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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題八 選考4系列 專題能力訓練21 不等式選講 文
1.若a>0,b>0,且.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.
2.設(shè)函數(shù)f(x)=+|x-a|(a>0).
(1)證明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范圍.
3.已知關(guān)于x的不等式m-|x-2|≥1,其解集為[0,4].
(1)求m的值;
(2)若a,b均為正實數(shù),且滿足a+b=m,求a2+b2的最小值.
2、4.已知函數(shù)f(x)=,M為不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)證明:當a,b∈M時,|a+b|<|1+ab|.
5.(2018全國Ⅰ,文23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)當a=1時,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.
二、思維提升訓練
6.已知函數(shù)f(x)=g(x)=af(x)-|x-2|,a∈R.
(1)當a=0時,若g(x)≤|x-1|+b對任意x∈(0,+∞)恒成立,求實數(shù)b的取值范圍;
(2)當a=1時,求函數(shù)y
3、=g(x)的最小值.
7.已知函數(shù)f(x)=|x-3|-|x-a|.
(1)當a=2時,解不等式f(x)≤-;
(2)若存在實數(shù)a,使得不等式f(x)≥a成立,求實數(shù)a的取值范圍.
8.已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x) =|x+1|+|x-1|.
(1)當a=1時,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍.
專題能力訓練21 不等式選講(選修4—5)
一、能力突破訓練
1.解 (1)由,得ab≥2,且當a=b=時等號成立
4、.
故a3+b3≥2≥4,且當a=b=時等號成立.
所以a3+b3的最小值為4.
(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.
由于4>6,從而不存在a,b,使得2a+3b=6.
2.(1)證明 由a>0,有f(x)=+|x-a|≥+a≥2.故f(x)≥2.
(2)解 f(3)=+|3-a|.當a>3時,f(3)=a+,由f(3)<5,得3
5、
∴m=3.
(2)由(1)知a+b=3.
(方法一:利用基本不等式)
∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥,當且僅當a=b=時取等號,∴a2+b2的最小值為.
(方法二:消元法求二次函數(shù)的最值)
∵a+b=3,
∴b=3-a,
∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2,
∴a2+b2的最小值為.
4.(1)解 f(x)=
當x≤-時,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;
當-
6、-11的解集為.
(2)當x∈(0,1)時|x+1|-|ax-1|>x成立等價于當x∈(0,1)時|ax-1|<1成立.
若a≤0,則當x∈(0,1)時|ax-1|≥1;
若a>0,|ax-1|<1的解集為0
7、思維提升訓練
6.解 (1)當a=0時,g(x)=-|x-2|(x>0),
g(x)≤|x-1|+b?-b≤|x-1|+|x-2|.
|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1,
當且僅當1≤x≤2時等號成立.
故實數(shù)b的取值范圍是[-1,+∞).
(2)當a=1時,g(x)=
當02-2=0;
當x≥1時,g(x)≥0,當且僅當x=1時等號成立;
故當x=1時,函數(shù)y=g(x)取得最小值0.
7.解 (1)∵a=2,
∴f(x)=|x-3|-|x-2|=
∴f(x)≤-等價于解得≤x<3或x≥3,
∴不等式的解集為.
(
8、2)由不等式性質(zhì)可知f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,
∴若存在實數(shù)x,使得不等式f(x)≥a成立,則|a-3|≥a,解得a≤.
∴實數(shù)a的取值范圍是.
8.解 (1)當a=1時,不等式 f(x)≥g(x)等價于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. ①
當x<-1時,①式化為x2-3x-4≤0,無解;
當-1≤x≤1時,①式化為x2-x-2≤0,從而-1≤x≤1;
當x>1時,①式化為x2+x-4≤0,從而1
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