浙江省2022年中考數(shù)學(xué) 第五單元 四邊形 課時(shí)訓(xùn)練25 特殊平行四邊形（二）練習(xí) （新版）浙教版

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1、浙江省2022年中考數(shù)學(xué) 第五單元 四邊形 課時(shí)訓(xùn)練25 特殊平行四邊形（二）練習(xí) （新版）浙教版 1.[xx·貴陽] 如圖K25-1,在菱形ABCD中,E是AC的中點(diǎn),EF∥CB,交AB于點(diǎn)F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周長為 (　　) 圖K25-1 A.24 B.18 C.12 D.9 2.[xx·寧夏] 將一個矩形紙片按如圖K25-2所示折疊,若∠1=40°,則∠2的度數(shù)是 (　　) 圖K25-2 A.40° B.50° C.60° D.70° 3.[xx·恩施州] 如圖K25-3所示,在正方形ABCD中,G為CD邊中點(diǎn),連結(jié)AG并延長

2、交BC邊的延長線于E點(diǎn),對角線BD交AG于F點(diǎn),已知FG=2,則線段AE的長度為 (　　) 圖K25-3 A.6 B.8 C.10 D.12 4.[xx·蘭州] 在平行四邊形ABCD中,對角線AC與DB相交于點(diǎn)O.要使四邊形ABCD是正方形,還需添加一組條件.下面給出了四組條件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正確的序號是　　　　.? 5.[xx·上海] 對于一個位置確定的圖形,如果它的所有點(diǎn)都在一個水平放置的矩形內(nèi)部或邊上,且該圖形與矩形的每條邊都至少有一個公共點(diǎn)(如圖K25-4①)

3、,那么這個矩形水平方向的邊長稱為該圖形的寬,鉛垂方向的邊長稱為該圖形的高.如圖②,菱形ABCD的邊長為1,邊AB水平放置.如果該菱形的高是寬的,那么它的寬的值是　　　　.? 圖K25-4 6.如圖K25-5,AC是矩形ABCD的對角線,AB=2,BC=2,點(diǎn)E,F分別是線段AB,AD上的點(diǎn),連結(jié)CE,CF,當(dāng)∠BCE=∠ACF,且CE=CF時(shí),AE+AF=　　　　.? 圖K25-5 7.如圖K25-6,在平行四邊形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,∠B=60°,G是CD的中點(diǎn),E是邊AD上的動點(diǎn),EG的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)F,連結(jié)CE,DF. (1)求證:四邊

4、形CEDF是平行四邊形. (2)①當(dāng)AE=　　　cm時(shí),四邊形CEDF是矩形;? ②當(dāng)AE=　　　cm時(shí),四邊形CEDF是菱形.? (直接寫出答案,不需要說明理由) 圖K25-6 8.[xx·吉林] 如圖K25-7①,在△ABC中,AB=AC,過AB上一點(diǎn)D作DE∥AC交BC于點(diǎn)E,以E為頂點(diǎn),ED為一邊,作∠DEF=∠A,另一邊EF交AC于點(diǎn)F. (1)求證:四邊形ADEF為平行四邊形; (2)當(dāng)點(diǎn)D為AB中點(diǎn)時(shí),?ADEF的形狀為　　　　;? (3)延長圖①中的DE到點(diǎn)G,使EG=DE,連結(jié)AE,AG,FG,得到圖②,若AD=AG,判斷四邊形

5、AEGF的形狀,并說明理由. 圖K25-7 |拓展提升| 9.[xx·海南] 如圖K25-8①,分別沿長方形紙片ABCD和正方形紙片EFGH的對角線AC,EG剪開,拼成如圖②所示的?KLMN,若中間空白部分四邊形OPQR恰好是正方形,且?KLMN的面積為50,則正方形EFGH的面積為 (　　) 圖K25-8 A.24 B.25 C.26 D.27 10.[xx·咸寧] 如圖K25-9,已知∠MON=120°,點(diǎn)A,B分別在OM,ON上,且OA=OB=a,將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OM',旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<120°且α≠60°),作

