(全國(guó)版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式 第4講 基本不等式學(xué)案
《(全國(guó)版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式 第4講 基本不等式學(xué)案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(全國(guó)版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式 第4講 基本不等式學(xué)案(11頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第4講 基本不等式 板塊一 知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立). 考點(diǎn)2 基本不等式 ≤ 1.基本不等式成立的條件:a>0,b>0; 2.等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立; 3.其中叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù). 考點(diǎn)3 利用基本不等式求最大、最小值問題 1.如果x,y∈(0,+∞),且xy=P(定值), 那么當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),x+y有最小值2.(簡(jiǎn)記:“積定和最小”) 2.如果x,y∈(0,+∞),且x+y=S(定值), 那么當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),xy有最大值.
2、(簡(jiǎn)記:“和定積最大”) [必會(huì)結(jié)論] 常用的幾個(gè)重要不等式 (1)a+b≥2(a>0,b>0); (2)ab≤2(a,b∈R); (3)2≤(a,b∈R); (4)+≥2(a,b同號(hào)). 以上不等式等號(hào)成立的條件均為a=b. [考點(diǎn)自測(cè)] 1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)y=x+的最小值是2.( ) (2)函數(shù)f(x)=cosx+,x∈的最小值等于4.( ) (3)x>0,y>0是+≥2的充要條件.( ) (4)若a>0,則a3+的最小值為2.( ) (5)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R).( )
3、 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.[課本改編]已知a,b∈R+,且a+b=1,則ab的最大值為( ) A.1 B. C. D. 答案 B 解析 ∵a,b∈R+,∴1=a+b≥2,∴ab≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立. 3.[課本改編]已知a>0,b>0,a+b=2,則y=+的最小值是( ) A. B.4 C. D.5 答案 C 解析 y=(a+b)=≥,故選C. 4.[2018·蘇州模擬]若0≤x≤6,則f(x)=的最大值為( ) A. B.4 C. D. 答案 B 解析 ∵0≤x≤6,∴8-x>0,∴f(x)=≤=
4、4,當(dāng)且僅當(dāng)x=8-x,即x=4時(shí),等號(hào)成立.故f(x)的最大值為4. 5.[課本改編]若f(x)=x+(x>2)在x=n處取得最小值,則n=( ) A. B.3 C. D.4 答案 B 解析 由f(x)=x+=(x-2)++2≥4,當(dāng)且僅當(dāng)x-2=>0,即x=3時(shí),取得等號(hào).故選B. 6.[2018·上海模擬]若實(shí)數(shù)x,y滿足xy=1,則x2+2y2的最小值為________. 答案 2 解析 ∵x2+2y2≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)取“=”,∴x2+2y2的最小值為2. 板塊二 典例探究·考向突破 考向 利用基本不等式求最值 例 1 [2017·山東高考]若
5、直線+=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為________. 答案 8 解析 ∵直線+=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(1,2), ∴+=1, ∴2a+b=(2a+b)=4++≥4+2 =8, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=2,b=4時(shí),等號(hào)成立. 故2a+b的最小值為8. 本例條件不變,求ab的最小值. 解 ∵1=+≥2,當(dāng)=,即a=2,b=4時(shí),ab≥8,∴ab的最小值為8. 若4a+2b=1,求2a+b的最大值. 解 ∵4a+2b≥2=2, ∴2≤1,∴2a+b≤-2, ∴2a+b的最大值為-2. 若log2a+log2b=1,求2a+b的最小值.
6、解 ∵log2ab=1,∴ab=2,
∴2a+b≥2=4,當(dāng)a=1,b=2時(shí),2a+b的最小值為4.
觸類旁通
利用基本不等式求最值問題的解題策略
(1)利用基本(均值)不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提:“一正”“二定”“三相等”.
(2)在利用基本(均值)不等式求最值時(shí),要根據(jù)式子的特征靈活變形,配湊出積、和為常數(shù)的形式,然后再利用基本(均值)不等式.
【變式訓(xùn)練1】 (1)已知0 7、=時(shí),x(3-3x)取得最大值.選C.
(2)設(shè)x>0,則函數(shù)y=x+-的最小值為________.
