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1、2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 專題五 解析幾何 課后綜合提升練 1.5.2 橢圓、雙曲線、拋物線 文
(40分鐘 70分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.拋物線y=x2的焦點到雙曲線y2-=1的漸近線的距離為 ( )
A. B. C.1 D.
【解析】選B.因為拋物線y=x2的焦點為(0,1),雙曲線y2-=1的漸近線的方程為y=±x,即±x-y=0,所以拋物線y=x2的焦點到雙曲線y2-=1的漸近線的距離為d==.
2.已知橢圓mx2+4y2=1的離心率為,則實數(shù)m等于 ( )
A.2 B.2或 C.2或6 D.2或8
【解析】選D.焦點
2、在x軸時,a2=,b2=,根據(jù)e==?=?=?=,即=?m=2,焦點在y軸時,a2=,b2=,即=?m=8,所以m等于2或8.
3.設(shè)F為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點,B為虛軸的上端點,若直線FB與雙曲線C的一條漸近線垂直,則C的離心率為 ( )
A. B. C.-1 D.
【解析】選B.因為直線FB的斜率為-,雙曲線C的一條漸近線的斜率為,又因為直線FB與雙曲線C的一條漸近線垂直,所以·=-1,所以c2-a2=b2=ac,兩邊都除以a2,得e2-e-1=0,因為e>1,所以e=.
4.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個焦點為F(2,0),且雙曲線的漸
3、近線與圓(x-2)2+y2=3相切,則雙曲線的方程為 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】選D.由已知可得c=2,雙曲線漸近線方程為y=±x,即ay±bx=0,
a2+b2=c2=8,(x-2)2+y2=3的圓心為(2,0),半徑r=,
若雙曲線漸近線與圓方程相切,則
d====,所以b=,
所以b2=6,c2=8,a2=2,
所以雙曲線方程為-=1.
5.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,點P是拋物線C上一點,過點P作l的垂線,垂足為A,準線l與x軸的交點設(shè)為B,若∠BAF=30°,且△APF的面積為
4、12,則以PF為直徑的圓的標準方程為 ( )
A.(x-2)2+(y+3)2=12或(x-2)2+(y-3)2=12
B.(x-3)2+(y+2)2=12或(x-3)2+(y-2)2=12
C.(x-2)2+(y+3)2=8或(x-2)2+(y-3)2=8
D.(x-3)2+(y+2)2=8或(x-3)2+(y-2)2=8
【解析】選A.作出輔助圖形如圖所示,
因為∠BAF=30°,故∠AFB=60°=∠PAF,由拋物線的定義可知|PA|=|PF|,故
△APF為等邊三角形,因為△APF的面積為12,故|PF|=|PA|=|AF|=4,而|BF|=|AF|=2=p,故點P的
5、橫坐標為|PA|-=3,代入y2=4x中,解得y=±6,故所求圓的標準方程為(x-2)2+(y±3)2=12.
二、填空題(每小題5分,共15分)
6.已知點F是橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點,若橢圓C上存在兩點P,Q滿足=2,則橢圓C的離心率的取值范圍是____________.?
【解析】設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),F(-c,0),直線PF:y=k(x+c).
因為P,Q滿足=2,所以y1=-2y2. ①
由得
(b2+a2k2)y2-2kcb2y-b4k2=0,
y1+y2=, ②
y1y2=, ③
由①②得y1=,y2=,
代入③得b2+a2k2=8
6、c2?8c2≥b2=a2-c2?9c2≥a2?≥,
所以橢圓C的離心率的取值范圍是.
答案:
7.設(shè)F1,F2為橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A,B兩點,若△F2AB是面積為4的等邊三角形,則橢圓C的方程為____________.?
【解析】由題意,知|AF2|=|BF2|=|AB|=|AF1|+|BF1| ①,
又由橢圓的定義知,|AF2|+|AF1|=|BF2|+|BF1|=2a?、?
聯(lián)立①②,解得|AF2|=|BF2|=|AB|=a,|AF1|=|BF1|=a,
所以=|AB||AF2|sin 60°=4,
所以a=3,|F1F2|
7、=|AB|=2,
所以c=,所以b2=a2-c2=6,
所以橢圓C的方程為+=1.
答案:+=1
8.已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,過點F的直線與拋物線C交于M,N兩點,且|MN|=8,則線段MN的中點到拋物線C的準線的距離為____________.?
【解析】分別過點M,N作拋物線C的準線的垂線,垂足分別為P,Q,由拋物線的定義知,|MP|=|MF|,|NQ|=|NF|,則|MP|+|NQ|=|MN|=8.
線段MN的中點到拋物線C的準線的距離為梯形MNQP的中位線的長度,即×(|MP|+|NQ|)=4.
答案:4
三、解答題(每小題10分,共30分)
8、
9.如圖,已知橢圓+=1(a>b>0)的右頂點和上頂點分別為A,B,|AB|=,離心率為.
(1)求橢圓的標準方程.
(2)過點A作斜率為k(k>0)的直線l與橢圓交于另外一點C,求△ABC面積的最大值,并求此時直線l的方程.
【解析】(1)由題意得
解得
所以,橢圓方程為+y2=1.
