2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 第六節(jié) 雙曲線課時作業(yè)

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 第六節(jié) 雙曲線課時作業(yè) 1．已知F為雙曲線C：x2－my2＝3m(m>0)的一個焦點，則點F到C的一條漸近線的距離為(　　) A.　　　　　　　　 B．3 C.m D．3m 解析：雙曲線方程為－＝1，焦點F到一條漸近線的距離為.選A. 答案：A 2．已知雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a＝(　　) A．2 B． C. D．1 解析：因為雙曲線的方程為－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.選D. 答案：D 3．雙曲線x2－4y2＝－1的漸近線方程為(　　) A．x±2y＝0 B．y±2x＝0 C

2、．x±4y＝0 D．y±4x＝0 解析：依題意，題中的雙曲線即－x2＝1，因此其漸近線方程是－x2＝0，即x±2y＝0，選A. 答案：A 4．已知雙曲線－y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上，且滿足|PF1|＋|PF2|＝2，則△PF1F2的面積為(　　) A．1 B． C. D． 解析：在雙曲線－y2＝1中，a＝，b＝1，c＝2.不防設(shè)P點在雙曲線的右支上，則有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2，∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－.又|F1F2|＝2c＝4，而|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，∴S△PF1

3、F2＝×|PF1|×|PF2|＝×(＋)×(－)＝1.故選A. 答案：A 5．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)，直線l：y＝2x－2.若直線l平行于雙曲線C的一條漸近線且經(jīng)過C的一個頂點，則雙曲線C的焦點到漸近線的距離為(　　) A．1 B．2 C. D．4 解析：根據(jù)題意，雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)，其焦點在x軸上，漸近線方程為y＝±x，又由直線l平行于雙曲線C的一條漸近線，可知＝2，直線l：y＝2x－2與x軸的交點坐標(biāo)為(1,0)，即雙曲線C的一個頂點坐標(biāo)為(1,0)，即a＝1，則b＝2a＝2，故雙曲線C的焦點到漸近線的距離為2，故選B. 答案：B 6

4、．已知雙曲線的焦點到漸近線的距離等于半實軸長，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：不妨設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，因為焦點F(c,0)到漸近線bx－ay＝0的距離為a，所以＝a，即＝a，所以＝1，所以該雙曲線的離心率e＝＝ ＝，故選C. 答案：C 7．已知雙曲線C：－＝1的離心率e＝，且其右焦點為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 解析：由題意得e＝＝，又右焦點為F2(5,0)，a2＋b2＝c2，所以a2＝16，b2＝9，故雙曲線C的方程為－＝1. 答案：C 8．已知雙

5、曲線－＝1(a>0，b>0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D．－＝1 解析：由題意得c＝，＝，則a＝2，b＝1，所以雙曲線的方程為－y2＝1. 答案：A 9．(2018·山西八校聯(lián)考)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，直線y＝(x＋c)與雙曲線的一個交點P滿足∠PF2F1＝2∠PF1F2，則雙曲線的離心率e為(　　) A. B． C．2＋1 D．＋1 解析：∵直線y＝(x＋c)過左焦點F1，且其傾斜角為30°，∴∠PF1F2＝30

6、°，∠PF2F1＝60°，∴∠F2PF1＝90°，即F1P⊥F2P.∴|PF2|＝|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|sin 60°＝c，由雙曲線的定義得2a＝|PF1|－|PF2|＝c－c，∴雙曲線C的離心率e＝＝＝＋1，選D. 答案：D 10．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是雙曲線C上一點，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是(　　) A.x±y＝0 B．x±y＝0 C．2x±y＝0 D．x±2y＝0 解析：不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，則 所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2

7、a，且|F1F2|＝2c，即|PF2|為最小邊，即∠PF1F2＝30°，則△PF1F2為直角三角形，所以2c＝2a，所以b＝a，即漸近線方程為y＝±x，故選A. 答案：A 11．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的焦距為10，點P(2,1)在C的一條漸近線上，則C的方程為(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 解析：依題意，解得， ∴雙曲線C的方程為－＝1. 答案：A 12．已知雙曲線過點(4，)，且漸近線方程為y＝±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 解析：法一：因為雙曲線過點(4，)且漸近線方程為y＝±x，故點(4，)在直線y＝x的下方

