2022年高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎(chǔ)與考點過關(guān) 第二章 函數(shù)與導數(shù)學案
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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎(chǔ)與考點過關(guān) 第二章 函數(shù)與導數(shù)學案 ① 本節(jié)是函數(shù)部分的起始部分,以考查函數(shù)概念、三要素及表示法為主,同時考查學生在實際問題中的建模能力. ② 本節(jié)內(nèi)容曾以多種題型出現(xiàn)在高考試題中,要求相對較低,但很重要,特別是函數(shù)的解析式仍會是2019年高考的重要題型. ① 理解函數(shù)的概念,了解構(gòu)成函數(shù)的要素. ② 在實際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù). ③ 了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應用. 1. (必修1P26練習3改編)下列對應關(guān)系中________是函數(shù).(填序號) ① A=R
2、+,B=R,對于任意的x∈A,x→x的算術(shù)平方根; ② A={1,2,3,4,5},B={0,2,4,6,8},對于任意的x∈A,x→2x; ③ x→-x,x∈R; ④ x→y,其中y=|x|,x∈R,y∈R; ⑤ x→y,其中y為不大于x的最大整數(shù),x∈R,y∈Z. 答案:①③④⑤ 解析:①③④⑤均符合函數(shù)的定義,②對于集合A中的元素5,在集合B中找不到元素與之對應. 2. (必修1P26練習4改編)下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是__________.(填序號) ① y=x+1和y=;② y=x0和y=1;③ f(x)=x2和g(x)=(x+1)2;④ f(x)=和g(x)
3、=. 答案:④ 解析:只有④表示同一函數(shù),①與②中定義域不同,③是對應法則不同. 3. (必修1P31習題1改編)設(shè)函數(shù)f(x)=.若f(a)=2,則實數(shù)a=__________. 答案:-1 解析:由題意可知,f(a)==2,解得a=-1. 4. (必修1P31習題8改編)已知函數(shù)f(x)由下表給出,則f(3)=__________. x 1 2 3 4 f(x) -3 -2 -4 -1 答案:-4 解析:由表中函數(shù)值得f(3)=-4. 5. (必修1P36習題3改編)已知函數(shù)f(x)在[-1,2]上的圖象如圖所示,則f(x)的解析式為______
4、______.
答案:f(x)=
解析:觀察圖象,知此函數(shù)是分段函數(shù),并且在每段上均是一次函數(shù),利用待定系數(shù)法求出解析式.當-1≤x≤0時,f(x)=x+1;當0 5、定義域,則對于A中的每一個x,都有一個輸出值y與之對應.我們將所有輸出值y組成的集合稱為函數(shù)的值域.
(3) 函數(shù)的要素
函數(shù)的構(gòu)成要素:定義域、對應法則、值域.由于值域是由定義域和對應法則決定的,所以,如果兩個函數(shù)的定義域和對應法則完全一致,我們就稱這兩個函數(shù)為相同的函數(shù)或同一函數(shù).這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).
2. 函數(shù)的表示方法
表示函數(shù)的常用方法有列表法、解析法(解析式法)、圖象法.
3. 分段函數(shù)
在定義域內(nèi)不同部分上,有不同的解析式,像這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值集合的并集,值域是各段上函數(shù)值集合的并集.
4. 映射的概念
一般地,設(shè)A 6、,B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應,那么就稱對應f:A→B為從集合A到集合B的一個映射.函數(shù)是映射,但映射不一定是函數(shù).[備課札記]
, 1 函數(shù)的概念)
, 1) 下列集合A到集合B的對應關(guān)系中,是從集合A到集合B的映射的有________.(填序號)
① A=R,B={y|y>0},f:x→y=|x|;
② A={x|x≥2,x∈N*},B={y|y≥0,y∈N},f:x→y=x2-2x+2;
③ A={x|x>0}, 7、B={y|y∈R},f:x→y=±;
④ A={α|α是三角形的內(nèi)角},B={y|y∈R},對應法則:y=tan α;
⑤ A={m|m∈Z},B={y|y=0或y=1},對應法則:y=
答案:②⑤
解析:① 集合A中的零元素,在集合B中沒有相應的對應元素.
② 按照對應法則,滿足題設(shè)條件.
③ 一對多,不滿足映射的概念.
④ ∵ ∈A,但的正切值不存在,∴ 此對應不是從集合A到集合B的映射.
⑤ ∵ 集合A中的每一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應,∴ 此對應是從集合A到集合B的映射.
點評:判斷對應是否為映射,即看A中元素是否滿足“每元有象”和“且象唯一”;但要注意: 8、① A中不同元素可有相同的象,即允許多對一,但不允許一對多;② B中元素可無原象,即B中元素可以有剩余.
已知映射f:A→B,其中A=B=R,對應法則f:x→y=-x2+2x,對于實數(shù)k∈B,在集合A中不存在元素與之對應,則k的取值范圍是________.
答案:(1,+∞)
解析:由題意知,方程-x2+2x=k無實數(shù)根,即x2-2x+k=0無實數(shù)根.∴ Δ=4(1-k)<0,∴ k>1時滿足題意.
