2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 3.1.1 數(shù)學(xué)歸納法原理導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5

《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 3.1.1 數(shù)學(xué)歸納法原理導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 3.1.1 數(shù)學(xué)歸納法原理導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、3.1.1　數(shù)學(xué)歸納法原理 1.理解歸納法和數(shù)學(xué)歸納法原理. 2.會用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題. 自學(xué)導(dǎo)引 1.由有限多個個別的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常稱為歸納法. 2.一般地，當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟： (1)證明當(dāng)n取初始值n0時命題成立； (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時命題成立，證明n＝k＋1時命題也成立. 在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于從初始值n0開始的所有自然數(shù)都正確.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法. 基礎(chǔ)自測 1.設(shè)f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A

2、. B. C.＋ D.－ 解析　f(n)＝＋＋＋…＋ f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋ ∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－，選D. 答案　D 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)時，從“k到k＋1”左邊需增乘的代數(shù)式是(　　) A.2k＋1 B. C.2(2k＋1) D. 解析　n＝k時，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2n－1). n＝k＋1時，(k＋2)…(k＋k)·(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1). ∴增乘的代數(shù)式是＝2(2k＋1)，選C. 答案　C 3.數(shù)列{an}中，已知a1＝1，當(dāng)n≥

3、2時，an＝an－1＋2n－1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達式是________. 解析　a1＝1，a2＝a1＋3＝4，a3＝4＋5＝9，a4＝9＋7＝16，猜想an＝n2. 答案　an＝n2 知識點1　利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 【例1】 通過計算下面的式子，猜想出－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)的結(jié)果，并加以證明. －1＋3＝________；－1＋3－5＝________； －1＋3－5＋7＝________；－1＋3－5＋7－9＝________. 解　上面四個式子的結(jié)果分別是2，－3，4，－5， 由此猜想：－1＋3－5＋…＋(－1)n

4、(2n－1)＝(－1)nn 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝1時，式子左右兩邊都等于－1，即這時等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時等式成立，即 －1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＝(－1)kk 當(dāng)n＝k＋1時， －1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＋(－1)k＋1(2k＋1) ＝(－1)kk＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(－k＋2k＋1) ＝(－1)k＋1(k＋1). 即n＝k＋1時，命題成立. 由(1)(2)知，命題對于n∈N*都成立. ●反思感悟：用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式命題關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，

5、等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān).由n＝k到n＝k＋1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項. 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 證明　(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1－＝，右邊＝，命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k (k≥1)時命題成立，即 1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋， 那么當(dāng)n＝k＋1時， 左邊＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋. 上式表明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立.由(1)和(2)知，命題對一切自然數(shù)均成立. 【例2】 證明＋＋＋…＋＋＝1－(其中n∈N*)成立的過程如下，請判斷證明是否正確？為什么？ 證明：(1)當(dāng)n＝

6、1時，左邊＝，右邊＝1－＝. ∴當(dāng)n＝1時，等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k (k≥1)時，等式成立，即 ＋＋＋…＋＋＝1－， 那么當(dāng)n＝k＋1時， 左邊＝＋＋＋…＋＋＋ ＝＝1－＝右邊. 這就是說，當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立. 根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何n∈N*都成立. 解　不正確，錯誤的原因在第(2)步，它是直接利用等比數(shù)列的求和公式求出了當(dāng)n＝k＋1時，式子＋＋＋…＋＋＋的和，而沒有利用“歸納假設(shè)”. 正確的證明如下： (1)當(dāng)n＝1時，左邊＝，右邊＝1－＝，等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k (k∈N*，k≥2)時，等式成立，就是 ＋＋＋…＋＋＝1－，

7、那么當(dāng)n＝k＋1時， 左邊＝＋＋＋…＋＋＋ ＝1－＋＝1－＝1－＝右邊. 這就是說，當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立. 根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任意n∈N*都成立. ●反思感悟：在推證“n＝k＋1”命題也成立時，必須把“歸納假設(shè)”n＝k時的命題，作為必備條件使用上，否則不是數(shù)學(xué)歸納法.對項數(shù)估算的錯誤，特別是尋找n＝k與n＝k＋1的關(guān)系時，項數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯是常見錯誤. 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明： …＝ (n≥2). 證明　(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝1－＝， 右邊＝＝，等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k (k∈N*，k≥2)時，等式成立， 即…＝ 則當(dāng)n＝k＋1時， …

8、 ＝＝·＝， 即n＝k＋1時，等式成立. 由(1)(2)知，對于任意正整數(shù)n(n≥2)，原等式成立. 知識點2　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 【例3】 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1＋＋＋…＋<2－ (n≥2). 證明　(1)當(dāng)n＝2時，1＋＝<2－＝，命題成立. (2)假設(shè)n＝k (k∈N*，k≥2)時命題成立， 即1＋＋＋…＋<2－， 當(dāng)n＝k＋1時，1＋＋＋…＋＋ <2－＋ <2－＋＝2－＋－ ＝2－，命題成立. 由(1)、(2)知原不等式在n≥2時均成立. ●反思感悟：(1)由n＝k到n＝k＋1時的推證過程中應(yīng)用了“放縮”的技巧，使問題簡單化，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等

9、式時常用的方法之一. (2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等. 3.求證：1＋＋＋…＋≥ (n∈N*). 證明　(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝1， ∴左邊≥右邊，即命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時，命題成立， 即1＋＋＋…＋≥. 那么當(dāng)n＝k＋1時， 1＋＋＋…＋＋≥＋ ＝＋≥＋ ＝＝＝＝. 由(1)(2)知原不等式在n∈N*時均成立. 課堂小結(jié) 1.數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可，只完成步驟(1)而缺少步驟(2)就可能得出不正確的結(jié)論，因為單靠(1)無法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)時命題是否正確無法判斷

