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1、浙江省2022年中考數(shù)學 第四單元 三角形測試練習 （新版）浙教版
一、選擇題(每題5分,共30分)
1.下列各組數(shù)可能是一個三角形的三邊長的是 ( )
A.1,2,4 B.4,5,9
C.4,6,8 D.5,5,11
2.若△ABC與△DEF相似,且相似比為1∶3,則△ABC與△DEF的面積比為 ( )
A.1∶3 B.1∶9 C.3∶1 D.1∶
3.如圖D4-1,由四個全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169,小正方形的面積為49,則sin α-cos α= ( )
圖D4-1
A. B.- C. D.-
4.如圖D4-2,
2、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C,此時點A'恰好在AB邊上,則點B'與點B之間的距離為 ( )
圖D4-2
A.12 B.6 C.6 D.6
5.如圖D4-3,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A為圓心,任意長為半徑畫弧分別交AB,AC于點M和N,再分別以M,N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,連結(jié)AP并延長交BC于點D,有下列說法:①AD是∠BAC的平分線;②∠ADC=60°;③點D在AB的垂直平分線上;④S△DAC∶S△ABC=1∶3.其中正確說法的個數(shù)是 ( )
3、
圖D4-3
A.1 B.2 C.3 D.4
6.矩形ABCD與CEFG如圖D4-4放置,點B,C,E共線,點C,D,G共線,連結(jié)AF,取AF的中點H,連結(jié)GH,若BC=EF=2,CD=CE=1,則GH= ( )
圖D4-4
A.1 B. C. D.
二、填空題(每題5分,共30分)
7.我們規(guī)定:等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”,記作k,若k=,則該等腰三角形的頂角為 度.?
8.如圖D4-5,∠A=∠D,AC=DF,則需要補充條件 (寫出一個即可),才能使△ABC≌△DEF.?
圖D4-5
4、9.如圖D4-6,在五角星中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為 .?
圖D4-6
10.如圖D4-7,△ABC中,AD是中線,BC=8,∠B=∠DAC,則線段AC的長為 ?
圖D4-7
11.如圖D4-8,四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ACD=∠ABC=90°,E,F分別為AC,CD的中點,∠D=α,則∠BEF的度數(shù)為 .(用含α的式子表示)?
圖D4-8
12.已知等邊三角形ABC的高為4,在這個三角形所在的平面內(nèi)有一點P,若點P到AB所在直線的距離是1,點P到AC所在直線的距離是2,則點P到BC所在直線的最小距離和最大距離分別是 .
5、?
三、解答題(共40分)
13.(8分)如圖D4-9,AB∥CD,AB=CD,CE=BF.請寫出DF與AE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
圖D4-9
14.(8分)如圖D4-10,某數(shù)學興趣小組為測量一棵古樹BH和教學樓CG的高,先在A處用高1.5米的測角儀測得古樹頂端H的仰角∠HDE為45°,此時教學樓頂端G恰好在視線DH上,再向前走7米到達B處,又測得教學樓頂端G的仰角∠GEF為60°,A,B,C三點在同一水平線上.
(1)計算古樹BH的高;
(2)計算教學樓CG的高.(參考數(shù)據(jù):≈1.4,≈1.7)
圖D4-10
6、
15.(12分)隨州市新蹶水一橋(如圖D4-11①)設(shè)計靈感來源于市花——蘭花,采用蝴蝶蘭斜拉橋方案,設(shè)計長度為258米,寬32米,為雙向六車道,2018年4月3日通車.斜拉橋又稱斜張橋,主要由索塔、主梁、斜拉索組成.某座斜拉橋的部分截面圖如圖D4-11②所示,索塔AB和斜拉索(圖中只畫出最短的斜拉索DE和最長的斜拉索AC)均在同一水平面內(nèi),BC在水平橋面上.已知∠ABC=∠DEB=45°,∠ACB=30°,BE=6米,AB=5BD.
(1)求最短的斜拉索DE的長;
(2)求最長的斜拉索AC的長.
圖D4-11
16.(12分)如圖D4-
7、12,四邊形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分∠BAD,點P是AC延長線上一點,且PD⊥AD.
(1)證明:∠BDC=∠PDC;
(2)若AC與BD相交于點E,AB=1,CE∶CP=2∶3,求AE的長.
圖D4-12
參考答案
1.C
2.B [解析] 相似三角形的面積比等于相似比的平方.
3.D [解析] 根據(jù)大正方形面積為169得到直角三角形斜邊為13,小正方形面積為49得直角邊的差為7,想到直角邊為12和5,得到sinα-cosα=-=-,故選D.
4.D [解析] 連結(jié)B'B.