, 2 函數(shù)的解析式)
, 2) 求下列各題中的函數(shù)f(x)的解析式.
(1) 已知f(+2)=x+4,求f(x);
(2) 已知f=lg x,求f(x) 9、;
(3) 已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(0)=1,f(x+1)=f(x)+2x,求f(x).
解:(1) (解法1)設(shè)t=+2(t≥2),則=t-2,即x=(t-2)2,∴ f(t)=(t-2)2+4(t-2)=t2-4,
∴ f(x)=x2-4(x≥2).
(解法2)∵ f(+2)=(+2)2-4,
∴ f(x)=x2-4(x≥2).
(2) 設(shè)t=+1,則x=,∴ f(t)=lg ,
即f(x)=lg (x>1).
(3) ∵ f(x)是二次函數(shù),
∴ 設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(0)=1,得c=1.
由f(x+1)=f(x)+2x,得 10、
a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+bx+1+2x,
整理,得(2a-2)x+a+b=0,
由恒等式原理,知?
∴ f(x)=x2-x+1.
變式訓練
根據(jù)下列條件分別求出f(x)的解析式.
(1) f(+1)=x+2;
(2) 二次函數(shù)f(x)滿足f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.
解:(1) 令t=+1,∴ t≥1,x=(t-1)2.
則f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,
即f(x)=x2-1,x∈[1,+∞).
(2) 設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∴ f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,
則f(x+ 11、2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.
∴ ∴
又f(0)=3,∴ c=3,∴ f(x)=x2-x+3.
, 3 分段函數(shù))
, 3) 如圖所示,在邊長為4的正方形ABCD上有一點P,沿著折線BCDA由B點(起點)向A點(終點)移動.設(shè)P點移動的路程為x,△ABP的面積為y=f(x).
(1) 求△ABP的面積與P移動的路程間的函數(shù)解析式;
(2) 作出函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象求y的最大值.
解:(1) 這個函數(shù)的定義域為(0,12),
當0<x≤4時,S=f(x)=·4·x=2x;
當4<x≤8時,S=f(x)=8;
當8<x<12時, 12、S=f(x)=·4·(12-x)=24-2x.
∴ 函數(shù)解析式為f(x)=
(2) 其圖象如圖所示,由圖知fmax(x)=8.
變式訓練
已知函數(shù)f(x)=則滿足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值范圍是____________.
答案:(-1,-1)
解析:函數(shù)f(x)=的圖象如圖所示:
f(1-x2)>f(2x)?解得-1 13、1,求得x≤1,則f(x)=(x+2)*(3-x)=畫出函數(shù)f(x)的圖象,如圖,方程f(x)=c恰有兩個不同的解,即是函數(shù)f(x)的圖象與直線y=c有2個交點,數(shù)形結(jié)合可得c<2.
特別提醒:本題主要考查分段函數(shù)的解析式、函數(shù)的零點以及新定義問題,屬于難題.已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法:(1) 直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2) 分離參數(shù)法:將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決;(3) 數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.一是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)y=g(x),y= 14、h(x)的圖象的交點個數(shù)問題,畫出兩個函數(shù)的圖象,其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù),二是轉(zhuǎn)化為y=a,y=g(x)的圖象的交點個數(shù)問題.
1. (2018·溧陽中學周練)若x∈R,則f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是________.(填序號)
① f(x)=x,g(x)=;
② f(x)=1,g(x)=(x-1)0;
③ f(x)=,g(x)=;
④ f(x)=,g(x)=x-3.
答案:③
解析:①中,g(x)= =|x|≠x;
②中,g(x)=(x-1)0=1(x≠1);
③中,f(x)= =1(x>0),g(x)=1(x>0);
④中,f(x)==x-3(x≠-3 15、).
因此填③.
2. 二次函數(shù)y=f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分對應值如下表:
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
則關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為____________.
答案:[-3,2]
解析:由表格數(shù)據(jù)作出二次函數(shù)的草圖,結(jié)合數(shù)據(jù)與圖象即可發(fā)現(xiàn)不等式f(x)≤0的解集為[-3,2].
3. 為了保證信息安全傳輸必須使用加密方式,有一種方式其加密、解密原理如下:
明文密文密文明文
已知加密為y=ax-2(x為明文、y為密文),如果明文“3”通過加密后得到密文為“ 16、6”,再發(fā)送,接受方通過解密得到明文“3”,若接受方接到密文為“14”,則原發(fā)的明文是________.
答案:4
4. 有一個有進水管和出水管的容器,每單位時間進水量是一定的,設(shè)從某時刻開始,5分鐘內(nèi)只進水,不出水,在隨后的15分鐘內(nèi)既進水,又出水,得到時間x與容器中的水量y之間的關(guān)系如圖所示.再隨后,只放水不進水,水放完為止,則這段時間內(nèi)(即x≥20),y與x之間的函數(shù)關(guān)系是____________________.
答案:y=-3x+95
解析:設(shè)進水速度為a1 L/min,出水速度為a2 L/min,則由題意得解得則y=35-3(x-20),得y=-3x+95.當水放完,時 17、間為x= min,又知x≥20,故解析式為y=-3x+95.
