＝，又PF1⊥PF2，故點P在圓x2＋y2＝3上，設(shè)P(x，y)，聯(lián)立，得得P.故點P的橫坐標為. 答案： 17．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了黃金分割，其比值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，則＝________． 解析：由題設(shè)n＝4－m2＝4－4sin

31、218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°， ＝＝＝＝2. 答案：2 18．(2019·四川遂寧市模擬)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被合稱為亞歷山大時期的數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅 尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為λ(λ>0，λ≠1)，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點M與兩定點A，B(5，0)的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為x2＋y2＝9.下面，我們來研究與此相關(guān)的一個問題．已知圓O：x2＋y2＝1上的動點M和定點A，B(1，1)，則2|MA|＋|MB|的最小值為________． 解析： 如圖，取點K(－2，0)，連接OM，MK.因為|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，所以＝＝2.因為∠MOK＝∠AOM，所以△MOK∽△AOM，所以＝＝2，所以|MK|＝2|MA|，所以|MB|＋2|MA|＝|MB|＋|MK|，易知|MB|＋|MK|≥|BK|，所以|MB|＋2|MA|＝|MB|＋|MK|的最小值為|BK|的長．因為B(1，1)，K(－2，0)，所以|BK|＝＝. 答案： - 15 -