2022屆高考數學一輪復習 第二章 函數、導數及其應用 課堂達標9 二次函數與冪函數 文 新人教版

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1、2022屆高考數學一輪復習 第二章 函數、導數及其應用 課堂達標9 二次函數與冪函數 文 新人教版 1．(2018·吉林東北二模)已知冪函數f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的圖象關于y軸對稱，則下列選項正確的是(　　) A．f(－2)＞f(1)　　　 B．f(－2)＜f(1) C．f(2)＝f(1) D．f(－2)＞f(－1) [解析]　由于冪函數f(x)＝xn的圖象關于y軸對稱，可知f(x)＝xn為偶函數，所以n＝－2，即f(x)＝x－2，則有f(－2)＝f(2)＝，f(－1)＝f(1)＝1，所以f(－2)＜f(1)． [答案]　B 2．冪函數y＝xm2－4m(m∈Z

2、)的圖象如圖所示，則m的值為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　∵y＝xm2－4m(m∈Z)的圖象與坐標軸沒有交點，∴m2－4m＜0，即0＜m＜4， 又∵函數的圖象關于y軸對稱，且m∈Z， ∴m2－4m為偶數，因此m＝2. [答案]　C 3．設函數f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，則g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝(　　) A．56　　　 B．112 C．0　　　 D．38 [解析]　由二次函數圖象的性質得，當3≤x≤20時，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝11

3、2. [答案]　B 4．已知函數f(x)＝x，若0＜a＜b＜1，則下列各式中正確的是(　　) A．f(a)＜f(b)＜f＜f B．f＜f＜f(b)＜f(a) C．f(a)＜f(b)＜f＜f D．f＜f(a)＜f＜f(b) [解析]　因為函數f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函數，又0＜a＜b＜＜，故f(a)＜f(b)＜f＜f. [答案]　C 5．(2018·吉林松原調研)設函數f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，已知f(m)＜0，則(　　) A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0 C．f(m＋1)＞0 D．f(m＋1)＜0 [解析]　∵f(x)的對稱軸為x＝－，

4、f(0)＝a＞0， ∴f(x)的大致圖象如圖所示． 由f(m)＜0，得－1＜m＜0， ∴m＋1＞0， ∴f(m＋1)＞f(0)＞0. [答案]　C 6．(2018·安徽皖北片高三第一次聯考)已知函數f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]上的最大值為2，則a的值為(　　 ) A．2 B．－1或－3 C．2或－3 D．－1或2 [解析]　函數f(x)＝－x2＋2ax＋1－a的對稱軸為x＝a，圖象開口向下， ①當a≤0時，函數f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]是減函數， ∴fmax(x)＝f(0)＝1－a， 由1－a＝2，得a＝－1， ②當0＜a

5、≤1時，函數f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0，a]是增函數，在[a,1]上是減函數， ∴fmax(x)＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1， 由a2－a＋1＝2，解得a＝或a＝， ∵0＜a≤1，∴兩個值都不滿足； ③當a＞1時，函數f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]是增函數， ∴fmax(x)＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝a，∴a＝2. 綜上可知，a＝－1或a＝2.故選：D. [答案]　D 7．當0＜x＜1時，函數f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小關系是　________　. [解析]　如圖所示為函數f(x)，

6、g(x)， h(x)在(0,1)上的圖象，由此可知，h(x)＞g(x)＞f(x)． [答案]　h(x)＞g(x)＞f(x) 8．對于任意實數x，函數f(x)＝(5－a)x2－6x＋a＋5恒為正值，則a的取值范圍是　________　. [解析]　由題意可得 解得－4＜a＜4. [答案]　(－4,4) 9．(2018·長沙模擬)若函數f(x)＝x2－3x－4的定義域為[0，m]，值域為，則m的取值范圍是______． [解析]　函數f(x)圖象的對稱軸為x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由二次函數的圖象知m的取值范圍為. [答案]　 10．已知函數f(x)＝ax2

7、－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在區(qū)間[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a，b的值； (2)若b＜1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上單調，求m的取值范圍． [解]　(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a. 當a＞0時，f(x)在[2,3]上為增函數， 故?? 當a＜0時，f(x)在[2,3]上為減函數， 故?? (2)∵b＜1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2. g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2， ∵g(x)在[2,4]上單調，∴≤2或≥4. ∴m≤2或m≥6. 故m的取值范圍為(－∞，2]∪[6，＋∞)．