5. 設(shè)函數(shù)f(x)=若f(a)>f(1),則實數(shù)a的取值范圍是____________.
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:由f(1)=-2,則f(a)>-2.當a>0時,有2a-4>-2,則a>1;當a<0時,-a-3>-2,則a<-1.所以實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞).
6. 函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=kx-k至少有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是____________.
答案:∪(1,+∞)
解析:如圖,作出函數(shù)圖象,y2=kx-k過定點(1,0),臨界點和(1,0 18、)連線的斜率為-,又f′(1)=1,由圖象知實數(shù)k的取值范圍是∪(1,+∞).
, 3. 分段函數(shù)意義理解不清致誤)
典例 已知實數(shù)a≠0,函數(shù)f(x)=若f(1-a)=f(1+a),則a的值為__________.
易錯分析:(1) 誤以為1-a<1,1+a>1,沒有對a進行討論直接代入求解;(2) 求解過程中忘記檢驗所求結(jié)果是否符合要求致誤.
解析:當a>0時,1-a<1,1+a>1,
由f(1-a)=f(1+a)可得2-2a+a=-1-a-2a,
解得a=-,不合題意;
當a<0時,1-a>1,1+a<1,
由f(1-a)=f(1+a)可得-1+a-2a 19、=2+2a+a,
解得a=-.
答案:-
特別提醒:(1) 注意分類討論思想在求函數(shù)值中的應用,對于分段函數(shù)的求值問題,若自變量的取值范圍不確定,應分情況求解;(2) 檢驗所求自變量的值或范圍是否符合題意,求解過程中,求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意,因此要檢驗結(jié)果是否符合要求.
1. 已知集合A={a,b,c},B={1,2},那么可建立從A到B的映射個數(shù)是______,從B到A的映射個數(shù)是______.
答案:8 9
解析:依題意,建立從A到B的映射,即集合A中的每一個元素在集合B中找到對應元素,從而從A到B的映射個數(shù)為23=8,從B到A的映射個數(shù)是32=9.所以填 20、寫答案依次為:8;9.
2. 已知一個函數(shù)的解析式為y=x2,它的值域為{1,4},這樣的函數(shù)有________個.
答案:9
解析:列舉法:定義域可能是{1,2}、{-1,2}、{1,-2}、{-1,-2}、{1,-2,2}、{-1,-2,2}、{-1,1,2}、{-1,1,-2}、{-1,1,-2,2}.
3. 若函數(shù)f(x)=,f(2)=1,又方程f(x)=x有唯一解,則f(x)=________.
答案:
解析:由f(2)=1得=1,即2a+b=2;由f(x)=x得=x,變形得x=0,解此方程得x=0或x=,∵ 方程有唯一解,∴ =0,解得b=1,代入2a+b=2得a=,∴ 21、 f(x)=.
4. 如圖,動點P從單位正方形ABCD頂點A開始,順次經(jīng)B,C,D繞邊界一周,當x表示點P的行程,y表示PA之長時,求y關(guān)于x的解析式,并求f的值.
解:當P在AB上運動時,y=x(0≤x≤1);當P在BC上運動時,y=(1 22、周測)設(shè)函數(shù)f(x)定義如下表,數(shù)列{xn}(n∈N*)滿足x1=1,且對于任意的正整數(shù)n,均有xn+1=f(xn),求x2 018的值.
x
1
2
3
4
f(x)
2
3
4
1
分析:本題中函數(shù)是用列表法給出的,先觀察數(shù)列的前幾項,看看有沒有規(guī)律可循.
解:因為x1=1,所以x2=f(x1)=f(1)=2,x3=f(x2)=f(2)=3,x4=f(x3)=f(3)=4,x5=f(x4)=f(4)=1,x6=f(x5)=f(1)=2,…,不難看出數(shù)列{xn}是以4為周期的周期數(shù)列,所以x2 018=x4×504+2=x2=2.
點評:通過觀察一些特殊的情形, 23、來獲得深刻的認識,是探索數(shù)學問題的一種重要方法,應注意學習,同時函數(shù)的表示也可以利用列表法來給出.
1. 函數(shù)是特殊的映射,其特殊性在于集合A與B只能是非空數(shù)集,即函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射;而映射不一定是函數(shù).從A到B的一個映射,A,B若不是數(shù)集,則這個映射不是函數(shù).
2. 函數(shù)是一種特殊的對應,要檢驗給定的兩個變量是否具有函數(shù)關(guān)系,只需要檢驗:① 定義域和對應法則是否給出;② 根據(jù)給出的對應法則,自變量在定義域中的每一個值,是否都有唯一確定的函數(shù)值.
3. 函數(shù)解析式的求解方法通常有:配湊法、換元法、待定系數(shù)法及消去法.用換元法求解時要特別注意新元的范圍,即所求函數(shù)的定義 24、域;而消去法體現(xiàn)的方程思想,即根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組,通過解方程組求出f(x).