8、．設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)，所以，解得故雙曲線方程為－y2＝1. 法二：因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x，故可設(shè)雙曲線為－y2＝λ(λ≠0)，又雙曲線過點(4，)，所以－()2＝λ，所以λ＝1，故雙曲線方程為－y2＝1. 答案：－y2＝1 13．雙曲線Γ：－＝1(a>0，b>0)的焦距為10，焦點到漸近線的距離為3，則Γ的實軸長等于________． 解析：雙曲線的焦點(0,5)到漸近線y＝x，即ax－by＝0的距離為＝＝b＝3，所以a＝4,2a＝8. 答案：8 14．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)與橢圓＋＝1有相同的焦點，且雙曲線C的漸近線方程為y＝

9、±2x，則雙曲線C的方程為________． 解析：易得橢圓的焦點為(－，0)，(，0)， ∴∴a2＝1，b2＝4， ∴雙曲線C的方程為x2－＝1. 答案：x2－＝1 15．(2018·合肥市質(zhì)檢)雙曲線M：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線x＝a與雙曲線M的漸近線交于點P，若sin∠PF1F2＝，則該雙曲線的離心率為________． 解析：不妨設(shè)P為直線x＝a與雙曲線M的漸近線在第一象限內(nèi)的交點，則P點坐標(biāo)為(a，b)，因為sin∠PF1F2＝，所以|PF1|＝3b，所以(a＋c)2＋b2＝9b2，即9a2＋2ac－7c2＝0,7e2－2e－9＝0，又e

10、>1，解得e＝. 答案： B組——能力提升練 1．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，若在雙曲線上存在點P滿足2|＋|≤||，則雙曲線的離心率的取值范圍是(　　) A．(1，] B．(1,2] C．[，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：∵2|＋|≤||?4||≤2c?||≤，又||≥a，∴a≤，即c≥2a，∴e＝≥2.故選D. 答案：D 2．若實數(shù)k滿足0

11、焦距相等． 答案：D 3．(2018·云南五市聯(lián)考)設(shè)P為雙曲線x2－＝1右支上一點，M，N分別是圓(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的點，設(shè)|PM|－|PN|的最大值和最小值分別為m，n，則|m－n|＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：易知雙曲線的兩個焦點分別為F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，恰為兩個圓的圓心，兩個圓的半徑分別為2,1，所以|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值為(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝(|PF1|－|PF2|)＋3＝5，同理|PM|－|PN|的最小值為(|PF1

12、|－2)－(|PF2|＋1)＝(|PF1|－|PF2|)－3＝－1，所以|m－n|＝6，故選C. 答案：C 4．(2018·江南十校聯(lián)考)已知l是雙曲線C：－＝1的一條漸近線，P是l上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是C的左、右焦點，若·＝0，則點P到x軸的距離為(　　) A. B． C．2 D． 解析：由題意知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，不妨設(shè)l的方程為y＝x，點P(x0，x0)，由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故點P到x軸的距離為|x0|＝2，故選C. 答案：C 5．已知雙曲線－＝1(b>0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與

13、雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 解析：根據(jù)圓和雙曲線的對稱性，可知四邊形ABCD為矩形．雙曲線的漸近線方程為y＝±x，圓的方程為x2＋y2＝4，不妨設(shè)交點A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四邊形ABCD的面積為4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的雙曲線方程為－＝1，選D. 答案：D 6．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(3,4)，則此雙曲線的方程為(　　)

14、 A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 解析：因為以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(3,4)，所以c＝5，＝，又c2＝a2＋b2，所以a＝3，b＝4，所以此雙曲線的方程為－＝1. 答案：C 7．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為點A，與另一條漸近線交于點B，若＝2，則此雙曲線的離心率為(　　) A. B． C．2 D． 解析：不妨設(shè)B(x，－x)，|OB|＝＝c，可取B(－a，b)，由題意可知點A為BF的中點，所以A(，)，又點A在直線y＝x上，則·＝，c＝2a，e＝2. 答案：C 8．若直線l1和直線