10、.同樣只有步驟(2)而沒有步驟(1)也可能得出不正確的結(jié)論.因為缺少(1)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟(2)也就沒有意義了. 2.數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵是第二步，此處要搞清兩點： (1)當(dāng)n＝k＋1時，證明什么，即待證式子的兩端發(fā)生了哪些變化. (2)由n＝k推證n＝k＋1時，可以綜合應(yīng)用以前學(xué)過的定義、定理、公式、方法等來進行證明，只不過必須得把n＝k時的結(jié)論作為條件應(yīng)用上. 隨堂演練 1.在用數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時，第一步應(yīng)驗證(　　) A.n＝1成立 B.n＝2成立 C.n＝3成立 D.n＝4成立 解析　因為多邊形邊數(shù)最少的是三角形，故應(yīng)選C. 答案　C

11、 2.設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，則f(n＋1)－f(n)等于(　　) A. B.＋ C.＋ D.＋＋ 解析　f(n)＝1＋＋＋…＋. f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋. ∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋，應(yīng)選D. 答案　D 3.已知a1＝，an＋1＝，n∈N*，求證：an<2. 證明　(1)n＝1時，∵a1＝，∴a1<2. (2)設(shè)n＝k (k≥1)時，ak<2， 當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1＝<＝2. 故n＝k＋1時，命題成立. 由(1)(2)知，n∈N*時，an<2都成立. 基礎(chǔ)達標(biāo) 1.滿足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1

12、)＝3n2－3n＋2的自然數(shù)n＝(　　) A.1 B.1或2 C.1，2，3 D.1，2，3，4 解析　經(jīng)驗證當(dāng)n＝1，2，3時均正確，但當(dāng)n＝4時，左邊＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，而右邊＝3×42－3×4＋2＝38，故選C. 答案　C 2.一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n＝2時命題成立，且由n＝k時命題成立推得n＝k＋2時命題也成立則(　　) A.該命題對于n>2的自然數(shù)n都成立 B.該命題對于所有的正偶數(shù)都成立 C.該命題何時成立與k取什么值無關(guān) D.以上答案都不對 解析　由題意n＝2時成立可推得n＝4，6，8…都成立，因此所有正偶數(shù)都成立，故選B. 答

13、案　B 3.某個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果當(dāng)n＝k (k∈N*且k≥1)時該命題成立，則一定可推得當(dāng)n＝k＋1時該命題也成立，現(xiàn)已知n＝5時該命題不成立，那么應(yīng)有(　　) A.當(dāng)n＝4時該命題成立 B.當(dāng)n＝6時該命題成立 C.當(dāng)n＝4時該命題不成立 D.當(dāng)n＝6時該命題不成立 答案　C 4.在數(shù)列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an.通過求a2，a3，a4猜想an的表達式是________. 解析　＋a2＝2(2×2－1)a2，a2＝， ＋＋a3＝3(2×3－1)a3，a3＝， ＋＋＋a4＝4(2×4－1)a4，a4＝， 猜想an＝. 答案　an＝ 5.觀

14、察下列等式 1＝1， 3＋5＝8， 7＋9＋11＝27， 13＋15＋17＋19＝64， …， 請猜想第n個等式是________________________. 答案　(n2－n＋1)＋(n2－n＋3)＋…＋[n2－n＋(2n－1)]＝n3 6.求證：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*). 證明　(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝＋＋＋>，不等式成立. (2)假設(shè)n＝k (k≥2，k∈N*)時命題成立， 即＋＋…＋>， 則當(dāng)n＝k＋1時， ＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋ >＋ >＋＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時不等式也成立. 由(1)(2)可知，原不等式對一切n≥2，n∈N*均成立

15、. 綜合提高 7.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”在驗證n＝1時，左端計算所得的項為(　　) A.1 B.1＋a C.1＋a＋a2 D.1＋a＋a2＋a3 解析　當(dāng)n＝1時，an＋1＝a2， ∴左邊應(yīng)為1＋a＋a2，故選C. 答案　C 8.已知f(x)是定義域為正整數(shù)集的函數(shù)，對于定義域內(nèi)任意的k，若f(k)≥k2成立，則f(k＋1)≥(k＋1)2成立，下列命題成立的是(　　) A.若f(3)≥9成立，則對于任意的k≥1，均有f(k)≥k2成立 B.若f(4)≥16成立，則對于任意的k≥4，均有f(k)

16、則對于任意的k<7，均有f(k)

17、 (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時，等式成立，即 ＋＋…＋ ＝＋＋…＋. 則當(dāng)n＝k＋1時， ＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋， 即當(dāng)n＝k＋1時，等式成立. 根據(jù)(1)(2)可知，對一切n∈N*，等式成立. 12.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N*時， (1＋2＋3＋…＋n)≥n2. 證明　(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝12＝1，左邊≥右邊，不等式成立. (2)假設(shè)n＝k (k≥1，k∈N*)時不等式成立， 即(1＋2＋3＋…＋k)≥k2， 則當(dāng)n＝k＋1時， 左邊＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]· ＝(1＋2＋3＋…＋k)＋(1＋2＋3＋…＋k)＋(k＋1)＋1 ≥k2＋·＋(k＋1)＋1 ＝k2＋＋1＋(k＋1)， ∵當(dāng)k≥2時，1＋＋＋…＋≥1＋＝， ∴左邊≥k2＋＋1＋(k＋1)× ＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2. 這就是說，當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立. 由(1)(2)知，當(dāng)n∈N*時，不等式成立. 10