第2課時 函數(shù)的定義域和值域(對應學生用書(文)、(理)12~14頁)
① 函數(shù)的定義域是研究一切函數(shù)的源頭,求各種類型函數(shù)的定義域是高考中每年必考的試題.
② 函數(shù)的值域和最值問題也是高考的必考內(nèi)容,一般不會對值域和最值問題單獨命題,主要是結(jié)合其他知識綜合考查,特別是應用題;再就是求變量的取值范圍,主要是考查求值域和最值的基本方法.
① 會求簡單函數(shù)的定義域.
② 掌握求函數(shù)值域與最值的常用方法.
③ 能運用求值域與最值的常用方法解決實際問題.
25、
1. (必修1P25例2改編)函數(shù)f(x)=+的定義域是____________________.
答案:[2,3)∪(3,+∞)
解析:要使函數(shù)有意義,x需滿足解得x≥2且x≠3.
2. (必修1P26練習6(2)(4)改編)函數(shù)y=+的定義域為__________________.
答案:(-1,1)∪(1,+∞)
解析:依題意得∴ x>-1且x≠1,故函數(shù)的定義域為(-1,1)∪(1,+∞).
3. 函數(shù)y=的值域為________.
答案:
解析:∵ x2+2≥2,∴ 0<≤.∴ 0 26、
答案:[-5,+∞)
解析:∵ 有意義,∴ x≥0.又y=x2+3x-5=--5,函數(shù)y=x2+3x-5在[0,+∞)上單調(diào)遞增,∴ 當x=0時,ymin=-5.∴ 函數(shù)y=x2+3x-5的值域是[-5,+∞).
5. 函數(shù)y=的定義域是(-∞,1)∪[2,5),則其值域是____________________.
答案:(-∞,0)∪
解析:∵ x∈(-∞,1)∪[2,5),∴ x-1∈(-∞,0)∪[1,4).當x-1∈(-∞,0)時,∈(-∞,0);當x-1∈[1,4)時,∈.
1. 函數(shù)的定義域
(1) 函數(shù)的定義域就是使函數(shù)表達式有意義的所有的輸入值x組成的集合.在 27、解決函數(shù)問題時,必須樹立起“定義域優(yōu)先”的觀念.
(2) 求定義域的步驟
① 寫出使函數(shù)有意義的不等式(組).
② 解不等式(組).
③ 寫出函數(shù)定義域(注意用區(qū)間或集合的形式寫出).
(3) 常見基本初等函數(shù)的定義域
① 分式函數(shù)中分母不等于零.
② 偶次根式函數(shù)中被開方式大于或等于0.
③ 一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R.
④ y=ax,y=sin x,y=cos x的定義域均為R.
⑤ y=tan x的定義域為{x|x≠kπ+,k∈Z}.
⑥ 函數(shù)f(x)=x0的定義域為{x|x≠0}.
2. 函數(shù)的值域
(1) 在函數(shù)y=f(x)中,與定義域中輸入值x對應的y 28、的值叫做輸出值,所有輸出值y組成的集合叫做函數(shù)的值域.
(2) 基本初等函數(shù)的值域
① y=kx+b(k≠0)的值域是R.
② y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:當a>0時,值域為[,+∞);當a<0時,值域為(-∞,].
③ y=(k≠0)的值域為{y|y≠0}.
④ y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).
⑤ y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.
⑥ y=sin x,y=cos x的值域是[-1,1].
⑦ y=tan x的值域是R.
3. 函數(shù)的最值
一般地,設(shè)y=f(x)的定義域為A.
(1) 如果存在x0∈A,使得對于任意的x∈A,都有f( 29、x)≤f(x0),那么稱f(x0)為y=f(x)的最大值,記為ymax=f(x0).
(2) 如果存在x0∈A,使得對于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0),那么稱f(x0)為y=f(x)的最小值,記為ymin=f(x0).
4. 值域與最值的關(guān)系
若函數(shù)y=f(x)的最大值為b,最小值為a,那么y=f(x)的值域必定是數(shù)集[a,b]的子集,若f(x)可以取到[a,b]中的一切值,那么其值域就是[a,b].
5. 復合函數(shù)
如果函數(shù)y=f(u)(u∈A),u=g(x)(x∈B,u∈A),則y=f(g(x))叫做由函數(shù)y=f(u)(u∈A),u=g(x)(x∈B,u∈A)合成的復合函 30、數(shù),u叫做中間變量.y=f(u)(u∈A),叫做該復合函數(shù)的外層函數(shù),而u=g(x)(x∈B)叫做該復合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù).注意:由u=g(x)(x∈B)求出的值域一定是A.即內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域.
6. 函數(shù)解析式的表示離不開函數(shù)的定義域.
[備課札記]
, 1 求函數(shù)的定義域)
, 1) (1) 已知函數(shù)f(x)的定義域是[0,2],則函數(shù)g(x)=f+f的定義域是__________.
(2) 函數(shù)y=的 31、定義域為____________.
答案:(1) (2) (-1,1)
解析:(1) 因為函數(shù)f(x)的定義域是[0,2],所以函數(shù)g(x)=f+f中的自變量x需要滿足:
解得
所以≤x≤,
所以函數(shù)g(x)的定義域是.
