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1、湖南省2022年中考數學總復習 第二單元 方程（組）與不等式（組）課時訓練08 一元二次方程及其應用練習
08
一元二次方程及其應用
限時:30分鐘
夯實基礎
1.將一元二次方程4x2+7=3x化成一般式后,二次項系數和一次項系數分別為 ( )
A.4,3 B.4,7
C.4,-3 D.4x2,-3x
2.一元二次方程x2-6x-5=0配方后可變形為 ( )
A.(x-3)2=14 B.(x-3)2=4
C.(x+3)2=14 D.(x+3)2=4
3.若關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為-1,則另一個根為 ( )
A.-2 B
2、.2
C.4 D.-3
4.[xx·大連] 如圖K8-1,有一張矩形紙片,長10 cm,寬6 cm,在它的四角各減去一個同樣的小正方形,然后折疊成一個無蓋的長方體紙盒.若紙盒的底面(圖中陰影部分)面積是32 cm2,求剪去的小正方形的邊長.設剪去的小正方形邊長是x cm,根據題意可列方程為 ( )
A.10×6-4×6x=32
B.(10-2x)(6-2x)=32
C.(10-x)(6-x)=32 圖K8-1
D.10×6-4x2=32
5.[xx·湘潭] 若一元二次方程x
3、2-2x+m=0有兩個不相同的實數根,則實數m的取值范圍是 ( )
A.m≥1 B.m≤1
C.m>1 D.m<1
6.[xx·仙桃] 若α,β為方程2x2-5x-1=0的兩個實數根,則2α2+3αβ+5β的值為 ( )
A.-13 B.12 C.14 D.15
7.[xx·淮安] 一元二次方程x2-x=0的根是 .?
8.[xx·南京] 設x1,x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個根,且x1+x2=1,則x1= ,x2= .?
9.[xx·梧州] 解方程:2x2-4x-30=0.
10.[xx
4、·十堰] 已知關于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有實數根.
(1)求k的取值范圍;
(2)若此方程的兩實數根x1,x2滿足+=11,求k的值.
11.[xx·綏化] 已知關于x的一元二次方程x2-5x+2m=0有實數根.
(1)求m的取值范圍;
(2)當m=時,方程的兩根分別是矩形的長和寬,求該矩形外接圓的直徑.
能力提升
12.[xx·泰安] 一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情況是 ( )
A.無實數根
B.有一個正根,一個負根
C.有兩個正根,且都小于3
D.有兩個正根,
5、且有一根大于3
13.[xx·濰坊] 定義[x]表示不超過實數x的最大整數,如[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3.函數y=[x]的圖象如圖K8-2所示,則方程[x]=x2的解為( )
A.0或 B.0或2
C.1或- D.或- 圖K8-2
14.[xx·瀘州] 已知x1,x2是一元二次方程x2-2x-1=0的兩實數根,則+的值是 .?
15.如圖K8-3,已知一艘輪船以20海里/時的速度由西向東航行,途中接到臺風警報,臺風中心正以40海里/時的速度由南向
6、北移動,距臺風中心20海里的圓形區(qū)域(包括邊界)都屬臺風區(qū).當輪船到A處時,測得臺風中心移到位于點A正南方向B處,且AB=100海里,若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行,在途中會不會遇到臺風?若會,試求輪船最初遇到臺風的時間;若不會,請說明理由.
圖K8-3
16.[xx·江漢] 已知關于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0.
(1)若該方程有兩個實數根,求m的最小整數值;
(2)若方程的兩個實數根為x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.
17.[xx·東營] 關于x的方程2x2-5xsi
7、nA+2=0有兩個相等的實數根,其中∠A是銳角三角形ABC的一個內角.
(1)求sinA的值;
(2)若關于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的兩個根恰好是△ABC的兩邊長,求△ABC的周長.
拓展練習
18.[xx·福建A卷] 已知關于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+a+1=0有兩個相等的實數根.下列判斷正確的是 ( )
A.1一定不是關于x的方程x2+bx+a=0的根
B.0一定不是關于x的方程x2+bx+a=0的根
C.1和-1都是關于x的方程x2+bx+a=0的根
D.1和-1不都是關于x的方程x2+bx+a=0的根
8、
參考答案
1.C 2.A 3.A 4.B 5.D 6.B
7.x1=0,x2=1 8.-2,3
9.解:∵2x2-4x-30=0,∴x2-2x-15=0,
∴(x-5)(x+3)=0.
