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1、2022年高考數(shù)學大一輪復習 第七章 第44課 直接證明與間接證明檢測評估
一、 填空題
1. (xx·邢臺一中)用反證法證明“如果a,b∈N*,ab可被5整除,那么a,b中至少有一個能被5整除”時,假設(shè)內(nèi)容為 .
2. (xx·廣東模擬)設(shè)a=lg2+lg5,b=ex(x<0),則a與b的大小關(guān)系為 .
3. (xx·廣東模擬)設(shè)a=+2,b=2+,則a,b的大小關(guān)系為 .
4. 若0
2、且a2是偶數(shù),求證:a是偶數(shù).
證明:(反證法)假設(shè)a不是偶數(shù),即a是奇數(shù),設(shè)a=2n+1(n∈Z),則a2=(2n+1)2=4n2+4n+1.因為4n2+4n是偶數(shù),所以4n2+4n+1是奇數(shù),這與 相矛盾.所以假設(shè)不正確,從而a是偶數(shù).
6. (xx·廣東模擬)已知α,β,γ是三個不重合的平面, a,b是兩條不同的直線,給出下列三個條件:
①a∥γ,bìβ; ②a∥γ,b∥β; ③b∥β,aìγ.
如果命題“若α∩β=a,bìγ,且( ),則a∥b”為真命題,那么在括號中補充的條件是 .(填序號)
7. 如果a+b≥a+b,那么實數(shù)a,
3、b應(yīng)滿足的條件是 .
8. 已知a,b是兩個實數(shù),給出下列條件:
①a+b>1; ②a+b=2; ③a+b>2; ④a2+b2>2; ⑤ab>1.
其中能推出“a,b中至少有一個大于1”的條件是 .(填序號)
二、 解答題
9. (xx·順義模擬)求證:兩條相交直線有且只有一個交點.
10. (xx·福建模擬)已知非向零量a⊥b,求證:≤.
11. (xx·溫州聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和 Sn=2an-2n+1,求證:數(shù)列是等差數(shù)列.
第44課 直接證明與間接證明
1. a,b都不能被5整除 解析:反證法
4、是從結(jié)論的反面出發(fā),經(jīng)過推導得到與已知或者公理、定理矛盾的結(jié)論,從而說明原命題成立的證明方法,所以應(yīng)假設(shè)“a,b都不能被5整除”.
2. a>b 解析:因為a=lg2+lg5=lg10=1,b=ex(x<0)b.
3. a2,a2+b2>2ab.因為0a2,b>b2,因此a+b>a2+b2.
5. a2是偶數(shù) 解析:a2=4n2+4n+1是奇數(shù),與a2是偶數(shù)矛盾.
5、6. ①或③ 解析:若填入①,則由a∥γ,bìβ,bìγ,b=β∩γ,知a∥b.若填入③,則由aìγ,a=α∩β,知a=α∩β∩γ,又bìγ,b∥β,則b∥a.若填入②,不能推出a∥b.
7. a≥0,b≥0,且a≠b 解析:a+b≥a+b?a(-)≥b(-)?(-)(a-b)>0?(-)2(+)≥0,所以實數(shù)a,b應(yīng)滿足的條件是a≥0,b≥0,且a≠b.
8. ③ 解析:若a=,b=,則a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,則a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,ab>1,故④⑤推不出.
對于③,若a+b>2,則a,b中至少有一個大
6、于1,證明如下:
假設(shè)a≤1且b≤1,則a+b≤2與a+b>2矛盾,因此假設(shè)不成立,所以a,b中至少有一個大于1.
9. 假設(shè)結(jié)論不成立,即有兩種可能:
①若直線a,b無交點,則a∥b,與已知矛盾;
②若直線a,b不止有一個交點,則至少有兩個交點A和B,這樣同時經(jīng)過點A,B就有兩條直線,這與“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”相矛盾.
綜上所述,兩條相交直線有且只有一個交點.
10. 因為a⊥b,所以a·b=0.
要證≤ ,只需證|a|+|b|≤|a-b|,
只需證|a|2+|b|2+2|a||b|≤2(|a|2+|b|2-2a·b),
即證|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,
即(|a|-|b|)2≥0,顯然成立.
故原不等式成立.
11. 當n=1時,S1=a1=2a1-22,所以a1=4.
又因為Sn=2an-2n+1,
當n≥2時,Sn-1=2an-1-2n,
兩式相減得an=2an-2an-1-2n,即an=2an-1+2n,
所以-=-=+1-=1.
又因為=2,
所以數(shù)列是以2為首項、1為公差的等差數(shù)列.
2022年高考數(shù)學大一輪復習 第七章 第44課 直接證明與間接證明檢測評估
