(新課標(biāo))2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題七 選考部分 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 文 新人教A版

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1、第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 [做真題] 1.(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為2ρcos θ+ρsin θ+11=0. (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程; (2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值. 解:(1)因?yàn)椋?<≤1,且x2+=+=1,所以C的直角坐標(biāo)方程為x2+=1(x≠-1). l的直角坐標(biāo)方程為2x+y+11=0. (2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(α為參數(shù),-π<α<π). C上的點(diǎn)到l的距離為 =. 當(dāng)α=-時(shí),4cos+11取得最小值7,故C上的

2、點(diǎn)到l距離的最小值為. 2.(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)在極坐標(biāo)系中,O為極點(diǎn),點(diǎn)M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲線(xiàn)C:ρ=4sin θ上,直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直,垂足為P. (1)當(dāng)θ0=時(shí),求ρ0及l(fā)的極坐標(biāo)方程; (2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線(xiàn)段OM上時(shí),求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程. 解:(1)因?yàn)镸(ρ0,θ0)在曲線(xiàn)C上,當(dāng)θ0=時(shí),ρ0=4sin =2. 由已知得|OP|=|OA|cos =2. 設(shè)Q(ρ,θ)為l上除P的任意一點(diǎn).連接OQ, 在Rt△OPQ中,ρcos=|OP|=2. 經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)P在曲線(xiàn)ρcos=2上. 所以,l的極坐標(biāo)方程為ρcos=2.

3、 (2)設(shè)P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ. 因?yàn)镻在線(xiàn)段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范圍是. 所以,P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ,θ∈. [明考情] 1.坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一,高考考查的重點(diǎn)主要有兩個(gè)方面:一是簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程;二是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用. 2.全國(guó)卷對(duì)此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn),難度中等,備考此部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.    極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用(綜合型) [知識(shí)整合] 1.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法 點(diǎn)M

4、 直角坐標(biāo)(x,y) 極坐標(biāo)(ρ,θ) 互化 公式 2.圓的極坐標(biāo)方程 若圓心為M(ρ0,θ0),半徑為r,則圓的方程為: ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0. 幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程: (1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn),半徑為r:ρ=r. (2)當(dāng)圓心位于M(a,0),半徑為a:ρ=2acos θ. (3)當(dāng)圓心位于M(a,),半徑為a:ρ=2asin θ. 3.直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程 若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M(ρ0,θ0),且極軸到此直線(xiàn)的角為α,則它的方程為:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). 幾個(gè)特殊位置的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程: (1)直線(xiàn)過(guò)極點(diǎn):θ=θ

5、0和θ=π+θ0. (2)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸:ρcos θ=a. (3)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M(b,)且平行于極軸:ρsin θ=b. [典型例題] (2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)如圖,在極坐標(biāo)系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,π),弧,,所在圓的圓心分別是(1,0),,(1,π),曲線(xiàn)M1是弧,曲線(xiàn)M2是弧,曲線(xiàn)M3是弧. (1)分別寫(xiě)出M1,M2,M3的極坐標(biāo)方程; (2)曲線(xiàn)M由M1,M2,M3構(gòu)成,若點(diǎn)P在M上,且|OP|=,求P的極坐標(biāo). 【解】 (1)由題設(shè)可得,弧,,所在圓的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ. 所以

6、M1的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ,M2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ,M3的極坐標(biāo)方程為ρ=-2cos θ. (2)設(shè)P(ρ,θ),由題設(shè)及(1)知: 若0≤θ≤,則2cos θ=,解得θ=; 若≤θ≤,則2sin θ=,解得θ=或θ=; 若≤θ≤π,則-2cos θ=,解得θ=. 綜上,P的極坐標(biāo)為或或或. (1)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程的一般思路 曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程問(wèn)題通??衫没Q公式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系中的問(wèn)題求解,然后再次利用互換公式即可轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.熟練掌握互換公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵. (2)解決極坐標(biāo)問(wèn)題的一般思路 一是將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,求出交點(diǎn)的直角坐

7、標(biāo),再將其化為極坐標(biāo);二是將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程聯(lián)立,根據(jù)限制條件求出極坐標(biāo).  [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1.在極坐標(biāo)系中,已知圓O:ρ=cos θ+sin θ和直線(xiàn)l:ρsin=(ρ≥0,0≤θ<2π). (1)求圓O和直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程; (2)當(dāng)θ∈(0,π)時(shí),求直線(xiàn)l與圓O的公共點(diǎn)的極坐標(biāo). 解:(1)圓O:ρ=cos θ+sin θ, 即ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 故圓O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-x-y=0, 直線(xiàn)l:ρsin=, 即ρsin θ-ρcos θ=1, 則直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x-y+1=0. (2)由(1)知圓O與直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程,將兩方程