∵將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C,
∴CA=CA'.
8、
又∵∠A=60°,∴△AA'C為等邊三角形,
∴∠ACA'=60°,即旋轉(zhuǎn)角為60°,
∴∠BCB'=∠ACA'=60°,
∴△BB'C為等邊三角形,∴BB'=BC.
又∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,
∴BB'=BC=6.
5.D
6.C [解析] 過點H作HM垂直于CG于點M,設(shè)AF交CG于點O.
根據(jù)題意可知△GOF∽△DOA,∴===,
所以O(shè)F=OA=AF,即AF=3OF,
因為點H是AF的中點,所以O(shè)H=AF-AF=AF,
即AF=6OH,所以O(shè)H=OF.
根據(jù)已知條件可知△HOM∽△FOG,可以推出HM=;
同理,
9、通過△HOM∽△AOD,可以推出DM=DG,即GM=DG=.
在Rt△GHM中,GH==.
故選C.
7.36 [解析] 設(shè)頂角為α,則其底角為(180°-α),由k=,可得(180°-α)=2α,解得α=36°.
8.答案不唯一,如∠BCA=∠EFD或AB=DE
9.180°
10.4
11.270°-3α [解析] ∵∠ACD=90°,
∴∠CAD=90°-∠D=90°-α,
∵E,F分別為AC,CD的中點,
∴EF∥AD,∴∠CEF=∠CAD=90°-α.
∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD=90°-α,
∵∠ABC=90°,E為AC的中點,
∴AE=BE
10、,∴∠EBA=∠BAC=90°-α,
∴∠BEC=180°-2α,∴∠BEF=270°-3α.
12.1,7 [解析] 根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形,直線DM與直線NF與AB的距離都為1,直線NG與直線ME與AC的距離都為2,當P與N重合時,HN為P到BC的最小距離;當P與M重合時, MQ為P到BC的最大距離.
根據(jù)題意得△NFG與△MDE都為等邊三角形,
∴DB=FB==,CE=CG==,
∴DE=DB+BC+CE=++=,
FG=BC-BF-CG=,
∴NH=FG=1,MQ=DE=7.
故點P到BC所在直線的最小距離和最大距離分別是1,7.
13.解:DF=AE.
證明:
11、∵AB∥CD,
∴∠B=∠C.
∵CE=BF,
∴CE-EF=BF-EF,即CF=BE.
在△ABE和△DCF中,
∴△ABE≌△DCF.
∴DF=AE.
14.解:(1)在Rt△DEH中,
∵∠DEH=90°,∠HDE=45°,
∴HE=DE=7米.∴BH=HE+BE=7+1.5=8.5(米).
(2)設(shè)EF=x米,在Rt△GEF中,
∵∠GFE=90°,∠GEF=60°,
∴GF=EF·tan60°=x.
在Rt△GDF中,∵∠GFD=90°,∠GDF=45°,
∴DF=GF.
∴7+x=x.
將≈1.7代入上式,解得x≈10.GF=x≈17.
∴GC=G
12、F+FC=18.5(米).
15.解:(1)∵∠ABC=∠DEB=45°,
∴∠BDE=90°,BD=DE,
在Rt△BDE中,DE=BE·sin∠ABC=6×sin45°=3(米).
即最短斜拉索DE的長為3米.
(2)過點A作AM⊥BC于點M,
由(1)知,BD=DE=3,AB=5BD=5×3=15.
在Rt△ABM中,AM=AB·sin∠ABC=15×sin45°=15(米).
∵∠ACB=30°,∠AMC=90°,
∴AC=2AM=2×15=30(米).
即最長斜拉索AC的長為30米.
16.[解析] (1)利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合互余的定義得出∠BDC=∠P
13、DC;
(2)過點C作CM⊥PD于點M,由相似的證明方法,得出△CPM∽△APD,利用對應(yīng)邊成比例的關(guān)系,求出EC的長即可得出答案.
解:(1)證明:∵AB=AD,AC平分∠BAD,
∴AC⊥BD,∴∠ACD+∠BDC=90°.
∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC.
∵PD⊥AD,∴∠ADC+∠PDC=90°,
∴∠BDC=∠PDC.
(2)如圖,過點C作CM⊥PD于點M,
∵∠BDC=∠PDC,∴CE=CM.
∵∠CMP=∠ADP=90°,∠P=∠P,
∴△CPM∽△APD,
∴=.
設(shè)CM=CE=x,
∵CE∶CP=2∶3,
∴PC=x.
∵AB=AD=AC=1,
∴=,
解得x=或x=0(舍去),
∴AE=1-=.
浙江省2022年中考數(shù)學 第四單元 三角形測試練習 （新版）浙教版