答案 0
解析 y=x+-=+-2≥2-2=0,當(dāng)且僅當(dāng)x+=,即x=時(shí)等號(hào)成立.所以函數(shù)的最小值為0.
考向 條件最值問題
例 2 [2018·大同檢測(cè)]若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,求:
(1)ab的取值范圍;
(2)a+b的取值范圍.
解 (1)∵ab=a+b+3≥2+3,
令t=>0,∴t2-2t-3≥0,∴(t-3)(t+1)≥0.
∴t≥3即≥3,∴ab≥9,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào).
(2)∵ab=a+b+3,∴a+b+3≤2.
令t=a+b>0 8、,∴t2-4t-12≥0,∴(t-6)(t+2)≥0.
∴t≥6即a+b≥6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào).
觸類旁通
求條件最值注意的問題
(1)要敏銳的洞察到已知條件與要求式子的聯(lián)系,并能靈活進(jìn)行轉(zhuǎn)化;
(2)常用的技巧有:“1”的代換,配湊法,放縮法,換元法.
【變式訓(xùn)練2】 (1)[2018·珠海模擬]已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 C
解析 解法一:由已知得xy=9-(x+3y),即3xy=27-3(x+3y)≤2,當(dāng)且僅當(dāng)x=3y,即x=3,y=1時(shí)取等號(hào),令x+3y=t,則t>0 9、,且t2+12t-108≥0,得t≥6.即x+3y≥6.
解法二:∵x+3y=9-xy≥2,∴()2+2·-9≤0,∴(+3)·(-)≤0,
∴0 10、安全的情況下,某路段車流量F(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/小時(shí))與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)、平均車長(zhǎng)l(單位:米)的值有關(guān),其公式為F=.
(1)如果不限定車型,l=6.05,則最大車流量為_______輛/小時(shí);
(2)如果限定車型,l=5,則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/小時(shí).
答案 (1)1900 (2)100
解析 (1)當(dāng)l=6.05時(shí),F(xiàn)=,
∴F==≤=1900,
當(dāng)且僅當(dāng)v=,即v=11時(shí)取“=”.
∴最大車流量為1900輛/小時(shí).
(2)當(dāng)l=5時(shí),F(xiàn)==,
∴F≤=2000,
當(dāng)且僅當(dāng)v= 11、,即v=10時(shí)取“=”.
∴最大車流量比(1)中的最大車流量增加2000-1900=100(輛/小時(shí)).
觸類旁通
有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)際問題的解題技巧
(1)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式,再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.
(2)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).
(3)解應(yīng)用題時(shí),一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍.
(4)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí),若等號(hào)取不到,可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
【變式訓(xùn)練3】 某廠家擬在2018年舉行促銷活動(dòng),經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元(m≥0)滿足x=3-(k為常數(shù)),如 12、果不搞促銷活動(dòng),則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件.已知2018年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元.每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).
(1)將2018年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù);
(2)該廠家2018年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大?
解 (1)由題意知,當(dāng)m=0時(shí),x=1,
∴1=3-k?k=2,∴x=3-,
每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×(元),
∴2018年的利潤(rùn)y=1.5x×-8-16x-m
=4+8x-m=4+8-m
=-+29(m≥0).
13、
(2)∵m≥0時(shí),+(m+1)≥2=8,
∴y≤-8+29=21,
當(dāng)且僅當(dāng)=m+1?m=3(萬元)時(shí),ymax=21(萬元).
故該廠家2018年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大為21萬元.
核心規(guī)律
1.基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能,常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式.
2.對(duì)于基本不等式,不僅要記住原始形式,而且還要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等.
滿分策略
1.在運(yùn)用基本不等式時(shí),要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.
2.注意基本不等式成立的條件是a>0 14、,b>0,若a<0,b<0,應(yīng)先轉(zhuǎn)化為-a>0,-b>0,再運(yùn)用基本不等式求解.
3.“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立”的含義是“a=b”是等號(hào)成立的充要條件,這一點(diǎn)至關(guān)重要,忽略它往往會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.
