2022年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 平面向量教學(xué)案

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1、2022年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 平面向量教學(xué)案 考綱指要： 重點(diǎn)考察向量的概念、向量的幾何表示、向量的加減法、實(shí)數(shù)與向量的積、兩個(gè)向量共線的充要條件、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等。 考點(diǎn)掃描： 1．向量的概念：①向量；②零向量；③單位向量；④平行向量（共線向量）；⑤相等向量。 2．向量的運(yùn)算：（1）向量加法；（2）向量的減法；（3）實(shí)數(shù)與向量的積。 3．基本定理：（1）兩個(gè)向量共線定理；（2）平面向量的基本定理。 4．平面向量的坐標(biāo)表示。 5．向量的數(shù)量積：（1）兩個(gè)非零向量的夾角；（2）數(shù)量積的概念；（3）數(shù)量積的幾何意義；（4）向量數(shù)量積的性質(zhì)；（5）兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；（6

2、）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥。 6．向量的應(yīng)用：（1）向量在幾何中的應(yīng)用；（2）向量在物理中的應(yīng)用。 考題先知： 例1． 已知二次函數(shù)f（x）＝x2－2x＋6，設(shè)向量a＝（sinx，2），b＝（2sinx，）， c＝（cos2x，1），d＝（1，2）．當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，不等式f（a·b）>f（c·d）的解集為___________． 解：a·b＝2sin2x＋1≥1， c·d＝cos2x＋1≥1 ，f（x）圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱， ∴f（x）在（1，＋∞）內(nèi)單調(diào)遞增． 由f（a·b）>f（c·d）a·b>c·d，即2sin2x＋1>2cos2x＋1，

3、 又∵x∈[0，π] ，∴x∈（）．故不等式的解集為（）． 例2．求函數(shù)的值域. 分析：由于向量溝通了代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，因此本題利用向量的有關(guān)知識(shí)求函數(shù)的值域。 解:因?yàn)椋? 所以構(gòu)造向量,,則,而, 所以,得, 另一方面:由,得, 所以原函數(shù)的值域是. 點(diǎn)評(píng)：在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如等。 類比一：已知，求的最值。 解：已知等式可化為，而，所以構(gòu)造向量，則，從而最大值為42，最小值為8。 類比二：計(jì)算之值。 解：構(gòu)造單位圓的內(nèi)接正五邊形ABCDE，使，， ，，，則可證 ,從而原式=0 類比三：已知實(shí)數(shù)滿足，求證：

4、。 解：構(gòu)造空間向量,即可。 復(fù)習(xí)智略： 例3．在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A（0，－1），B（0, 1）平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足① , ②= = ③∥ （1）求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程 （2）設(shè)P、Q、R、N都在曲線E上 ，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（, 0） ，已知∥ , ∥且·= 0.求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值. 解：（1）設(shè)C ( x , y )， ,由①知, G為 △ABC的重心 ， G(,) 由②知M是△ABC的外心，M在x軸上 由③知M（，0）， 由 得 化簡(jiǎn)整理得：（x≠0 ） （2）F（，0

5、）恰為的右焦點(diǎn) 設(shè)PQ的斜率為k≠0且k≠±，則直線PQ的方程為y = k ( x －) 由 設(shè)P(x1 , y1) ，Q (x2 ,y2 ) 則x1 + x2 = , x1·x2 = 則| PQ | = · = · = RN⊥PQ,把k換成得 | RN | = S =| PQ | · | RN |= =) ≥2 ， ≥16≤ S < 2 ， (當(dāng) k = ±1時(shí)取等號(hào)) 又當(dāng)k不存在或k = 0時(shí)S = 2 綜上可得 ≤ S ≤ 2

6、 Smax = 2 ， Smin = 檢測(cè)評(píng)估： 1．設(shè)為單位向量，（1）若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則=||·;(2)若與a0平行，則=||·；（3）若與平行且||=1，則=。上述命題中，假命題個(gè)數(shù)是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，且，則 =（ ） A。 B。 C。 D。 3．設(shè)點(diǎn)O(0,0)、A(1,0)、B（0,1），點(diǎn)P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） (A). (B). (C). (D). 4．已知雙曲線的左右兩焦點(diǎn)分別為，是雙曲線右