(2) 由得-1 32、的定義域:
(1) y=+(x-1)0;
(2) y=lg sin x+.
解:(1) 由題意得,解得,
∴ -3 33、)=-t=-(t+1)2+1.由于t≥0,所以f(t)≤,故函數(shù)的值域是.
(解法2:單調(diào)性法)容易判斷f(x)為增函數(shù),而其定義域應滿足1-2x≥0,即x≤,所以f(x)≤f=,即函數(shù)的值域是.
(2) y==-1.
因為1+x2≥1,所以0<≤2.
所以-1<-1≤1,即y∈(-1,1].
所以函數(shù)的值域為(-1,1].
(3) (解法1)由y==2-,結(jié)合圖象知,函數(shù)在[3,5]上是增函數(shù),所以ymax=,ymin=,故所求函數(shù)的值域是.
(解法2)由y=,得x=.
因為x∈[3,5],所以3≤≤5,解得≤y≤,
即所求函數(shù)的值域是.
(4) (基本不等式法)令t=x 34、-1,則x=t+1(t>0),
所以y===t+-2(t>0).
因為t+≥2=2,當且僅當t=,即x=+1時,等號成立,
故所求函數(shù)的值域為[2-2,+∞).
求下列函數(shù)的值域:
(1) f(x)=+;
(2) g(x)=;
(3) y=log3x+logx3-1.
解:(1) 由解得-3≤x≤1.
∴ f(x)=+的定義域是[-3,1].
令y=f(x),則y≥0,∴ y2=4+2,
即y2=4+2(-3≤x≤1).
令t(x)=-(x+1)2+4(-3≤x≤1).
∵ x∈[-3,1],由t(-3)=0,t(-1)=4,t(1)=0,
知0≤t(x)≤4, 35、從而y2∈[4,8],即y∈[2,2],
∴ 函數(shù)f(x)的值域是[2,2].
(2) g(x)====1+(x≠3且x≠4).
∵ x≠3且x≠4,∴ g(x)≠1且g(x)≠-6.
∴ 函數(shù)g(x)的值域是(-∞,-6)∪(-6,1)∪(1,+∞).
(3) 函數(shù)的定義域為{x|x>0且x≠1}.
當x>1時,log3x>0,logx3>0,
y=log3x+logx3-1≥2-1=1;
當0 36、+∞)., 3 函數(shù)值和最值的應用)
●典型示例
, 3) 已知函數(shù)f(x)=,x∈[1,+∞).
(1) 當a=時,求函數(shù)f(x)的最小值;
(2) 若對任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍.
【思維導圖】 函數(shù)恒成立→不等式恒成立→分類討論→新函數(shù)的最值→a的取值范圍
【規(guī)范解答】 解:(1) 當a=時,f(x)=x++2.
∵ f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),∴ f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值為f(1)=.
(2) (解法1)在區(qū)間[1,+∞)上,f(x)= >0恒成立,∴ x2+2x+a> 37、0恒成立.
設(shè)y=x2+2x+a,x∈[1,+∞).
∵ y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴ 當x=1時,ymin=3+a,當且僅當ymin=3+a>0時,函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>-3.
(解法2)f(x)=x++2,x∈[1,+∞).
當a≥0時,函數(shù)f(x)的值恒為正;
當a<0時,函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,故當x=1時,f(x)min=3+a,
當且僅當f(x)min=3+a>0時,函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>-3.
【精要點評】 解法1運用轉(zhuǎn)化思想把f(x)>0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式;解法2運用了分類討論思想.
38、
●總結(jié)歸納
(1) 求函數(shù)的值域
此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法:配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等.無論用什么方法求函數(shù)的值域,都必須考慮函數(shù)的定義域.
(2) 函數(shù)的綜合性題目
此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性等一些基本知識相結(jié)合的題目.此類問題要求具備較高的數(shù)學思維能力、綜合分析能力以及較強的運算能力.
(3) 運用函數(shù)的值域解決實際問題
此類問題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,從而利用所學知識去解決.此類題目要求具有較強的分析能力和數(shù)學建模能力.
●題組練透
1. 函數(shù)y=的值域是____________.
答案:
解析:∵ 39、x2+x+1=2+≥,∴ y≥,∴ 值域為.
2. 函數(shù)y=x+的值域是____________.
答案:(-∞,1]
解析:令=t(t≥0),則x=.∵ y=+t=- (t-1)2+1≤1,∴ 值域為(-∞,1].
3. 已知函數(shù)f(x)=x2+4ax+2a+6.
(1) 若f(x)的值域是[0,+∞),求a的值;
(2) 若函數(shù)f(x)≥0恒成立,求g(a)=2-a|a-1|的值域.
解:(1) ∵ f(x)的值域是[0,+∞),即f(x)min=0,∴ =0,∴ a=-1或.
(2) 若函數(shù)f(x)≥0恒成立,則Δ=(4a)2-4(2a+6)≤0,即2a2- 40、a-3≤0,∴ -1≤a≤,
∴ g(a)=2-a|a-1|=
當-1≤a≤1時,g(a)=a2-a+2=+,∴ g(a)∈;
當1
41、f(m)=(0≤m≤1),其值域為[0,2].
