浙江省2022年中考數(shù)學(xué) 第四單元 三角形 課時(shí)訓(xùn)練21 相似三角形的應(yīng)用練習(xí) （新版）浙教版

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1、浙江省2022年中考數(shù)學(xué) 第四單元 三角形 課時(shí)訓(xùn)練21 相似三角形的應(yīng)用練習(xí) （新版）浙教版 1.[xx·長(zhǎng)春] 《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作,成書于約一千五百年前,其中有首歌謠:今有竿不知其長(zhǎng),量得影長(zhǎng)一丈五尺,立一標(biāo)桿,長(zhǎng)一尺五寸,影長(zhǎng)五寸,問竿長(zhǎng)幾何?意即:有一根竹竿不知道有多長(zhǎng),量出它在太陽下的影子長(zhǎng)一丈五尺,同時(shí)立一根一尺五寸的小標(biāo)桿,它的影長(zhǎng)五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),則竹竿的長(zhǎng)為 (　　) 圖K21-1 A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺 2.[xx·蘭州] 如圖K21-2,小明為了測(cè)量一涼亭的高度AB(頂端A到水平地面BD的

2、距離),在涼亭的旁邊放置一個(gè)與涼亭臺(tái)階BC等高的臺(tái)階DE(DE=BC=0.5米,A,B,C三點(diǎn)共線),把一面鏡子水平放置在平臺(tái)上的點(diǎn)G處,測(cè)得CG=15米,然后沿直線CG后退到點(diǎn)E處,這時(shí)恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹薃,測(cè)得EG=3米,小明身高EF=1.6米,則涼亭的高度AB約為(　　) 圖K21-2 A.8.5米 B.9米 C.9.5米 D.10米 3.[xx·綿陽] 為測(cè)量操場(chǎng)上旗桿的高度,小麗同學(xué)想到了物理學(xué)中平面鏡成像的原理,她拿出隨身攜帶的鏡子和卷尺,先將鏡子放在腳下的地面上,然后后退,直到她站直身子剛好能從鏡子里看到旗桿的頂端E,標(biāo)記好腳掌中心位置為B,測(cè)得腳掌

3、中心位置B到鏡面中心C的距離是50 cm,鏡面中心C距離旗桿底部D的距離為4 m,如圖K21-3所示.已知小麗同學(xué)的身高是1.54 m,眼睛位置A距離小麗頭頂?shù)木嚯x是4 cm,則旗桿DE的高度等于 (　　) 圖K21-3 A.10 m B.12 m C.12.4 m D.12.32 m 4.[xx·濰坊] 在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(m,n)是線段AB上一點(diǎn),以原點(diǎn)O為位似中心把△AOB放大到原來的兩倍,則點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 (　　) A.(2m,2n) B.(2m,2n)或(-2m,-2n) C.(m,n) D.(m,n)或(-m,-n) 5.如圖K21-4,以

4、點(diǎn)O為支點(diǎn)的杠桿,在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起,當(dāng)杠桿OA水平時(shí),拉力為F,當(dāng)杠桿被拉至OA1時(shí),拉力為F1,過點(diǎn)B1作B1C⊥OA,過點(diǎn)A1作A1D⊥OA,垂足分別為C,D.給出下列四個(gè)結(jié)論:①△OB1C∽△OA1D;②OA·OC=OB·OD;③OC·G=OD·F1;④F=F1.其中正確結(jié)論有 (　　) 圖K21-4 A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 6.如圖K21-5,數(shù)學(xué)活動(dòng)小組為了測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度,使用長(zhǎng)為2 m的竹竿作為測(cè)量工具,移動(dòng)竹竿,使竹竿頂端的影子與旗桿頂端的影子在地面O處重合,測(cè)得OD=4 m,BD=14 m,則旗桿AB的高為　　

5、　　m.? 圖K21-5 7.[xx·岳陽] 《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,書中有下列問題:“今有勾五步,股十二步,問勾中容方幾何?”其意思為:“今有直角三角形,勾(短直角邊)長(zhǎng)為5步,股(長(zhǎng)直角邊)長(zhǎng)為12步,問該直角三角形能容納的正方形邊長(zhǎng)最大是多少步?”該問題的答案是　　　　步.? 圖K21-6 8.[xx·涼山州] 如圖K21-7,若要在寬AD為20米的城南大道兩邊安裝路燈,路燈的燈臂BC長(zhǎng)2米,且與燈柱AB成120°角,路燈采用圓錐形燈罩,燈罩的軸線CO與燈臂BC垂直,當(dāng)燈罩的軸線CO通過公路路面的中心線時(shí)照明效果最好,此時(shí)路燈的燈柱AB高應(yīng)該設(shè)計(jì)為多少米?(結(jié)果保

