2022年高中數(shù)學(xué)必修四 2.3《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》導(dǎo)學(xué)案1

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1、2022年高中數(shù)學(xué)必修四 2.3《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》導(dǎo)學(xué)案1 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．了解平面向量基本定理； 2．理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法； 3．能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá). 【導(dǎo)入新課】 復(fù)習(xí)引入： 1． 實(shí)數(shù)與向量的積 實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，記作：λ.（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0時(shí)，λ與方向相同；λ<0時(shí)，λ與方向相反；λ=0時(shí)，λ=. 2．運(yùn)算定律 結(jié)合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ， λ(+)=λ+λ.

2、 3. 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使=λ. 新授課階段 一、平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2. 探究： (1) 我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底； (2) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線； (3) 由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解； (4)基底給定時(shí)，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量. 二、平面向量的坐標(biāo)表示 如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向

3、量、作為基底.任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得 …………○1 我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作 …………○2 其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，○2式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為. 特別地，，，. 如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作，則點(diǎn)的位置由唯一確定. 設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn)的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示. 三、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 （1）若，，則，.兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差. 設(shè)基底為、，則，即，同理可得.

4、 （2）若，，則. 一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo). =-=( x2，y2) -(x1，y1)= (x2- x1，y2- y1). （3）若和實(shí)數(shù)，則. 實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo). 設(shè)基底為、，則，即. 例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐標(biāo). 例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐標(biāo). 例3 已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn). 解： 例4 已知三個(gè)力(3，4)，(

5、2， -5)， (x， y)的合力++=，求的坐標(biāo). 解： 例5 已知=(2,1), =(－3,4),求 ＋，－，3＋4的坐標(biāo). 解： 例6 已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2，1）、（-1，3）（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。 解： 例7 經(jīng)過點(diǎn)的直線分別交軸、軸于點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo). 解： 例8 已知三點(diǎn)，若，試求實(shí)數(shù)的取值范圍，使落在第四象限. 解： 例9 已知向量，問是否存在實(shí)數(shù)同時(shí)滿足兩個(gè)條件：？如果存在，求出的值；如

6、果不存在，請(qǐng)說明理由. 解： 課堂小結(jié) （1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念； （2）掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算； （3）會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線. 作業(yè) 見同步練習(xí) 拓展提升 1.設(shè)是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，不能以下各組向量中作為基底的是（ ） A. ， B. +， C. ，2 D.，+ 2. 設(shè)是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則以下各組向量中，不能作為基底的是（ ） A. +和- B. 3-2和4-6 C. +2和2+ D.

7、+和 3. 已知不共線， =+，=4 +2，并且，共線，則下列各式正確的是（ ） A. =1， B. =2， C. =3， D. =4 4.設(shè)=+5，=-2+8，=3-3，那么下列各組的點(diǎn)中三點(diǎn)一定共線的是（ ） A. A，B，C B.　A，C，D C.　A，B，D D.?。拢?，Ｄ ５．下列說法中，正確的是（　?。? ①一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；　　　　　　?、谝粋€(gè)平面內(nèi)有無數(shù)多對(duì)不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；　　　　　?、哿阆蛄坎?/p>

8、可作為基底中的向量。 Ａ．①②　　　?。拢佗邸　　　。茫冖邸　　　。蘑佗冖? ６．已知是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列兩個(gè)結(jié)論中正確的是（　?。? ①+（，為實(shí)數(shù)）可以表示該平面內(nèi)所有向量；②若有實(shí)數(shù)，使+＝，則＝＝０。 Ａ．①　　?。拢凇　　。茫佗凇　　。模陨隙疾粚?duì) ７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ邊上的中線，若＝，＝，則＝（　　） Ａ．（ － ）　　?。拢。?－ ） Ｃ．－（ ＋）　　?。模?＋） ８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六邊形，＝，＝，則＝（　?。? Ａ．（ － ）　　　Ｂ．?。?－ ） Ｃ．＋　　　 Ｄ．（ ＋） ９．如果３+４＝，２+３＝

9、，其中，為已知向量，則＝　　　，＝　　　　　　　　。 １０．已知是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，且＝２+ｋ，＝+３，＝２－，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三點(diǎn)共線，則ｋ的值為　　　　　。 １１．當(dāng)ｋ為何值時(shí)，向量＝４+２，＝ｋ＋共線，其中、是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量。 １２．已知：、是不共線的向量，當(dāng)ｋ為何值時(shí)，向量＝ｋ+與＝＋ｋ共線？ 參考答案 例3 解：當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí)，由得D1=(2，2) 當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí)，得D2=(4， 6)，當(dāng)平行四邊形為DACB時(shí)，得D3=(-6，0) 例4 解：由題設(shè)++=,得：(3，4)+ (2，-5)+(x

10、，y)=(0，0) 即： ∴ ∴(-5，1) 例5 解：＋＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)， －＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)， 3＋4＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19). 點(diǎn)評(píng)：利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則直接求解。 例6 解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x,y）, 即 3- x=1,4-y=2. 解得 x=2,y=2. 所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）. 另解：由平行四邊形法則可得 例7 解：由題設(shè)知，三點(diǎn)共線，且，設(shè)， ①點(diǎn)在之間，則有， ∴. 解之得：， 點(diǎn)的坐標(biāo)分別為. ②點(diǎn)不在之間，則有，同理，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， . 綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或，. 例8. 解：設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)得， ∴， 要使落在第四象限，則， 解之得. 例9 解：假設(shè)滿足條件的實(shí)數(shù)存在，則有解之得： ∴滿足條件的實(shí)數(shù). 拓展提升 1.C 2.B 3.B 4.C 5.C 6.C 7.D 8.D 9. 10.－8 11.②③⑤ 12.k=2