1. 函數(shù)f(x)=的定義域為____________.
答案:(0,1)∪(1,2)
解析:由得0<x<2且x≠1.
2. 已知函數(shù)y=的定義域為R,值域為[0,+∞),則實數(shù)a的取值集合為________.
答案:{1}
解析: x2-2x+a≥0恒成立,且最小值為0,則滿足Δ=0,即4-4a=0,則a=1.
3. 函數(shù)f(x)=的值域為____________.
答案:(-∞,1]
解析:可由函數(shù)的圖象得到函數(shù)f(x)的值域為(-∞,1].
4. 若函數(shù)f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),則實數(shù)a 42、的取值范圍是________.
答案:(1,2]
解析:當x≤2時,-x+6≥4,要使得函數(shù)f(x)的值域為[4,+∞),只需當x>2時,f(x)=3+logax的值域在區(qū)間[4,+∞)內(nèi)即可,故a>1,所以3+loga2≥4,解得1<a≤2,所以實數(shù)a的取值范圍是(1,2].
5. 已知函數(shù)f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的定義域和值域都是[-1,0],則a+b=________.
答案:-
解析:當a>1時,該方程組無解;當0
43、g(x)的值域為[0,+∞),求m的取值范圍.
解:令f(x)=mx2+x+1.
(1) 由題意知f(x)≥0在R上恒成立.
① 當m=0時, f(x)=x+1≥0在R上不恒成立;
② 當m≠0時,要滿足題意必有∴ m≥.
綜上所述,m的取值范圍是.
(2) 由題意知,f(x)=mx2+x+1能取到一切大于或等于0的實數(shù).
① 當m=0時,f(x)=x+1可以取到一切大于或等于0的實數(shù);
② 當m≠0時,要滿足題意必有
∴ 0 44、法,是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之一,尤其在解決含參數(shù)的問題時發(fā)揮著奇特功效,大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透,這樣才能快速找準突破點. 充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰,進而順利解答,希望同學們能夠熟練掌握并能應用于解題當中.
1. 函數(shù)f(x)=的定義域為__________.
答案:[3,+∞)
解析:由題意知解得x≥3.
2. (2018·溧陽中學周練)函數(shù)f(x)=ln(+)的定義域為____________.
答案:[-4,0)∪(0,1)
解析:函數(shù)的定義域必須滿足條件:
解得x∈[-4,0)∪(0,1).
3. 當 45、x=__________________時,函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2取得最小值.
答案:
解析:f(x)=nx2-2(a1+a2+…+an)x+(a+a+…+a),
當x=時,f(x)取得最小值.
4. 設(shè)函數(shù)f(x)=若f(x)的值域為R,則實數(shù)a的取值范圍是____________________.
答案:(-∞,-1]∪[2,+∞)
解析:f(x)的值域為R,則22+a≤2+a2,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1]∪[2,+∞).
5. 已知函數(shù)f(x)=-1的定義域是[a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],則滿足條件的整數(shù)數(shù)對 46、(a,b)共有______個.
答案:5
解析:由0≤-1≤1,即1≤≤2,解得0≤|x|≤2,滿足條件的整數(shù)數(shù)對有(-2,0),(-2,1),(-2,2),(0,2),(-1,2)共5個.
6. 求函數(shù)y=+的值域.
解:函數(shù)y=f(x)的幾何意義:平面內(nèi)一點P(x,0)到兩點A(-3,4)和B(5,2)的距離之和就是y的值.由平面幾何知識,找出點B關(guān)于x軸的對稱點B′(5,-2).連結(jié)AB′,交x軸于一點P,點P即為所求的最小值點,ymin=AB′==10.所以函數(shù)的值域為[10,+∞).
1. 函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂,它決定了函數(shù)的值域,并且它是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ),因此, 47、我們一定要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先的意識.
2. 函數(shù)的值域常?;瘹w為求函數(shù)的最值問題,要重視函數(shù)單調(diào)性在確定函數(shù)最值過程中的作用.
3. 求函數(shù)值域的常用方法:圖象法、配方法、換元法、基本不等式法、單調(diào)性法、分離常數(shù)法、導數(shù)法等.理論上一切函數(shù)求值域或最值均可考慮“導數(shù)法”,但在具體的解題中要與初等方法密切配合.[備課札記]
第1課時 函數(shù)的單調(diào)性(對應學生用書(文)、(理)15~17頁)
① 函數(shù)單調(diào)性的概念是函數(shù)性質(zhì)中最重要的概念,仍將會是2019年高考的重點,特別要注意函數(shù)單調(diào)性的應用.
② 常見題型:a.求函數(shù) 48、的單調(diào)區(qū)間;b.用定義判斷函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性;c.強化應用單調(diào)性解題的意識,如比較式子的大小,求函數(shù)最值,已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍等.
① 理解函數(shù)單調(diào)性的定義,并利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷或證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性.
② 理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值的幾何意義,會用單調(diào)性方法求函數(shù)的最大(小)值.