∴x1=5,x2=-3.
10.解:(1)∵關于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有實數根,
∴Δ≥0,
即[-(2k-1)]2-4×1×(k2+k-1)=-8k+5≥0.
解得k≤.
(2)由根與系數的關系,可得x1+x2=2k-1,x1x2=k2+k-1,
∴+=(x1+x2)2-2x1x2=(2k-1)2-2(k2+k-1)=2k2-6k+3.
∵+
9、=11,
∴2k2-6k+3=11,解得k=-1或k=4.
∵k≤,
∴k=4舍去.
∴k=-1.
11.解:(1)∵方程x2-5x+2m=0有實數根,
∴Δ=(-5)2-4×2m≥0.
∴m≤.
∴當m≤時,原方程有實數根.
(2)當m=時,原方程可化為x2-5x+5=0,
設方程的兩個根分別為x1,x2,則x1+x2=5,x1·x2=5.
∴該矩形對角線長為===.
∴該矩形外接圓的直徑是.
12.D [解析] 根據x2-4x+2=0,解得x1=2+,x2=2-,故選D.
13.A [解析] 當1≤x<2時,x2=1,解得x1=,x2=-(舍);當0≤x<1時,
10、x2=0,x=0;當-1≤x<0時,x2=-1,方程沒有實數解;當-2≤x<-1時,x2=-2,方程沒有實數解.所以方程[x]=x2的解為0或.
14.6 [解析] 由根與系數的關系可得x1+x2=2,x1x2=-1,原式====6.
15.解:設途中會遇到臺風,且最初遇到的時間為t時,
此時輪船位于C處,臺風中心移到E處,如圖.
連接CE,則AC=20t,AE=AB-BE=100-40t,
AC2+AE2=EC2.
∴(20t)2+(100-40t)2=(20)2,
即400t2+10000-8000t+1600t2=4000.
∴t2-4t+3=0,(t-1)(t-3)
11、=0.
解得t1=1,t2=3(不合題意,舍去).
答:輪船在途中會遇到臺風,最初遇到的時間為離開A處1小時.
16.解:(1)∵方程有兩個實數根,∴Δ=(2m+1)2-4×1×(m2-2)=4m+9.
∵Δ≥0,∴4m+9≥0,m≥-.
∴m的最小整數值為-2.
(2)∵方程的兩個實數根為x1,x2,
∴x1+x2=-(2m+1),x1·x2=m2-2.
又∵(x1-x2)2+m2=21,
∴(x1+x2)2-4x1·x2+m2=21.
∴[-(2m+1)]2-4(m2-2)+m2=21.
∴m1=2,m2=-6.
∵m≥-時,方程有兩個實數根,∴m=2.
17.解
12、:(1)∵關于x的方程有兩個相等的實數根,
∴Δ=25sin2A-16=0.∴sin2A=.
∴sinA=±.
∵∠A為銳角,∴sinA=.
(2)∵y2-10y+k2-4k+29=0,
∴(y-5)2+(k-2)2=0.
∴k=2,y1=y2=5.
∴△ABC是等腰三角形,且腰長為5.
分兩種情況:
①∠A是頂角時,如圖,AB=AC=5,過點B作BD⊥AC于點D.
在Rt△ABD中,∵sinA=,∴BD=4,AD=3.
∴DC=2.∴BC=2.
∴△ABC的周長為10+2.
②∠A是底角時,如圖,BA=BC=5,過點B作BD⊥AC于點D.
在Rt△ABD中
13、,∵sinA=,
∴BD=4,AD=DC=3,∴AC=6.
∴△ABC的周長為16.
綜上,△ABC的周長為10+2或16.
18.D [解析] 因為關于x的方程(a+1)x2+2bx+a+1=0有兩個相等的實數根,所以Δ=0.所以4b2-4(a+1)2=0,(b+a+1)(b-a-1)=0.解得a-b+1=0或a+b+1=0.所以1是關于x的方程x2+bx+a=0的根,或-1是關于x的方程x2+bx+a=0的根;另一方面,若1和-1都是關于x的方程x2+bx+a=0的根,則必有解得此時有a+1=0,這與已知(a+1)x2+2bx+a+1=0是關于x的一元二次方程相矛盾,所以1和-1不都是關于x的方程x2+bx+a=0的根.故選D.
湖南省2022年中考數學總復習 第二單元 方程（組）與不等式（組）課時訓練08 一元二次方程及其應用練習