板塊三 啟智培優(yōu)·破譯高考
易錯(cuò)警示系列8——連續(xù)應(yīng)用基本不等式時(shí)切記等號(hào)成立的條件
[2017·天津高考]若a,b∈R,ab>0,則的最小值為________.
錯(cuò)因分析 兩次使用基本不等式時(shí),忽視等號(hào)的一致性易出錯(cuò).
解析 ∵a4+4b4≥2a2·2b2=4a2b2(當(dāng)且僅當(dāng)a2=2b2時(shí)“=”成立),
∴≥=4ab+,
由于ab>0,∴4ab+≥2=4,
故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 15、的最小值為4.
答案 4
答題啟示 連續(xù)運(yùn)用基本不等式應(yīng)注意等號(hào)成立的條件:連續(xù)使用基本不等式時(shí)取等號(hào)的條件很嚴(yán)格,要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致.因此盡量不要連續(xù)兩次以上使用基本不等式,若使用兩次時(shí)應(yīng)保證兩次等號(hào)成立的條件同時(shí)相等.
跟蹤訓(xùn)練
已知a>b>0,求a2+的最小值.
解 ∵a>b>0,∴a-b>0.
∴b(a-b)≤2=.
∴a2+≥a2+≥2=16.
當(dāng)a2=且b=a-b,即a=2,b=時(shí)等號(hào)成立.
∴a2+的最小值為16.
板塊四 模擬演練·提能增分
[A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1.[2018·浙江模擬]已知x>0,y>0,則“xy=1”是“x+y 16、≥2”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 A
解析 若xy=1,由基本不等式,知x+y≥2=2;反之,取x=3,y=1,則滿足x+y≥2,但xy=3≠1,所以“xy=1”是“x+y≥2”的充分不必要條件.故選A.
2.當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)=有( )
A.最小值1 B.最大值1
C.最小值2 D.最大值2
答案 B
解析 ∵x>0,∴f(x)=≤1.故選B.
3.[2015·湖南高考]若實(shí)數(shù)a,b滿足+=,則ab的最小值為( )
A. B.2 C.2 D.4
答案 C
解析 由 17、=+≥2,得ab≥2,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取“=”.選C.
4.[2018·人大附中模擬](-6≤a≤3)的最大值為( )
A.9 B. C.3 D.
答案 B
解析 因?yàn)椋?≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0.由基本不等式,可知≤=,當(dāng)且僅當(dāng)a=-時(shí)等號(hào)成立.
5.[2018·秦皇島模擬]函數(shù)y=(x>1)的最小值是( )
A.2+2 B.2-2 C.2 D.2
答案 A
解析 ∵x>1,∴x-1>0,∴y===x+1+=x-1++2≥2+2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1+時(shí)取“=”).選A.
6.設(shè)x>0,y>0,且x+4y=40,則lg x+lg y的最大值是( )
A 18、.40 B.10 C.4 D.2
答案 D
解析 ∵x+4y=40,且x>0,y>0,
∴x+4y≥2=4(當(dāng)且僅當(dāng)x=4y時(shí)取“=”),
∴4≤40.∴xy≤100.
∴l(xiāng)g x+lg y=lg (xy)≤lg 100=2.
∴l(xiāng)g x+lg y的最大值為2.
7.[2018·山西模擬]已知不等式(x+y)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 B
解析 (x+y)=1+a·++a≥1+a+2=(+1)2,
當(dāng)且僅當(dāng)a·=,即ax2=y(tǒng)2時(shí)“=”成立.
∴(x+y)的最小值為(+1)2≥9.
∴a 19、≥4.
8.[2017·江蘇高考]某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸,每次購(gòu)買x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x的值是________.
答案 30
解析 一年的總運(yùn)費(fèi)為6×=(萬元).
一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元.
總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用的和為萬元.
因?yàn)椋?x≥2 =240,當(dāng)且僅當(dāng)=4x,即x=30時(shí)取得等號(hào),
所以當(dāng)x=30時(shí),一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最?。?
9.函數(shù)y=2x+(x>1)的最小值為________.
答案 2+2
解析 因?yàn)閥=2x+(x>1),所以y=2x+=2(x-1)++2≥2+2=2+2 20、.