6、留根號(hào)) 圖K21-7 9.課本中有一道作業(yè)題:如圖K21-8①,有一塊三角形余料ABC,它的邊BC=120 mm,高AD=80 mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一邊在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB,AC上.問加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)為多少? 小穎解得此題的答案為48 mm.小穎善于反思,她又提出了如下的問題. (1)如果原題中所要加工的零件是一個(gè)矩形,且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成,如圖②,此時(shí)這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)分別是多少? (2)如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形,如圖③,這樣,此矩形零件的兩條邊長(zhǎng)就不能確定,但這個(gè)矩形的面積有最

7、大值,求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩條邊長(zhǎng). 圖K21-8 |拓展提升| 10.[xx·寧波] 若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積,我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形. (1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的AC的長(zhǎng); (2)如圖K21-9①,在四邊形ABCD中,AD∥BC,對(duì)角線BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC,求證:△ABC是比例三角形; (3)如圖②,在(2)的條件下,當(dāng)∠ADC=90°時(shí),求的值. 圖K21-9 參考答案 1.B 2.A　[解析] 由題意得∠AGC=∠FGE,

8、 ∵∠ACG=∠FEG=90°, ∴△FEG∽△ACG, ∴=,∴=, ∴AC=8,∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5(米). 故選A. 3.B　[解析] 由題意可得,AB=1.5 m,BC=0.5 m,DC=4 m.易得△ABC∽△EDC,則=, 即=,解得DE=12 m. 故選B. 4.B　[解析] 當(dāng)放大后的△A'OB'與△AOB在原點(diǎn)O同側(cè)時(shí),點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2m,2n);當(dāng)放大后的△A'OB'與△AOB在原點(diǎn)O兩側(cè)時(shí),點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2m,-2n),故選B. 5.D 6.9　[解析] 由題意可知,CD=2 m,△COD∽△AOB,OB=OD+BD=1

9、8(m),∴=,即AB===9(m). 7.　[解析] 如圖①,∵四邊形CDEF是正方形,∴CD=ED=CF.設(shè)ED=x,則CD=x,AD=12-x.∵DE∥CF,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∴△ADE∽△ACB, ∴=,∴=,∴x=. 如圖②,四邊形DGFE是正方形,過C作CP⊥AB于P,交DG于Q,設(shè)ED=y,S△ABC=AC·BC=AB·CP,則12×5=13CP,CP=,同理得:△CDG∽△CAB,∴=,∴=,y=<,∴該直角三角形能容納的正方形邊長(zhǎng)最大是步,故答案為:. 8.解:如圖,延長(zhǎng)OC,AB交于點(diǎn)P. ∵∠ABC=120°,∴∠PBC=60°. ∵∠

10、OCB=∠A=90°,∴∠P=30°. ∵AD=20米, ∴OA=AD=10米. ∵BC=2米, ∴在Rt△CPB中,PC=BC·tan 60°=2(米), PB=2BC=4米. ∵∠P=∠P,∠PCB=∠A,∴△PCB∽△PAO, ∴=,∴PA===10(米), ∴AB=PA-PB=(10-4)米. 故路燈的燈柱AB高應(yīng)該設(shè)計(jì)為(10-4)米. 9.解:(1)∵四邊形PNMQ是矩形, ∴PN∥QM,∴△APN∽△ABC,∴=. 設(shè)PQ=ED=x,則PN=2x,AE=80-x, ∴=,解得x=,2x=, 即矩形零件的兩邊長(zhǎng)分別是 mm和 mm. (2)∵四邊形PN

11、MQ是矩形, ∴PN∥QM,∴△APN∽△ABC, ∴=.設(shè)PQ=ED=x,則=, 即PN=·120=. ∴S矩形PNMQ=PN·PQ=·x=-x2+120x=-(x-40)2+2400, ∴當(dāng)x=40時(shí),S矩形PNMQ有最大值2400, 此時(shí)PN==60(mm). ∴這個(gè)矩形的面積達(dá)到最大值時(shí)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)分別為40 mm和60 mm. 10.解:(1)或或. (2)證明:∵AD∥BC,∴∠ACB=∠CAD. 又∵∠BAC=∠ADC, ∴△ABC∽△DCA, ∴=,即CA2=BC·AD. ∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD. ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD, ∴∠ADB=∠ABD, ∴AB=AD,∴CA2=BC·AB, ∴△ABC是比例三角形. (3)如圖所示,過點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H. ∵AB=AD,∴BH=BD. ∵AD∥BC,∠ADC=90°, ∴∠BCD=90°,∴∠BHA=∠BCD=90°. ∵∠ABH=∠DBC, ∴△ABH∽△DBC,∴=, ∴AB·BC=BD·BH, ∴AB·BC=BD2. 又∵AB·BC=AC2, ∴BD2=AC2,∴=.