③ 能利用函數(shù)的單調(diào)性解決其他一些綜合性問題.
1. 下列函數(shù)中,在(-∞,0)上為減函數(shù)的是________.(填序號)
① y=;② y=x3;③ y=x0 ;④ y=x2.
答案:④
解析:∵ 函數(shù)y=x2的圖象是開口向上的拋物線 49、,對稱軸為y軸,∴ 函數(shù)y=x2在(-∞,0)上為減函數(shù).
2. (必修1P44習題2改編)
(1) 函數(shù)f(x)=2x+1的單調(diào)增區(qū)間是__________;函數(shù)g(x)=-3x+2在區(qū)間(-∞,+∞)上為________函數(shù).
(2) 函數(shù)f(x)=x2-2x-1的單調(diào)增區(qū)間為________,單調(diào)減區(qū)間為________.
(3) 函數(shù)f(x)=--1在區(qū)間(-∞,0)上是單調(diào)________函數(shù).
(4) 函數(shù)y=在區(qū)間[1,3]上是單調(diào)________函數(shù).
答案:(1) (-∞,+∞) 單調(diào)減 (2) [1,+∞) (-∞,1]
(3) 增 (4) 減
3. (必修 50、1P54本章測試6改編)若函數(shù)y=5x2+mx+4在區(qū)間(-∞,-1]上是減函數(shù),在區(qū)間[-1,+∞)上是增函數(shù),則m=__________.
答案:10
解析:函數(shù)y=5x2+mx+4的圖象為開口向上,對稱軸是x=-的拋物線,要使函數(shù)y=5x2+mx+4在區(qū)間(-∞,-1]上是減函數(shù),在區(qū)間[-1,+∞)上是增函數(shù),則-=-1,∴ m=10.
4. 已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間(-2,+∞)上為增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是__________.
答案:
解析:f(x)==a+,由復合函數(shù)的增減性可知,g(x)=在(-2,+∞)上為增函數(shù),∴ 1-2a<0,
∴ a>.
5. 設(shè)函數(shù) 51、f(x)滿足:對任意的x1,x2∈R都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,則f(-3)與f(-π)的大小關(guān)系是____________.
答案:f(-3)>f(-π)
解析:由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知函數(shù)f(x)為增函數(shù),又-3>-π,∴ f(-3)>f(-π).
1. 增函數(shù)和減函數(shù)
一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I:
如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個值x1,x2,當x1 52、x1 53、斷單調(diào)性
法則是“同增異減”,即兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同,則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為增函數(shù);若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相反,則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為減函數(shù).
(4) 圖象法
奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.
4. 函數(shù)的單調(diào)性的證明方法
已知函數(shù)解析式,證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性一般只能嚴格用定義(或?qū)?shù))來證明.主要步驟:
(1) 設(shè)元;
(2) 作差(商);
(3) 變形(變形要徹底,一般通過因式分解、配方等方法,直到符號的判定非常明顯);
(4) 判斷符號;
(5) 結(jié)論.
[備課札記]
54、
, 1 函數(shù)單調(diào)性的判斷)
, 1) 判斷函數(shù)f(x)=(a≠0)在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)性.
分析:此函數(shù)既不是常見函數(shù),也不是由常見函數(shù)經(jīng)過簡單的復合而成,因此要判斷其在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)性,只能用函數(shù)單調(diào)性的定義.
解:任取x1,x2∈(-1,1),且x1 55、
證明:設(shè)任取x1,x2∈[1,+∞),且x1 56、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:
(1) y=x2-3|x|+;
(2) y=;
(3) y=log2(6+x-2x2).
解:(1) ∵ y=x2-3|x|+=
∴ 由圖象可知,y在,上為減函數(shù),在,上為增函數(shù).
(2) 易得定義域為R,令u=x2-2x=(x-1)2-1,則u在(-∞,1]上為減函數(shù),在[1,+∞)上為增函數(shù).又y=在(-∞,+∞)上為減函數(shù),∴ y=的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,1],單調(diào)減區(qū)間為[1,+∞).
(3) 由題意得6+x-2x2>0,化簡得2x2-x-6<0,即(2x+3)(x-2)<0,解得- 57、上為減函數(shù),又y=log2u在定義域上為增函數(shù),∴ y=log2(6+x-2x2)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
點評:已知函數(shù)的解析式,討論或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,應首先確定函數(shù)的定義域,然后再根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則在函數(shù)的定義域內(nèi)求內(nèi)層函數(shù)相應的單調(diào)區(qū)間.
變式訓練
函數(shù)y=-(x-3)|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是____________.
答案:
解析:y=畫圖象如圖所示,可知單調(diào)遞增區(qū)間為.
作出函數(shù)f(x)=|x2-1|+x的圖象,并根據(jù)函數(shù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解:當x≥1或x≤-1時, y=x2+x-1=2-;
當-1 58、+.函數(shù)圖象如圖,由函數(shù)圖象可知函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-1],;單調(diào)增區(qū)間為,[1,+∞).
, 3 函數(shù)的單調(diào)性與最值)
●典型示例
, 3) 求f(x)=x2-2ax-1在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值.