6、點(diǎn)A關(guān)于直線OM'的對稱點(diǎn)C,畫直線BC交OM'于點(diǎn)D,連結(jié)AC,AD.有下列結(jié)論: 圖K25-9 ①AD=CD;②∠ACD的大小隨著α的變化而變化;③當(dāng)α=30°時(shí),四邊形OADC為菱形;④△ACD的面積的最大值為a2. 其中正確的是　　　　.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上)? 11.[xx·紹興] 小敏思考解決如下問題: 原題:如圖K25-10①,點(diǎn)P,Q分別在菱形ABCD的邊BC,CD上,∠PAQ=∠B,求證:AP=AQ. (1)小敏進(jìn)行探索,若將點(diǎn)P,Q的位置特殊化:把∠PAQ繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到∠EAF,使AE⊥BC,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,如圖②,此時(shí)她證明了AE=

7、AF.請你證明. (2)受以上(1)的啟發(fā),在原題中,添加輔助線:如圖③,作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分別為E,F.請你繼續(xù)完成原題的證明. (3)如果在原題中添加條件:AB=4,∠B=60°,如圖①.請你編制一個計(jì)算題(不標(biāo)注新的字母),并直接給出答案. 圖K25-10 參考答案 1.A 2.D　[解析] 如下圖,易知2∠3=∠1+180°=220°,從而∠3=110°,又由平行線的性質(zhì),得∠2+∠3=180°,進(jìn)而∠2=70°,故選D. 3.D　[解析] ∵正方形ABCD,G為CD邊中點(diǎn), ∴AB∶DG=2∶1. ∵AB∥CD,∴AB∶DG=AF∶FG.

8、∵FG=2,∴AF=4. 易證△ADG≌△ECG, ∴EG=AG=AF+FG=4+2=6. ∴AE=12.故選D. 4.①③④　[解析] ①有一個角是直角的平行四邊形是矩形,有一組鄰邊相等的矩形是正方形,故①正確. ②BD為平行四邊形的對角線,AB為平行四邊形的其中一條邊,所以AB=BD時(shí),平行四邊形不可能是正方形,故②錯誤. ③對角線相等且垂直的平行四邊形是正方形,由OB=OC,得AC=BD,由OB⊥OC,得AC⊥BD,所以四邊形ABCD為正方形,故③正確. ④鄰邊相等的平行四邊形是菱形,對角線相等的菱形是正方形.在平行四邊形ABCD中,由AB=AD,得四邊形ABCD為菱形,又

9、∵AC=BD,∴四邊形ABCD為正方形.故④正確. 5.　[解析] 如圖,將菱形ABCD放置在一個水平矩形AFCE中,設(shè)寬AF為a,則高CF為a,因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長為1,所以BF為a-1,在Rt△BCF中,由勾股定理得(a-1)2+a2=12,解得a=. 6.　[解析] 如圖,作FG⊥AC,易證△BCE≌△GCF(AAS),∴BE=GF,BC=CG. ∵在Rt△ABC中,tan∠ACB===, ∴∠ACB=30°,∴AC=2AB=4,∠DAC=∠ACB=30°. ∵FG⊥AC,∴AF=2GF,∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE. 設(shè)BE=x,在Rt△AFG中,AG=GF

10、=x, ∴AC=AG+CG=x+2=4, 解得x=-2, ∴AE+AF=AB+BE=2+-2=. 7.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴CF∥ED,∴∠FCG=∠EDG. ∵G是CD的中點(diǎn),∴CG=DG. 在△FCG和△EDG中, ∴△FCG≌△EDG(ASA),∴FG=EG. 又∵CG=DG,∴四邊形CEDF是平行四邊形. (2)①當(dāng)AE=3.5 cm時(shí),四邊形CEDF是矩形. ②當(dāng)AE=2 cm時(shí),四邊形CEDF是菱形. 8.解:(1)證明:∵DE∥AC, ∴∠DEF=∠EFC. ∵∠DEF=∠A,∴∠A=∠EFC, ∴EF∥AB, ∴四