7、支上的一點(diǎn)， 點(diǎn)滿足，在上的投影的大小恰為，且它們的夾角為，則等于 A． B． C． D． 5．已知向量，當(dāng)時(shí)，求的集合（ ）A。 B。 C。 D。 6．已知|a|=，|b|=3，a與b夾角為，求使向量a+b?與a+b的夾角是銳角時(shí)，則的取值范圍是 7．設(shè)且，則的最小值等于 8．已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，其中點(diǎn)A、B、C不共線，動(dòng)點(diǎn)P滿足，其中。則________-（填空內(nèi)心、外心、垂心、重心之一）。 9．已知，其中。若與（）的長(zhǎng)度相等，則=

8、 。 10,設(shè)平面上的向量滿足關(guān)系,,又設(shè)與的模為1,且互相 垂直,則與的夾角為 . 11．設(shè)軸、軸正方向上的單位向量分別是、，坐標(biāo)平面上點(diǎn)、分別滿足下列兩個(gè)條件： ①且＝＋；②且＝． （1）求及的坐標(biāo)； （2）若四邊形的面積是，求的表達(dá)式； （3）對(duì)于（2）中的，是否存在最小的自然數(shù)M，對(duì)一切都有＜M成立？若存在，求M；若不存在，說明理由． 12. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量 |動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)滿足下列三個(gè)條件： （1）· (3)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C經(jīng)過點(diǎn)B（0，-1）. （Ⅰ）求曲線C的方程； （Ⅱ）是否存在

9、方向向量為m=(1,k)(k≠0)的直線l，l與曲線C相交于M、N兩點(diǎn)，使|60°？若存在，求出k值，并寫出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由. 點(diǎn)撥與全解： 1．解：向量是既有大小又有方向的量，與||模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命題；若與平行，則與方向有兩種情況：一是同向二是反向，反向時(shí)=－||，故（2）、（3）也是假命題。綜上所述，答案選D。 2．解：易知，所以。故選B。 3．解：因點(diǎn)，原不等式化為，又知，故選B。 4．解：因?yàn)?，所以是一?duì)同向向量，且． 又因?yàn)樵谏系耐队暗拇笮∏?，所以? 在中，又， 所以，所以，故選A． 5．解：由得，，故選B

10、。 6．解：∵ |a|=，|b|=3 ，a與b夾角為∴ 而（a+b）·（a+b）= 要使向量a+b?與a+b的夾角是銳角，則（a+b）·（a+b）>0 即 從而得 7．解：構(gòu)造向量，則由得。 8．由已知等式得：，可證 ，從而，所以動(dòng)點(diǎn)P有軌跡一定經(jīng)過的垂心。 9．解：， ， 所以， ， 因?yàn)椋? 所以， 有， 因?yàn)?，故? 又因?yàn)椋? 所以。 a b 1 10, 由已知解得, 由 可得的值. 11．解：（1）． ． （2） ． （3） ． ∴ ，，．

11、， ，，等等． 即在數(shù)列中，是數(shù)列的最大項(xiàng)，所以存在最小的自然數(shù)，對(duì)一切，都有＜M成立． 12.(1)∵| ∴ 由 由（1）、（2）可知點(diǎn)P到直線x=再由橢圓的第二定義可知，點(diǎn)P的軌跡是橢圓，橢圓C的方程為： 由（3）可知b=1，∴a2=b2+c2=1+2=3. ∴橢圓C的方程為:y= （2）設(shè)直線l的方程為:y=kx+m， x1+x2=- Δ=36k2m2-12(m2-1)(1+3k2)=12[3k2-m2+1]＞0 ① 線段MN的中點(diǎn)G（x0,y0），　 x0= 線段MN的垂直平分線的方程為：y- ∵|∴線段MN的垂直平分線過B（0，-1）點(diǎn)， ∴-1-∴m=② ②代入①，得3k2-(③ ∵|°，∴△BMN為等邊三角形， ∴點(diǎn)B到直線MN的距離d= |MN|= = ∴ 解得k2=③式.代入②，得m= 直線l的方程為：y=