【思維導圖】 判斷對稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系→分別畫出圖象→判斷f(x)在區(qū)間的單調(diào)性→求出最值
【規(guī)范解答】 解:f(x)=(x-a)2-1-a2,對稱軸為x=a.
(1) 當a<0時,由圖①可知,f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.
(2) 當0≤a<1時,由圖②可知,f(x)min=f(a)= 59、-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.
(3) 當12時,由圖④可知,f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.
綜上,當a<0時,f(x)min=-1,f(x)max=3-4a;當0≤a<1時,f(x)min=-1-a2,f(x)max=3-4a;當12時,f(x)min=3-4a,f(x)max=-1.
【精要點評】 (1) 二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是由圖象的對稱軸確定 60、的.故需要確定對稱軸與區(qū)間的關(guān)系.由于對稱軸是x=a,而a的取值不定,從而導致了分類討論.
(2) 不是應該分a<0,0≤a≤2,a>2三種情況討論嗎?為什么成了四種情況?這是由于拋物線的對稱軸在區(qū)間[0,2]所對應的區(qū)域時,最小值是在頂點處取得,但最大值卻有可能是f(0),也有可能是f(2).
●總結(jié)歸納
(1) 要注意函數(shù)思想在求函數(shù)值域中的運用,求函數(shù)最值常借助函數(shù)單調(diào)性.含有參數(shù)的最值問題,需要分類討論參數(shù)在不同范圍內(nèi)時函數(shù)單調(diào)性的變化,進而判斷最值的位置.
(2) 不等式恒成立問題也可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.
●題組練透
1. 函數(shù)y=2x+的值域是__________ 61、__.
答案:[-2,+∞)
解析:x≥-1,y是x的增函數(shù),當x=-1時,ymin=-2,∴ 函數(shù)的值域為[-2,+∞).
2. 已知x∈[0,1],則函數(shù)y=-的值域是______________.
答案:[-1,]
解析:該函數(shù)為增函數(shù),自變量最小時,函數(shù)值最??;自變量最大時,函數(shù)值最大.
3. 函數(shù)f(x)=(x∈[3,6])的值域為____________.
答案:[1,4]
解析:區(qū)間[3,6]是函數(shù)f(x)=的單調(diào)減區(qū)間,把x=3,x=6分別代入f(x)中可得最大值、最小值.
4. 已知a∈R且a≠1,求函數(shù)f(x)=在[1,4]上的最值.
解:由f(x)== 62、a+.當1-a>0,即a<1時,f(x)在[1,4]上為減函數(shù),∴ fmax(x)=f(1)=,fmin(x)=f(4)=;當1-a<0,即a>1時,f(x)在[1,4]上為增函數(shù),∴ fmax(x)=f(4)=,fmin(x)=f(1)=.
5. 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1,若f(1)=0,且函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞).
(1) 求a,b的值;
(2) 若h(x)=2f(x+1)+x|x-m|+2m,求h(x)的最小值.
解:(1) 顯然a≠0,∵ f(1)=0,∴ a+b+1=0.
又f(x)的值域為[0,+∞),∴ Δ=b2-4a=0.
由解得 63、
(2) 由(1)知f(x)=x2-2x+1,h(x)=2x2+x|x-m|+2m,即h(x)=
① 若m≥0,則hmin(x)=min,即hmin(x)=min.
又2m2+2m-=≥0,∴ 當m≥0時,hmin(x)=-+2m;
② 若m<0,則hmin(x)=h=2m-.
綜上所述,hmin(x)=
, 4 函數(shù)的單調(diào)性的綜合應用)
, 4) 已知函數(shù)f(x)=2x-,x∈(0,1].
(1) 當a=-1時,求函數(shù)y=f(x)的值域;
(2) 若函數(shù)y=f(x)在(0,1]上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
解:(1) 當a= 64、-1時,f(x)=2x+,
因為0 65、]上恒成立,
即a<-2x2在(0,1]上恒成立,
所以a<-2,即實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2).
變式訓練
若函數(shù)f(x)=是(-∞,+∞)上的減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是________.
答案:[-2,0)
解析:由x≥1時,f(x)=-x2+2ax-2a是減函數(shù),得a≤1.由x<1時,函數(shù)f(x)=ax+1是減函數(shù),得a<0,分界點處的值應滿足-12+2a×1-2a≤1×a+1,解得a≥-2,所以-2≤a<0.
點睛:本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性,解決本題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性,除了確定兩段函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)以外,還需考慮分界點兩側(cè)的單調(diào)性,需要列出分界點處 66、的不等關(guān)系.
已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),其在定義域上為增函數(shù),且對任意實數(shù)x,y∈(0,+∞)都滿足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,試解不等式f(x)+f(x-2)<3.
分析:此題的關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值的大小關(guān)系,然后借助于函數(shù)的單調(diào)性再將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量取值的大小關(guān)系.
解:由題意得3=1+1+1=f(2)+f(2)+f(2)=f(4)+f(2)=f(8),即f(8)=3,
∴ f(x)+f(x-2)<3?f(x)+f(x-2)
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