2022屆高考數(shù)學二輪復習 專題一 三角函數(shù)及解三角形 課后綜合提升練 1.1.2 三角恒等變換與解三角形 文

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1、2022屆高考數(shù)學二輪復習 專題一 三角函數(shù)及解三角形 課后綜合提升練 1.1.2 三角恒等變換與解三角形 文 (40分鐘 70分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.若cos α=-,α是第三象限的角,則= (  ) A.3 B. - C. D. 【解析】選B.因為cos α=-,α是第三象限的角,所以sin α=-,則 ===-. 2.設(shè)a=2sincos,b=cos25°-sin25°,c=,則 (  ) A.a

2、=sin 80°,c=tan 60°=,函數(shù)y=sin x在區(qū)間上是增函數(shù),所以c=

3、 A.1 B. C. D.3 【解析】選C.設(shè)△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c.在△ABC中, tan(A+B)===1,即tan C=-1,所以C=135°,所以c=,因為 tan B>tan A,則角A所對的邊最小.由tan A=可知sin A=,由正弦定理=,得a=sin A·=×=. 5.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2ccos B=2a+b,若△ABC的面積S=c,則ab的最小值為 (  ) A. B. C. D.3 【解析】選B.由題意得2sin Ccos B=2sin A+sin B? 2sin Ccos

4、 B=2(sin Bcos C+cos Bsin C)+sin B?cos C=-, 所以S=absin C=ab=c?c=3ab. 因為cos C=,所以-=≥,解得ab≥, 當且僅當a=b=時,等號成立,即ab的最小值為. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.已知tan α=4,則=____________.? 【解析】===. 答案: 7.若tan α,tan β是方程x2+5x+6=0的兩個根,且α,β∈,則α+β=____________.? 【解析】因為tan α,tan β是方程x2+5x+6=0的兩個根,所以tan α+tan β=-5,tan α·tan

5、 β=6,所以tan α<0,tan β<0,所以tan(α+β)= ==1, 又因為α,β∈,所以α+β=-π. 答案:-π 8.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積,若c=2acos B, S=a2-c2,則C的大小為____________.? 【解析】因為c=2acos B,所以sin C=2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,所 以tan A=tan B,所以A=B,又因為S=a2-c2,所以sin C=-,由正弦定理得 sin C=1-,因為A=B,所以sin A=cos,所以sin C=cos C,所以C

6、=. 答案: 三、解答題(每小題10分,共30分) 9.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,△ABC的面積為S,已知a=2,b2+c2-4=4S,B>A,2sin Bsin C=cos A. (1)求A的值. (2)判斷△ABC的形狀并求△ABC的面積. 【解析】(1)因為b2+c2-4=4S,所以b2+c2-a2=4·bcsin A,由余弦定理得, cos A=sin A,所以tan A=,因為A∈(0,π),所以A=. (2)因為2sin Bsin C=cos A,A+B+C=π, 所以2sin Bsin C=-cos(B+C) =sin Bsin C-c

7、os Bcos C, 即sin Bsin C+cos Bcos C=0, cos(B-C)=0,所以B-C=或C-B=. (ⅰ)當B-C=時,由第(1)問知A=,所以B=,C=,所以△ABC是等腰三角形, S=acsin B=; (ⅱ)當C-B=時,由第(1)問知A=,所以C=,B=,又因為B>A,矛盾,舍去.綜上,△ABC是等腰三角形,其面積為. 10.已知在△ABC中,D是BC上的點,AD平分∠BAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍. (1)求. (2)若AD=1,DC=,求BD和AC的長. 【解析】(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD, S△ADC=AC·ADs

8、in∠CAD, 因為S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC, 在△ABC中,由正弦定理得:=,所以==. (2)設(shè)∠ADB=θ,則∠ADC=π-θ. 由(1)知==,所以c=2b①, 因為CD=,所以BD=, 在△ACD中,由余弦定理得, b2=1+-2×1×cos(π-θ), 即b2=+cos θ②, 在△ABD中,由余弦定理,c2=1+2-2×1×cos θ,即c2=3-2×cos θ③, 由①②③得b=1,故AC=1. 11.在銳角△ABC中,2sincos+2cos Bsin C=. (1)求角A. (2)若BC=,AC=2,求△ABC

9、的面積. 【解析】(1)因為2sincos+2cos Bsin C=, 所以sin(B-C)+2cos Bsin C=, 則sinB cos C-cos Bsin C+2cos Bsin C=sin(B+C)=,即sin A=, 由△ABC為銳角三角形得A=. (2)在△ABC中,a=BC,b=AC,a2=b2+c2-2bccos A,即7=4+c2-2×2c×,化簡得c2-2c-3=0,解得c=3(負根舍去), 所以S△ABC=bcsin A=. 【提分備選】 1.如圖所示,某鎮(zhèn)有一塊空地△OAB,其中OA=3 km,OB=3 km,∠AOB=90°.當?shù)劓?zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地