當(dāng)且僅當(dāng)x=1+時(shí)取等號(hào),故函數(shù)y=2x+(x>1)的最小值為2+2.
10.[2018·正定模擬]若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是________.
答案 5
解析 由x+3y=5xy,可得+=1,
所以3x+4y=(3x+4y)
=+++≥+2 =+=5,當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=時(shí)取等號(hào),故3x+4y的最小值是5.
[B級(jí) 知能提升]
1.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足+=1,且不等式x+ 21、
解析 ∵x>0,y>0,∴x+==2++≥4,∴min=4,
∴m2-3m>4,解得m<-1或m>4.選B.
2.設(shè)a>0,b>1,若a+b=2,則+的最小值為( )
A.3+2 B.6
C.4 D.2
答案 A
解析 由題可知a+b=2,a+b-1=1,∴+=(a+b-1)=2+++1≥3+2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=2-,b=時(shí)等號(hào)成立.故選A.
3.[2018·湖北八校聯(lián)考]已知正數(shù)a,b滿足2a2+b2=3,則a的最大值為________.
答案
解析 a=×a≤×(2a2+b2+1)=×(3+1)=,
當(dāng)且僅當(dāng)a=,且2a2+b2=3,
即a2 22、=1,b2=1時(shí),等號(hào)成立.
故a的最大值為.
4.[2018·鄭州模擬]若a>0,b>0,且+=.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.
解 (1)因?yàn)閍>0,b>0,且+=,
所以=+≥2 ,所以ab≥2,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào).
因?yàn)閍3+b3≥2≥2=4,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào),
所以a3+b3的最小值為4.
(2)由(1)可知,2a+3b≥2=2≥4>6,
故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.
5.已知lg (3x)+lg y=lg (x+y+1).
(1)求xy的最小值;
(2)求x+y的最小值.
解 由lg (3x)+lg y=lg (x+y+1),
得
(1)∵x>0,y>0,∴3xy=x+y+1≥2+1,
∴3xy-2-1≥0,即3()2-2-1≥0,
∴(3+1)(-1)≥0,∴≥1,∴xy≥1,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=1時(shí),等號(hào)成立.∴xy的最小值為1.
(2)∵x>0,y>0,∴x+y+1=3xy≤32,
∴3(x+y)2-4(x+y)-4≥0,
∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0,
∴x+y≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=1時(shí)取等號(hào),
∴x+y的最小值為2.
11
- 溫馨提示:
1: 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)6整理和復(fù)習(xí)2圖形與幾何第7課時(shí)圖形的位置練習(xí)課件新人教版
- 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)6整理和復(fù)習(xí)2圖形與幾何第1課時(shí)圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量1平面圖形的認(rèn)識(shí)練習(xí)課件新人教版
- 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)6整理和復(fù)習(xí)1數(shù)與代數(shù)第10課時(shí)比和比例2作業(yè)課件新人教版
- 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)4比例1比例的意義和基本性質(zhì)第3課時(shí)解比例練習(xí)課件新人教版
- 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)3圓柱與圓錐1圓柱第7課時(shí)圓柱的體積3作業(yè)課件新人教版
- 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)3圓柱與圓錐1圓柱第1節(jié)圓柱的認(rèn)識(shí)作業(yè)課件新人教版
- 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)2百分?jǐn)?shù)(二)第1節(jié)折扣和成數(shù)作業(yè)課件新人教版
- 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)1負(fù)數(shù)第1課時(shí)負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)作業(yè)課件新人教版
- 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考前模擬期末模擬訓(xùn)練二作業(yè)課件蘇教版
- 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末豐收?qǐng)@作業(yè)課件蘇教版
- 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)易錯(cuò)清單十二課件新人教版
- 標(biāo)準(zhǔn)工時(shí)講義
- 2021年一年級(jí)語文上冊(cè)第六單元知識(shí)要點(diǎn)習(xí)題課件新人教版
- 2022春一年級(jí)語文下冊(cè)課文5識(shí)字測(cè)評(píng)習(xí)題課件新人教版
- 2023年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)6整理和復(fù)習(xí)4數(shù)學(xué)思考第1課時(shí)數(shù)學(xué)思考1練習(xí)課件新人教版