2022年高中數(shù)學必修四 2.1《平面向量的實際背景及基本概念》》導學案1

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1、2022年高中數(shù)學必修四 2.1《平面向量的實際背景及基本概念》》導學案1 【學習目標】 1．了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量. 2．通過對向量的學習，初步認識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別. 3．通過對向量與數(shù)量的識別能力的訓練，培養(yǎng)認識客觀事物的數(shù)學本質(zhì)的能力. 【導入新課】 情景設(shè)置： A B C D 如圖，老鼠由A向西北逃竄，貓在B處向東追去，設(shè)問：貓能否追到老鼠？（畫圖） 結(jié)論：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了. 分析：老鼠逃竄的

2、路線AC、貓追逐的路線BD實際上都是有方向、有長短的量. 引言：請同學指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？ 新授課階段 （一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量 （二）請同學閱讀課本后回答：（可制作成幻燈片） 1．數(shù)量與向量有何區(qū)別？ 2．如何表示向量？ 3．有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？ 4．長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？ 5．滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？ 6．有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系？ 7．如果把一組平行向量的起點全部移到一點O，這是它們是不

3、是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關(guān)系？ 注意： 1．數(shù)量與向量的區(qū)別： A(起點) B （終點） a 2.向量的表示方法： ①用 表示； ②用 （黑體，印刷用）等表示； ③ ； ④ . 3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素： . 向量與有向線段的區(qū)別

4、： （1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量； （2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段. 4．零向量、單位向量概念： ① 叫零向量，記作0. 0的方向是任意的. 注意0與0的含義與書寫區(qū)別. ② ，叫單位向量. 說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小. 5．平行向量定義： ① 叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行

5、. 說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，記作ａ∥ｂ∥ｃ. 6．相等向量定義： 叫相等向量. 說明：（1）向量ａ與ｂ相等，記作ａ＝ｂ；（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān). 7．共線向量與平行向量關(guān)系： 平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關(guān)）. 說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的

6、位置關(guān)系. 例1 書本86頁例1. 例2 判斷： （1）平行向量是否一定方向相同？（ ） （2）不相等的向量是否一定不平行？（ ） （3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（ ） （4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（ ） （5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？（ ） （6）兩個非零向量相等的當且僅當什么？（ ） （7）共線向量一定在同一直線上嗎？（ ） 例3 下列命題正確的是（ ） A.ａ與ｂ共線，ｂ與ｃ共線，則ａ與c也共線 B.任意兩個相等的非零向量的始點與終

7、點是一平行四邊形 的四頂點 C.向量ａ與ｂ不共線，則ａ與ｂ都是非零向量 D.有相同起點的兩個非零向量不平行 解析： 例4 如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量、、相等的向量. 變式一：與向量長度相等的向量有多少個？ 變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？ 變式三：與向量共線的向量有哪些？ 變式訓練： 1．判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由. ①向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上； ②單位向量都相等； ③任一向量與它的相反向量不相等； ④四邊形ABCD是平行四邊形當

8、且僅當＝ ⑤一個向量方向不確定當且僅當模為0； ⑥共線的向量，若起點不同，則終點一定不同. 解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上. ②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定. ③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的. ④、⑤正確.⑥不正確.如圖與共線，雖起點不同，但其終點卻相同. 課堂小結(jié) 1、 描述向量的兩個指標：模和方向. 2、 平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡單類比. 3、 向量的圖示，要標上箭頭和始點、終點. 作業(yè) 課本88頁習題2.1第3、5題 拓展提升 1．下列各

9、量中不是向量的是（ ） A.浮力 B.風速 C.位移 D.密度 2.下列說法中錯誤的是（ ） A.零向量是沒有方向的 B.零向量的長度為0 C.零向量與任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 3．把平面上一切單位向量的始點放在同一點,那么這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是（ ） A.一條線段 B.一段圓弧 C.圓上一群孤立點  D.一個單位圓 4．已知非零向量,若非零向量，則與必定 . 5．已知、是兩非零向量,且與不共線,若非零向量與共線,則與必定 . 6.設(shè)在平面上給定了一個四邊形ABCD,點K、

10、L、M、N分別是AB、BC、CD、DA的中點,則 參考答案 1、數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大小；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小. A(起點) B （終點） a 2.向量的表示方法： ① 有向線段 ② 字母ａ、ｂ ③有向線段的起點與終點字母：； ④向量的模，記作||. 3.起點、方向、長度. 4．零向量、單位向量概念： ①長度為0的向量 ②長度為1個單位長度的向量 5．平行向量定義： ①方向相同或相反的非零向量 6．相等向量定義：長度相等且方向相同的向量 例1 書本86頁例1. 例2 （1

11、） （不一定） （2） （不一定） （3） （零向量） （4） （零向量） （5） （平行向量） （6） （長度相等且方向相同） （7） （不一定） 例3 解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關(guān)，所以Ｄ不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若ａ與ｂ不都是非零向量，即ａ與ｂ至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有ａ與ｂ共線，不符合已知條件，所以有ａ與ｂ都是非零向量，所以應(yīng)選C. 例4 變式一： （11個） 變式二： （存在） 變式三： （） 變式訓練 解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上. ②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定. ③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的. ④、⑤正確.⑥不正確.如圖與共線，雖起點不同，但其終點卻相同. 拓展提升 1.D 2.A 3.D 4.平行 5.不共線6. ，