2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課堂達(dá)標(biāo)46 圓錐曲線的綜合問題 文 新人教版

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課堂達(dá)標(biāo)46 圓錐曲線的綜合問題 文 新人教版 1．已知點(diǎn)A(0,2)和雙曲線x2－＝1，過點(diǎn)A與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)為(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 [解析]　設(shè)過點(diǎn)A(0,2)的直線為y＝kx＋2.由得(4－k2)x2－4kx－8＝0.當(dāng)k2＝4即k＝±2時(shí)，方程只有一解，即只有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)k2≠4，方程有一解時(shí)Δ＝(－4k)2－4×(4－k2)×(－8)＝0，∴k2＝8，∴k＝±2，為切線斜率，共有4條直線．故選D. [答案]　D 2．(2018·嘉定模擬)過點(diǎn)P(1,1)作直線與雙曲線x2

2、－＝1交于A，B兩點(diǎn)，使點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，則這樣的直線(　　) A．存在一條，且方程為2x－y－1＝0 B．存在無數(shù)條 C．存在兩條，方程為2x±(y＋1)＝0 D．不存在 [解析]　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，則x－y＝1，x－y＝1， 兩式相減得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，所以x1－x2＝(y1－y2)，即kAB＝2，故所求直線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 聯(lián)立可得2x2－4x＋3＝0，但此方程沒有實(shí)數(shù)解，故這樣的直線不存在．故選D. [答案]　D 3．若直線y＝kx＋2與雙

3、曲線x2－y2＝6的右支交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍是(　　) A. B. C. D. [解析]　由得(1－k2)x2－4kx－10＝0. 設(shè)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)A(x1，y1)， B(x2，y2)，則解得－

4、a2－50)＝0，設(shè)直線y＝3x－2與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 由根與系數(shù)關(guān)系得x1＋x2＝，由題意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，所以該橢圓方程為＋＝1. [答案]　C 5．已知F為拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為1的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則||FA|－|FB||的值為(　　) A．4 B．8 C．8 D．16 [解析]　依題意知F(2,0)，所以直線l的方程為y＝x－2， 聯(lián)立方程，得消去y得x2－12x＋4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝4，x1＋x2＝12， 則||FA|－|FB||＝|(

5、x1＋2)－(x2＋2)|＝|x1－x2|＝＝＝8. [答案]　C 6．經(jīng)過橢圓＋y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A，B兩點(diǎn)．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則·等于(　　) A．－3 B．－ C．－或－3 D．± [解析]　依題意，當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)(1,0)時(shí)，其方程為y－0＝tan 45°(x－1)， 即y＝x－1，代入橢圓方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，－1)，，∴·＝－，同理，直線l經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)時(shí)，也可得·＝－. [答案]　B 7．已知雙曲線x2－＝1上存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線y＝x＋m對(duì)稱，且MN

6、的中點(diǎn)在拋物線y2＝18x上，則實(shí)數(shù)m的值為______． [解析]　設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)P(x0，y0)，則 由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，顯然x1≠x2. ∴·＝3， 即kMN·＝3， ∵M(jìn)，N關(guān)于直線y＝x＋m對(duì)稱， ∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0，又∵y0＝x0＋m， ∴P， 代入拋物線方程得m2＝18·， 解得m＝0或－8，經(jīng)檢驗(yàn)都符合． [答案]　0或－8 8．(2018·東北三省聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)(，0)為其右焦點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為2

7、.則橢圓C的方程為______． [解析]　由題意得解得 ∴橢圓C的方程為＋＝1. [答案]　＋＝1 9．(2018·蘭州、張掖聯(lián)考)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程是______． [解析]　如圖，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線AE，BD，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，則|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，又|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，根據(jù)題意得p＝， ∴拋物線的方程是y2＝3x. [答案]

8、　y2＝3x 10．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率為.直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N. (1)求橢圓C的方程； (2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí)，求k的值． [解]　(1)由題意得解得b＝， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)由 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝＝＝. 又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線y＝k(x－1)的距離d＝， 所以△AMN的面積為 S＝|MN|·