10、改造成一個旅游景點,擬在中間挖一個人工湖△OMN,其中M,N都在邊AB上,且∠MON=30°,挖出的泥土堆放在△OAM地帶上形成假山,剩下的△OBN地帶開設(shè)兒童游樂場. 為安全起見,需在△OAN的周圍安裝防護網(wǎng). (1)當AM=km時,求防護網(wǎng)的總長度. (2)若要求挖人工湖用地△OMN的面積是堆假山用地△OAM的面積的倍,試確定∠AOM的大小. (3)為節(jié)省投入資金,人工湖△OMN的面積要盡可能小,問如何設(shè)計施工方案,可使△OMN的面積最小?最小面積是多少? 【解析】(1)因為在△OAB中,OA=3,OB=3,∠AOB=90°,所以∠OAB=60°, 在△AOM中,OA=3,A

11、M=,∠OAM=60°, 由余弦定理,得OM=, 所以O(shè)M2+AM2=OA2,即OM⊥AN,所以∠AOM=30°, 所以△OAN為正三角形,所以△OAN的周長為9, 即防護網(wǎng)的總長度為9 km. (2)設(shè)∠AOM=θ(0°<θ<60°), 因為S△OMN=S△OAM, 所以O(shè)N·OMsin 30°=×OA·OMsin θ,即ON=6sin θ, 在△OAN中,由==, 得ON=, 從而6sin θ=,所以sin 2θ=, 所以θ=15°,即∠AOM=15°. (3)設(shè)∠AOM=α(0°<α<60°),由(2)知ON=,又在△AOM中,由=,得OM=, 所以S△OMN=

12、OM·ON·sin 30°= = =, 所以當且僅當2α+60°=90°,即α=15°時, △OMN的面積取最小值為 km2. 2.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足(2a-c)cos B=bcos C. (1)求B的大小. (2)如圖,AB=AC,在直線AC的右側(cè)取點D,使得AD=2CD=4.當角D為何值時,四邊形ABCD的面積最大? 【解析】(1)因為(2a-c)cos B=bcos C, 所以(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 所以2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C, 所以2sin

13、 Acos B=sin(B+C)=sin A, 因為sin A≠0, 所以cos B=, 所以B=. (2)因為AB=AC,B=, 所以△ABC為等邊三角形, 若四邊形ABCD面積最大, 則△ADC的面積最大, 設(shè)AC=x,在△ADC中,由余弦定理可得x2=AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos D=4+16-2× 2×4cos D, 所以cos D=, 所以sin D=,當x2=20,即x=2時,-(20-x2)2+162最大,即sin D最大,最大為1, 因為S△ADC=CD·AD·sin D=4sin D, 所以當D=時,S△ADC最大, 所以當D=時,

14、四邊形ABCD的面積最大. 3.已知△ABC為銳角三角形,若向量p=(2-2sin A,cos A+sin A)與向量q= (sin A-cos A,1+sin A)是共線向量. (1)求角A. (2)求函數(shù)y=2sin2B+cos的最大值. 【解析】(1)因為p,q共線,所以(2-2sin A)(1+sin A) =(cos A+sin A)(sin A-cos A), 則sin2A=. 又A為銳角,所以sin A=,則A=. (2)y=2sin2B+cos=2sin2B+cos=2sin2B+cos=1-cos 2B +cos 2B+sin 2B =sin 2B-cos

15、 2B+1=sin+1. 因為B∈,所以2B-∈,所以當2B-=即B=時, 函數(shù)y取得最大值,ymax=2. (20分鐘 20分) 1.(10分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知tan=2. (1)求的值. (2)若B=,a=3,求△ABC的面積. 【解析】(1)由tan=2,得tan A=. 所以==. (2)由tan A=,A∈(0,π), 得sin A=,cos A=. 又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3. 由sin C=sin(A+B)=sin,得sin C=, 設(shè)△ABC的面積為S,則S=absin C=9. 2.(10分)在

16、△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且+=. (1)證明:sin AsinB=sin C. (2)若b2+c2-a2=bc,求tan B. 【解析】(1)由正弦定理==,可知原式可以化解為+==1,因為A和B為三角形內(nèi)角,所以sin Asin B≠0, 則兩邊同時乘以sin Asin B,可得sin Bcos A+sin Acos B=sin Asin B, 由和角公式可知,sin Bcos A+sin Acos B=sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,原式得證. (2)由題b2+c2-a2=bc,根據(jù)余弦定理可知,cos A==. 因為A為三角形內(nèi)角,A∈(0,π),sin A>0,則sin A==,即=,由(1)可知+==1,所以==, 所以tan B=4.

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