11、邊形ADEF為平行四邊形. (2)菱形. 理由如下:∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn), ∴AD=AB. ∵DE∥AC,點(diǎn)D為AB中點(diǎn), ∴E為BC中點(diǎn),∴DE=AC. ∵AB=AC,∴AD=DE, ∴平行四邊形ADEF為菱形. (3)四邊形AEGF為矩形. 理由:∵四邊形ADEF為平行四邊形, ∴AF∥DE,AF=DE,AD=EF. ∵EG=DE,∴AF=EG. 又∵AF∥EG, ∴四邊形AEGF是平行四邊形. ∵AD=AG,∴AG=EF, ∴四邊形AEGF為矩形. 9.B　[解析] 設(shè)長方形紙片長,寬分別為x,y,正方形紙片邊長為z. ∵四邊形OPQR是正方形, ∴RQ=

12、RO,∴x-z=z-y,∴x=2z-y①; ∵?KLMN的面積為50,∴xy+z2+(z-y)2=50, 把①代入,得(2z-y)·y+z2+(z-y)2=50, ∴2zy-y2+z2+z2-2yz+y2=50, 整理,得2z2=50,∴z2=25, ∴正方形EFGH的面積=z2=25,故選擇B. 10.①③④　[解析] 連結(jié)OC, ∵點(diǎn)A關(guān)于直線OM'的對稱點(diǎn)是點(diǎn)C,由對稱性可得OA=OC,CD=AD,故①正確; ∵OA=OC,∴∠COD=∠AOD=α,由對稱性可知OM'垂直平分AC,∴∠OCA=90°-α. ∵OA=OB,OA=OC,∴OB=OC. ∵∠BOC=12

13、0°-2α, ∴∠BCO=30°+α, ∴∠BCA=90°-α+30°+α=120°, ∴∠ACD=180°-120°=60°,故②錯誤; ∵CD=AD,∴△ACD為等邊三角形. 當(dāng)α=30°時(shí),∠AOC=60°∴△ACO為等邊三角形. ∴OC=OA=AC,又∠ACD=60°,AD=CD, ∴AD=CD=AC. ∴OA=OC=CD=AD. ∴四邊形OADC為菱形.故③正確; 要使△ACD的面積最大即AC要最大,當(dāng)α=90°,A,O,C在一條直線上時(shí),AC最大, ∴△ACD的面積的最大值為×2a×a=a2,故④正確. 11.[解析] (1)可先求出∠AFC=∠AFD=90

14、°,然后證明△AEB≌△AFD即可; (2)先求出∠EAP=∠FAQ,再證明△AEP≌△AFQ即可; (3)可以分三個不同的層次,①直接求菱形本身其他內(nèi)角的度數(shù)或邊的長度,也可求菱形的周長.②可求PC+CQ,BP+QD,∠APC+∠AQC的值.③可求四邊形APCQ的面積、△ABP與△AQD的面積和、四邊形APCQ周長的最小值等. 解:(1)證明:如圖①, 在菱形ABCD中, ∠B+∠C=180°,∠B=∠D,AB=AD, ∵∠EAF=∠B, ∴∠C+∠EAF=180°, ∴∠AEC+∠AFC=180°. ∵AE⊥BC, ∴∠AEB=∠AEC=90°, ∴∠AFC=90°,

15、∠AFD=90°, ∴△AEB≌△AFD,∴AE=AF. (2)證明:如圖②,∵∠PAQ=∠EAF=∠B, ∴∠EAP=∠EAF-∠PAF=∠PAQ-∠PAF=∠FAQ. ∵AE⊥BC,AF⊥CD, ∴∠AEP=∠AFQ=90°. ∵AE=AF,∴△AEP≌△AFQ,∴AP=AQ. (3)答案不唯一,舉例如下: 層次1:①求∠D的度數(shù).答案:∠D=60°. ②分別求∠BAD,∠BCD的度數(shù). 答案:∠BAD=∠BCD=120°. ③求菱形ABCD的周長.答案:16. ④分別求BC,CD,AD的長.答案:4,4,4. 層次2:①求PC+CQ的值.答案:4. ②求BP+QD的值.答案:4. ③求∠APC+∠AQC的值.答案:180°. 層次3:①求四邊形APCQ的面積.答案:4. ②求△ABP與△AQD的面積和.答案:4. ③求四邊形APCQ周長的最小值. 答案:4+4.