8、聯(lián)立得解得 即圓O與直線(xiàn)l在直角坐標(biāo)系下的公共點(diǎn)為(0,1),將(0,1)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為,即為所求. 2.(2019·安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)l1:x=0,圓C:(x-1)2+(y-1-)2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求直線(xiàn)l1和圓C的極坐標(biāo)方程; (2)若直線(xiàn)l2的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R),設(shè)l1,l2與圓C的公共點(diǎn)分別為A,B,求△OAB的面積. 解:(1)因?yàn)閤=ρcos θ,y=ρsin θ,x2+y2=ρ2, 所以直線(xiàn)l1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ=0, 即θ=(ρ∈R), 圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρc

9、os θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0. (2)設(shè)A(ρ1,)、B(ρ2,),將θ=代入ρ2-2ρcos θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0, 得ρ2-2(1+)ρ+3+2=0,解得ρ1=1+. 將θ=代入ρ2-2ρcos θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0, 得ρ2-2(1+)ρ+3+2=0,解得ρ2=1+. 故△OAB的面積為×(1+)2×sin=1+.    參數(shù)方程及其應(yīng)用(綜合型) [知識(shí)整合] 直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的普通方程和參數(shù)方程 點(diǎn)的軌跡 普通方程 參數(shù)方程 直線(xiàn) y-y0=tan α(x-x0) (t為參數(shù)) 圓 (x-x0

10、)2+(y-y0)2=r2 (θ為參數(shù)) 橢圓 +=1(a>b>0) (φ為參數(shù)) [典型例題] (2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2 θ+3ρ2sin2 θ=12,直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于M,N兩點(diǎn). (1)若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2,π),求|PM|·|PN|的值; (2)求曲線(xiàn)C的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值. 【解】 (1)由ρ2cos2 θ+3ρ2sin2 θ=12得x2+3y2=12,故曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為+=1,點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-2,0),

11、將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程+=1中, 得t2-t-4=0,設(shè)點(diǎn)M,N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 則|PM|·|PN|=|t1t2|=4. (2)由曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為+=1,可設(shè)曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)A(2cos α, 2sin α),0<α<. 則以A為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為4(2cos α+2sin α)=16sin,0<α<. 因此該內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值為16,當(dāng)且僅當(dāng)α=時(shí)取得最大值. (1)有關(guān)參數(shù)方程問(wèn)題的2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) ①參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù),要根據(jù)參數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化. ②利用參數(shù)方程解決問(wèn)題,關(guān)鍵是選準(zhǔn)參數(shù),理解參數(shù)的幾何意義. (2

12、)利用直線(xiàn)的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解問(wèn)題 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0),傾斜角為α的直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).若A,B為直線(xiàn)l上兩點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M,點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0,則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到: ①t0=. ②|PM|=|t0|=. ③|AB|=|t2-t1|. ④|PA|·|PB|=|t1·t2|.  [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1.(2018·高考全國(guó)卷Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),過(guò)點(diǎn)(0,-)且傾斜角為α的直線(xiàn)l與⊙O交于A,B兩點(diǎn). (1)求α的取值范圍; (2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程. 解:(

13、1)⊙O的普通方程為x2+y2=1. 當(dāng)α=時(shí),l與⊙O交于兩點(diǎn). 當(dāng)α≠時(shí),記tan α=k,則l的方程為y=kx-.l與⊙O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈. 綜上,α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為 . 設(shè)A,B,P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則tP=,且tA,tB滿(mǎn)足t2-2tsin α+1=0. 于是tA+tB=2sin α,tP=sin α. 又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿(mǎn)足 所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是 . 2.(2019·成都第一次診斷性檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸

14、的正半軸為極軸,且與直角坐標(biāo)系長(zhǎng)度單位相同的極坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是ρ=2sin. (1)求直線(xiàn)l的普通方程與曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)點(diǎn)P(0,-1),若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A,B兩點(diǎn),求|PA|+|PB|的值. 解:(1)將直線(xiàn)l的參數(shù)方程消去參數(shù)t并化簡(jiǎn), 得直線(xiàn)l的普通方程為x-y-1=0. 曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程可化為ρ2=2ρ, 即ρ2=2ρsin θ+2ρcos θ,所以x2+y2=2y+2x, 故曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+(y-1)2=2. (2)將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入(x-1)2+(y-1)2=2中, 得+=2, 化簡(jiǎn),得t2-(1+2

15、)t+3=0. 因?yàn)棣?0,所以此方程的兩根為直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的交點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)t1,t2. 由根與系數(shù)的關(guān)系,得t1+t2=2+1,t1t2=3,故t1,t2同正. 由直線(xiàn)的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,知|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=2+1.    極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用(綜合型) [典型例題] (2019·廣東六校第一次聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ2=2ρsin-1. (1)求直線(xiàn)l的普通方程和曲線(xiàn)C的直