9、d＝，由＝，解得k＝±1. [B能力提升練] 1．(2018·河南洛陽統(tǒng)考)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)斜率為1的直線過雙曲線C的左焦點(diǎn)且與該雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若＋與向量n＝(－3，－1)共線，則雙曲線C的離心率為(　　) A. B. C. D．3 [解析]　由題意得直線方程為y＝x＋c，代入雙曲線的方程并整理可得(b2－a2)x2－2a2cx－a2c2－a2b2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，y1＋y2＝x1＋x2＋2c＝， ∴＋＝， 又∵＋與向量n＝(－3，－1)共線， ∴＝3·，∴a2＝3b2， 又c2＝a2＋b2，

10、∴e＝＝. [答案]　B 2．(2018·麗水一模)斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為(　　) A．2 B. C. D. [解析]　設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為y＝x＋t， 由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0. 則x1＋x2＝－t，x1x2＝. ∴|AB|＝|x1－x2| ＝· ＝· ＝·， 當(dāng)t＝0時(shí)，|AB|max＝. [答案]　C 3．如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a，b(a0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點(diǎn)，則＝

11、______. [解析]　由正方形的定義可知BC＝CD，結(jié)合拋物線的定義得點(diǎn)D為拋物線的焦點(diǎn)，所以|AD|＝p＝a，D(，0)，F(xiàn)(＋b，b)，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線的方程得b2＝2p(＋b)＝a2＋2ab，變形得()2－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以＝1＋. [答案]　1＋ 4．已知雙曲線C：x2－＝1，直線y＝－2x＋m與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)(A在B的上方)，且與y軸交于點(diǎn)M，則的取值范圍為______． [解析]　由 可得x2－4mx＋m2＋3＝0， 由題意得方程在[1，＋∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)根， 設(shè)f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，則得m>1，

12、 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x11得，的取值范圍為(1,7＋4)． [答案]　(1,7＋4) 5．設(shè)拋物線過定點(diǎn)A(－1,0)，且以直線x＝1為準(zhǔn)線． (1)求拋物線頂點(diǎn)的軌跡C的方程； (2)若直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN恰被直線x＝－平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為y＝kx＋m，試求m的取值范圍． [解]　(1)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為P(x，y)， 則焦點(diǎn)F(2x－1，y)． 再根據(jù)拋物線的定義得|AF|＝2，即(2x)2＋y2＝4， 所以軌跡C的方程為x2＋＝1. (

13、2)設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P，M(xM，yM)， N(xN，yN)， 則由點(diǎn)M，N為橢圓C上的點(diǎn)，可知 兩式相減，得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0， 將xM＋xN＝2×＝－1，yM＋yN＝2y0，＝－代入上式得k＝－. 又點(diǎn)P在弦MN的垂直平分線上，所以y0＝－k＋m.所以m＝y(tǒng)0＋k＝y(tǒng)0. 由點(diǎn)P在線段BB′上， 所以yB′

14、 (1)求頂點(diǎn)C的軌跡λ的方程，并判斷軌跡λ為何種曲線； (2)當(dāng)m＝－時(shí)，設(shè)點(diǎn)P(0,1)，過點(diǎn)P作直線l與曲線λ交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且＝，求直線l的方程． [解]　(1)令C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)， 則直線AC的斜率k1＝， 直線BC的斜率k2＝， 所以有k1k2＝·＝＝m， 化簡(jiǎn)得，－x2＋＝1(x≠0)． 所以當(dāng)m＝－1時(shí)，λ表示以(0,0)為圓心，為半徑的圓， 且除去(0，－)，(0，)兩點(diǎn)； 當(dāng)m＜－1時(shí)，軌跡λ表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓， 且除去(0，－)，(0，)兩點(diǎn)；當(dāng)－1＜m＜0時(shí)， 軌跡λ表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓， 且除去(0，－)，(0，)兩點(diǎn)； 當(dāng)m＞0時(shí)，軌跡λ表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線， 且除去(0，－)，(0，)兩點(diǎn)． (2)由題意知當(dāng)m＝－時(shí)曲線C為＋＝1(x≠0)， 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意． 設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1， 代入橢圓方程整理得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0. 設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)， 由＝得，x1＝－3x2. 由韋達(dá)定理得x1＋x2＝，x1x2＝， 所以x2＝，x＝，消去x2， 解得k＝±， 所以直線l的方程為y＝±x＋1.