15、l2相交于一點，將直線l1繞該點逆時針旋轉(zhuǎn)到與l2第一次重合時所轉(zhuǎn)的角為θ，則角θ就稱為l1到l2的角，tan θ＝，其中k1，k2分別是l1，l2的斜率，已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，A是右頂點，P是直線x＝上的一點，e是雙曲線的離心率，直線PA到PF的角為θ，則tan θ的最大值為(　　) A. B． C. D． 解析：設(shè)PA，PF的斜率分別為k3，k4，由題意可知tan θ＝，不妨設(shè)P(，y)(y>0)，則k3＝，k4＝.令m＝－a，n＝－c，則tan θ＝＝，由m－n＝c－a>0，得當(dāng)＋y取得最小值時tan θ取最大值，又y>0，m<0，n<0，所以＋y

16、≥2，當(dāng)且僅當(dāng)y＝時等號成立，此時tan θ＝＝＝，故選C. 答案：C 9．(2018·淄博模擬)過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F1，作圓x2＋y2＝a2的切線交雙曲線的右支于點P，切點為T，PF1的中點M在第一象限，則以下結(jié)論正確的是(　　) A．b－a＝|MO|－|MT| B．b－a>|MO|－|MT| C．b－a<|MO|－|MT| D．b－a＝|MO|＋|MT| 解析：如圖，連接OT，則OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|＝＝b，連接PF2， ∵M(jìn)為線段F1P的中點，O為F1F2的中點， ∴|OM|＝|PF2|， ∴|MO|－|MT|＝|P

17、F2|－＝(|PF2|－|PF1|)＋b＝×(－2a)＋b＝b－a，故選A. 答案：A 10．(2018·昆明市檢測)已知點F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個焦點，以點F為圓心的圓與C的漸近線相切，且與C交于A，B兩點，若AF⊥x軸，則C的離心率為________． 解析：不妨設(shè)F為雙曲線的右焦點，則F(c,0)，易知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則雙曲線的焦點F到漸近線的距離d＝＝b，所以圓F的半徑為b.在雙曲線方程中，令x＝c，得y＝±，所以A(c，±)．因為點A在圓F上，所以＝b，即a＝b，所以c＝＝a，所以e＝＝. 答案： 11．雙曲線－＝1(a>0，b>0)上一點

18、M(－3,4)關(guān)于一條漸近線的對稱點恰為右焦點F2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________． 解析：不妨設(shè)雙曲線－＝1的右焦點F2(c,0)關(guān)于漸近線y＝x對稱的點在雙曲線上， 則過焦點F2且垂直于該漸近線的直線方程為y－0＝－(x－c)， 即y＝－(x－c)． 聯(lián)立可得方程組 解得 由中點坐標(biāo)公式可得F2關(guān)于漸近線對稱的點的坐標(biāo)為(－c，)， 將其代入雙曲線的方程可得－＝1，化簡可得c2＝5a2，c2＝a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2.因為M(－3,4)在雙曲線－＝1上，所以－＝1，－＝1，所以a2＝5，b2＝20，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 答案：－＝1

19、 12．設(shè)雙曲線x2－＝1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2.若點P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是______． 解析：由題意不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，現(xiàn)考慮兩種極限情況：當(dāng)PF2⊥x軸時，|PF1|＋|PF2|有最大值8；當(dāng)∠P為直角時，|PF1|＋|PF2|有最小值2.因為△F1PF2為銳角三角形，所以|PF1|＋|PF2|的取值范圍為(2，8)． 答案：(2，8) 13．(2018·沈陽質(zhì)量監(jiān)測)已知P是雙曲線－y2＝1上任意一點，過點P分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A，B，則·的值是________． 解析：設(shè)P(x0，y0)，因為該雙曲線的漸近線分別是－y＝0，＋y＝0，所以可取|PA|＝，|PB|＝，又cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos2∠AOx＝－cos ＝－，所以·＝||·||·cos∠APB＝·(－)＝×(－)＝－. 答案：－