16、角坐標(biāo)方程,并指明曲線(xiàn)C的形狀; (2)設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A,B兩點(diǎn),且|OA|<|OB|,求-. 【解】 (1)由消去參數(shù)t,得y=2x. 由ρ2=2ρsin-1,得ρ2-2ρcos θ-2ρsin θ+1=0, x2+y2-2x-2y+1=0, 即(x-1)2+(y-1)2=1. 所以直線(xiàn)l的普通方程為y=2x,曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+(y-1)2=1, 曲線(xiàn)C表示以(1,1)為圓心,1為半徑的圓. (2)將x=t,y=t代入x2+y2-2x-2y+1=0,得t2-t+1=0, 設(shè)點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2.則t1+t2=>0,t1t2=1>0,

17、所以t1>0,t2>0. 因?yàn)閨OA|<|OB|,所以->0, 所以-=-== ==. 解決極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合問(wèn)題應(yīng)關(guān)注的三點(diǎn) (1)對(duì)于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下,我們可以先化成直角坐標(biāo)的普通方程,這樣思路可能更加清晰. (2)對(duì)于一些運(yùn)算比較復(fù)雜的問(wèn)題,用參數(shù)方程計(jì)算會(huì)比較簡(jiǎn)潔. (3)利用極坐標(biāo)方程解決問(wèn)題時(shí),要注意題目所給的限制條件及隱含條件.  [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1.已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cos θ,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線(xiàn)l的參數(shù)方程是(t是參數(shù)). (1)將曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程化為直角

18、坐標(biāo)方程. (2)若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=, 求直線(xiàn)l的傾斜角α的值. 解:(1)因?yàn)棣裞os θ=x,ρsin θ=y(tǒng),ρ2=x2+y2, 所以曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程ρ=4cos θ可化為ρ2=4ρcos θ, 所以x2+y2=4x,所以(x-2)2+y2=4. (2)將代入圓的方程(x-2)2+y2=4得:(tcos α-1)2+(tsin α)2=4, 化簡(jiǎn)得t2-2tcos α-3=0. 設(shè)A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 則 所以|AB|=|t1-t2| ==, 因?yàn)閨AB|=, 所以=. 所以cos α=±. 因?yàn)棣痢剩驭粒?/p>

19、或α=π. 所以直線(xiàn)的傾斜角α=或α=π. 2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,傾斜角為α的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M(-2,-4).以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,且在兩坐標(biāo)系中長(zhǎng)度單位相同,曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρsin2 θ=2cos θ. (1)寫(xiě)出直線(xiàn)l的參數(shù)方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程; (2)若直線(xiàn)l與C交于A,B兩點(diǎn),且|MA|·|MB|=40,求傾斜角α的值. 解:(1)因?yàn)閮A斜角為α的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M(-2,-4), 所以直線(xiàn)l的參數(shù)方程是(t是參數(shù)). 因?yàn)榍€(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρsin2 θ=2cos θ, 所以ρ2sin2θ=2ρcos θ,所以曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方

20、程是y2=2x. (2)把直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入y2=2x,得t2sin2 α-(2cos α+8sin α)t+20=0,由題意知,Δ>0,設(shè)t1,t2為方程t2sin2α-(2cos α+8sin α)t+20=0的兩根, 則t1+t2=,t1t2=, 根據(jù)直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義知|MA|·|MB|=|t1t2|==40, 故α=或α=, 又Δ=(2cos α+8sin α)2-80sin2 α>0,所以α=. 1.已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是ρ=2,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)寫(xiě)出直線(xiàn)l的普通方程與曲線(xiàn)C的直角坐

21、標(biāo)方程; (2)設(shè)曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線(xiàn)C′,過(guò)點(diǎn)F(,0)作傾斜角為60°的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C′于A,B兩點(diǎn),求|FA|·|FB|.  解:(1)直線(xiàn)l的普通方程為2x-y+2=0, 曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4. (2)因?yàn)? 所以C′的直角坐標(biāo)方程為+y2=1. 易知直線(xiàn)AB的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 將直線(xiàn)AB的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C′:+y2=1, 得t2+t-1=0, 設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 則t1·t2=-, 所以|FA|·|FB|=|t1·t2|=. 2.(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知曲線(xiàn)C1:x2+(y-3)2=9,A是曲線(xiàn)C1上