8、 [B能力提升練] 1．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝則F(x)的最值情況為(　　) A．最大值為3，最小值為－1 B．最大值為7－2，無最小值 C．最大值為3，無最小值 D．既無最大值，又無最小值 [解析]　作出F(x)的圖象，如圖實線部分．由圖象知F(x)有最大值無最小值，且最大值不是3. [答案]　B 2．關于x的二次方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1＝0的兩根異號，且負根的絕對值比正根大，那么實數m的取值范圍是(　　) A．－3＜m＜0 B．0＜m＜3 C．m＜－3或m＞0 D．m＜0或m＞3 [解析]　由題意知 由①②

9、③得－3＜m＜0，故選A. [答案]　A 3．若函數f(x)＝x2－a|x－1|在[0，＋∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍是　________　. [解析]　f(x)＝ x∈[1，＋∞)時，f(x)＝x2－ax＋a＝2＋a－，x∈(－∞，1)時， f(x)＝x2＋ax－a＝2－a－. ①當＞1，即a＞2時，f(x)在上單調遞減， 在上單調遞增，不合題意； ②當0≤≤1，即0≤a≤2時，符合題意； ③當＜0，即a＜0時，不符合題意， 綜上，a的取值范圍是[0,2]． [答案]　[0,2] 4．設f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數，若函數y＝f(x)

10、－g(x)在x∈[a，b]上有兩個不同的零點，則稱f(x)和g(x)在[a，b]上是“關聯函數”，區(qū)間[a，b]稱為“關聯區(qū)間”．若f(x)＝x2－3x＋4與g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“關聯函數”，則m的取值范圍是　________　. [解析]　由題意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有兩個不同 的零點．在同一直角坐標系下作出函數y＝m與y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的圖象如圖所示，結合圖象可知，當x∈[2,3]時，y＝x2－5x＋4∈，故當m∈時，函數y＝m與y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的圖象有兩個交點． [答案]　 5．已知函數

11、f(x)＝ax2－2x＋1. (1)試討論函數f(x)的單調性． (2)若≤a≤1，且f(x)在[1,3]上的最大值為M(a)，最小值為N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)，求g(a)的表達式． (3)在(2)的條件下，求證：g(a)≥. [解]　(1)當a＝0時， 函數f(x)＝－2x＋1在(－∞，＋∞)上為減函數； 當a＞0時，拋物線f(x)＝ax2－2x＋1開口向上， 對稱軸為x＝，所以函數f(x)在上為減函數，在上為增函數； 當a＜0時，拋物線f(x)＝ax2－2x＋1開口向下，對稱軸為x＝，所以函數f(x)在上為增函數，在上為減函數． (2)因為f(x)＝a2＋

12、1－， 由≤a≤1得1≤≤3， 所以N(a)＝f＝1－. 當1≤＜2，即＜a≤1時， M(a)＝f(3)＝9a－5， 故g(a)＝9a＋－6； 當2≤≤3，即≤a≤時，M(a)＝f(1)＝a－1， 故g(a)＝a＋－2. 所以g(a)＝ (3)證明：當a∈時g′(a)＝1－<0， 所以函數g(x)在上為減函數； 當a∈時，g′(a)＝9－＞0， 所以函數g(a)在上為增函數， 所以當a＝時，g(a)取最小值， g(a)min＝g＝.故g(a)≥. [C尖子生專練] (2018·浙江瑞安四校聯考)已知函數f(x)＝x2－1，g(x)＝a|x－1|. (1)若當x

13、∈R時，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求實數a的取值范圍； (2)求函數h(x)＝|f(x)|＋g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值． [解]　(1)不等式f(x)≥g(x)對x∈R恒成立， 即x2－1≥a|x－1|(*)對x∈R恒成立． ①當x＝1時，(*)顯然成立，此時a∈R； ②當x≠1時，(*)可變形為a≤， 令φ(x)＝＝ 因為當x＞1時，φ(x)＞2，當x＜1時，φ(x)＞－2， 所以φ(x)＞－2，故此時a≤－2. 綜合①②，得所求實數a的取值范圍是(－∞，－2]． (2)h(x)＝ ①當－≤0時，即a≥0， (－x2－ax＋a＋1)max＝h(0)＝a＋

14、1， (x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3. 此時，h(x)max＝a＋3. ②當0＜－≤1時， 即－2≤a＜0，(－x2－ax＋a＋1)max ＝h＝＋a＋1， (x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3. 此時h(x)max＝a＋3. ③當1＜－≤2時，即－4≤a＜－2， (－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0， (x2＋ax－a－1)max＝max{h(1)， h(2)}＝max{0,3＋a}＝ 此時h(x)max＝ ④當－＞2時，即a＜－4， (－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0， (x2＋ax－a－1)max＝h(1)＝0. 此時h(x)max＝0. 綜上：h(x)max＝