(2)kAB=-,
設(shè)與AB平行的橢圓的切線方程為y=-x+m,
聯(lián)立方程組得
消去y得x2-2mx+2m2-2=0, ①
Δ=4m2-4(2m2-2)=0,
解得m=±.
因為k>0,所以m=-.
代入到①中得x=-,代入到y(tǒng)=-x-得
y=-,
所以當取C的坐標是時,△
9、ABC的面積最大.
此時C點到AB的距離為d=,S△ABC=××=+1.
此時,直線l的方程是y=x-+1.
10.已知點M(1,m)在拋物線C:y2=2px(p>0)上,點M到拋物線C的焦點F的距離為.
(1)求m的值.
(2)若直線y=kx+2與x軸交于點N,與拋物線C交于A,B,且=2,求k的值.
【解析】(1)由已知:1+=,所以p=3.
所以拋物線方程:y2=6x,
把M(1,m)代入,得:m=±.
(2)由已知k≠0,N,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立消去x,得:ky2-6y+12=0,
由Δ=36-48k>0,得k<且k≠0,
且y1+y2=
10、?、?y1·y2=?、?
因為=2,
所以=.
即y1=2y2?、?
由①②③聯(lián)立可得:k=,滿足k<且k≠0,
所以,k=.
11.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左頂點為A(-2,0),且過點.
(1)求橢圓C的標準方程及離心率.
(2)若直線l:x=ty-1交橢圓C于P(x1,y1),Q(x2,y2).
①求證:y1y2=-;
②若△APQ的面積為,求t的值.
【解析】(1)由題意得:a=2,
又因為橢圓過點,
所以+=1,所以b=1.
因為c2=a2-b2,
所以c=,所以離心率e==,
所以橢圓C的標準方程為+y2=1.
(2)①由題意,聯(lián)立整理得:
11、(t2+4)y-2ty-3=0,
所以y1+y2=,y1y2=-,
所以y1y2=-成立.
②由題意得,直線l:x=ty-1恒過(-1,0).設(shè)直線l與x軸交于點M,則M(-1,0),
所以|AM|=1.
因為|y1-y2|=
=,
所以S△APQ=|AM|·|y1-y2|
==,
所以4t4+7t2-11=0,
所以t2=1,或t2=-(舍),
所以t=±1.
(20分鐘 20分)
1.(10分)雙曲線x2-=1(b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,直線l過F2且與雙曲線交于A,B兩點
(1)若l的傾斜角為,△F1AB是等邊三角形,求雙曲線的漸近線方程.
(2
12、)設(shè)b=,若l的斜率存在,且(+)·=0,求l的斜率.
【解析】(1)方法一:設(shè)A(xA,yA).由題意,F2(c,0),c=,=b2(c2-1)=b4,
因為△F1AB是等邊三角形,
所以2c=|yA|,即4(1+b2)=3b4,解得b2=2,
故雙曲線的漸近線方程為y=±x.
方法二:由題可知A(c,b2),因為△F1AB是等邊三角形,
所以tan 30°==.
即4(1+b2)=3b4,解得b2=2,
故雙曲線的漸近線方程為y=±x.
(2)由已知,b=,所以c2=1+b2=4,
所以F1(-2,0),F2(2,0).
由題意可得,直線l的方程為y=k(x-2),顯
13、然k≠0.
由得
(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0.
因為l與雙曲線交于兩點,所以k2-3≠0,且Δ=36(1+k2)>0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=,x1x2=.
方法一:設(shè)AB的中點為M(xM,yM).
由(+)·=0,即·=0,知F1M⊥AB,故·k=-1.
而xM==,
yM=k(xM-2)=,=,
所以·k=-1,得k2=,顯然符合題意,故l的斜率為±.
方法二:因為=(x1+2,y1),
=(x2+2,y2),=(x2-x1,y2-y1)
由(+)·=0得
(x1+x2+4)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=
14、0
整理得(1+k2)(x1+x2)+4-4k2=0,
即20k2=12 所以k2=,顯然符合題意,
故l的斜率為±.
2.(10分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的長軸長為4,焦距為2.
(1)求橢圓C的方程.
(2)過動點M(0,m)(m>0)的直線交x軸于點N,交C于點A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點.過點P作x軸的垂線交C于另一點Q,延長QM交C于點B.
①設(shè)直線PM,QM的斜率分別為k,k′,證明為定值.
②求直線AB的斜率的最小值.
【解題指南】(1)由長軸長為4,焦距為2,可得a=2,c=,方程易得.
(2)設(shè)出點P坐標,易得點Q坐標,表示出
15、直線PM,QM的斜率分別為k與k′,它們之比易得;借助上述關(guān)系可以方便計算直線AB的斜率,此外理清直線截距與斜率k之間的關(guān)系是解決問題的又一關(guān)鍵.
【解析】(1)由題意a=2,c=,所以b2=2,所以橢圓方程為+=1.
(2)①由題意,設(shè)P,
則Q(p,-2m),
②直線PA的斜率 k===,其中00.
將直線y=Kx+m與橢圓方程聯(lián)立,可得,x2+4Kmx+2m2-4=0.
設(shè)A,B,直線PA:y=kx+m,直線QB:y=-3kx+m,分別令K=k,K=-3k可得:x1p=,x2p=,
所以,kAB==
==
=≥(當且僅當k=時取等號).
所以,直線AB的斜率的最小值為.