22、的動(dòng)點(diǎn),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,以極點(diǎn)O為中心,將點(diǎn)A繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B,設(shè)點(diǎn)B的軌跡為曲線(xiàn)C2. (1)求曲線(xiàn)C1,C2的極坐標(biāo)方程; (2)射線(xiàn)θ=(ρ>0)與曲線(xiàn)C1,C2分別交于P,Q兩點(diǎn), 定點(diǎn)M(-4,0),求△MPQ的面積. 解:(1)曲線(xiàn)C1:x2+(y-3)2=9,把代入可得,曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為ρ=6sin θ. 設(shè)B(ρ,θ),則A, 則ρ=6sin(θ-)=-6cos θ. 所以曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為ρ=-6cos θ. (2)M到直線(xiàn)θ=的距離為d=4sin=2, 射線(xiàn)θ=與曲線(xiàn)C1的交點(diǎn)P, 射線(xiàn)θ=與曲

23、線(xiàn)C2的交點(diǎn)Q, 所以|PQ|=3-3, 故△MPQ的面積S=×|PQ|×d=3-3. 3.(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線(xiàn)C:ρsin2 θ=2acos θ(a>0),過(guò)點(diǎn)P(-2,-4)的直線(xiàn)l:(t為參數(shù))與曲線(xiàn)C相交于M,N兩點(diǎn). (1)求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)l的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的值. 解:(1)把代入ρsin2θ=2acos θ,得y2=2ax(a>0), 由(t為參數(shù)),消去t得x-y-2=0, 所以曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)l的普通方程

24、分別是y2=2ax(a>0),x-y-2=0. (2)將(t為參數(shù))代入y2=2ax,整理得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0. 設(shè)t1,t2是該方程的兩根,則t1+t2=2(4+a),t1·t2=8(4+a), 由題意知,|MN|2=|PM|·|PN|,所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1·t2=t1·t2,所以8(4+a)2-4×8(4+a)=8(4+a),所以a=1. 4.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),曲線(xiàn)C2的參數(shù)方程為(β為參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求曲線(xiàn)C1和曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程; (2)已知射線(xiàn)

25、l1:θ=α,將射線(xiàn)l1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線(xiàn)l2:θ=α-,且射線(xiàn)l1與曲線(xiàn)C1交于O,P兩點(diǎn),射線(xiàn)l2與曲線(xiàn)C2交于O,Q兩點(diǎn),求|OP|·|QQ|的最大值. 解:(1)曲線(xiàn)C1的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4, 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ, 曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=4, 所以C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin θ. (2)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ1,α), 即ρ1=4cos α,點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為, 即ρ2=4sin, 則|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=4cos α·4sin =16cos α· =8sin-4. 因?yàn)棣痢?,所?α-∈. 當(dāng)2

26、α-=,即α=時(shí),|OP|·|OQ|取最大值4. 5.(2019·石家莊市質(zhì)量檢測(cè))已知曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ,以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)原點(diǎn),以極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,將曲線(xiàn)C1向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再將得到的曲線(xiàn)上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的,縱坐標(biāo)保持不變,得到曲線(xiàn)C2. (1)求曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程; (2)已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),點(diǎn)Q為曲線(xiàn)C2上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)Q到直線(xiàn)l距離的最大值. 解:(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ, 所以曲線(xiàn)C1的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4. 設(shè)曲線(xiàn)C1上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),

27、變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x′,y′), 則即 代入曲線(xiàn)C1的直角坐標(biāo)方程(x-2)2+y2=4中,整理得x′2+=1, 所以曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程為x2+=1. (2)設(shè)Q(cos θ1,2sin θ1),由直線(xiàn)l的參數(shù)方程得直線(xiàn)l的普通方程為3x-2y-8=0,則Q到直線(xiàn)l的距離d==, 當(dāng)cos(θ1+α)=-1時(shí),d取得最大值,為, 所以點(diǎn)Q到直線(xiàn)l距離的最大值為. 6.(2019·洛陽(yáng)尖子生第二次聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ. (1)若曲線(xiàn)C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù))

28、, 求曲線(xiàn)C1的直角坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)C2的普通方程; (2)若曲線(xiàn)C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), A(0,1),且曲線(xiàn)C1與曲線(xiàn)C2的交點(diǎn)分別為P,Q,求+的取值范圍. 解:(1)ρ=2cos θ,則ρ2=2ρcos θ. 因?yàn)棣?=x2+y2,x=ρcos θ, 所以曲線(xiàn)C1的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0. 將曲線(xiàn)C2的參數(shù)方程消去參數(shù)α,可得曲線(xiàn)C2的普通方程為x2+(y-1)2=t2. (2)將C2的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入C1的方程x2+y2-2x=0得,t2+(2sin α-2cos α)t+1=0. 因?yàn)棣ぃ?2sin α-2cos α)2-4=8sin2-4>0, 所以sin2>,所以∈. 設(shè)P,Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2則t1+t2=-(2sin α-2cos α)=-2sin,t1·t2=1. 因?yàn)閠1·t2=1>0,所以t1,t2同號(hào), 所以|t1|+|t2|=|t1+t2|. 由t的幾何意義可得+=+===|t1+t2|=2, 所以+∈(2,2]. - 16 -

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