(新課標)2020版高考數(shù)學二輪復習 第三部分 教材知識 重點再現(xiàn) 回顧2 函數(shù)與導數(shù)學案 文 新人教A版
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1、回顧2 函數(shù)與導數(shù) [必記知識] 函數(shù)的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì),對于定義域內(nèi)的任意x(定義域關于原點對稱),都有f(-x)=-f(x)成立,則f(x)為奇函數(shù)(都有f(-x)=f(x)=f(|x|)成立,則f(x)為偶函數(shù)). (2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì),一般地,對于函數(shù)f(x),如果對于定義域內(nèi)的任意一個x的值: 若f(x+T)=f(x)(T≠0),則f(x)是周期函數(shù),T是它的一個周期. 指數(shù)與對數(shù)式的運算公式 am·an=am+n;(am)n=amn;(ab)m=ambm(a,b>0). loga(MN)=logaM+l
2、ogaN;loga=logaM-logaN;logaMn=nlogaM;alogaN=N;logaN=(a>0且a≠1,b>0且b≠1,M>0,N>0). 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的對比區(qū)分表 解析式 y=ax(a>0且a≠1) y=logax(a>0且a≠1) 圖象 定義域 R (0,+∞) 值域 (0,+∞) R 單調(diào)性 01時,在R上是增函數(shù) 01時,在(0,+∞)上是增函數(shù) 方程的根與函數(shù)的零點 (1)方程的根與函數(shù)零點的關系 由函數(shù)零點的定義,可知函數(shù)y=f(x)的零點就
3、是方程f(x)=0的實數(shù)根,也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標.所以,方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y=f(x)有零點. (2)函數(shù)零點的存在性 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的實數(shù)根. 導數(shù)公式及運算法則 (1)基本導數(shù)公式 c′=0(c為常數(shù)); (xm)′=mxm-1(m∈Q); (sin x)′=cos x; (cos x)′=-sin x
4、; (ax)′=axln a(a>0且a≠1);(ex)′=ex; (logax)′=(a>0且a≠1);(ln x)′=. (2)導數(shù)的四則運算 (u±v)′=u′±v′; (uv)′=u′v+uv′; ′=(v≠0). 導數(shù)與極值、最值 (1)函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)=0且f′(x)在x0附近“左正右負”?f(x)在x0處取極大值;函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)=0且f′(x)在x0附近“左負右正”?f(x)在x0處取極小值. (2)函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極值與其端點值中的“最大值”;函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最小值是
5、此函數(shù)在此區(qū)間上的極值與其端點值中的“最小值”. [必會結論] 函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的重要結論 (1)當f(x),g(x)同為增(減)函數(shù)時,f(x)+g(x)則為增(減)函數(shù). (2)奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調(diào)性. (3)f(x)為奇函數(shù)?f(x)的圖象關于原點對稱;f(x)為偶函數(shù)?f(x)的圖象關于y軸對稱. (4)偶函數(shù)的和、差、積、商是偶函數(shù),奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù),積、商是偶函數(shù),奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商是奇函數(shù). (5)定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù)的圖象必過原點即有f(0)=0.存在既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)的函數(shù)f
6、(x)=0. (6)f(x)+f(-x)=0?f(x)為奇函數(shù); f(x)-f(-x)=0?f(x)為偶函數(shù). 函數(shù)的周期性的重要結論 周期函數(shù)y=f(x)滿足: (1)若f(x+a)=f(x-a),則函數(shù)的周期為2|a|. (2)若f(x+a)=-f(x),則函數(shù)的周期為2|a|. (3)若f(x+a)=-,則函數(shù)的周期為2|a|. (4)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),其圖象關于直線x=a對稱,則其周期為2|a|. (5)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),其圖象關于直線x=a對稱,則其周期為4|a|. 函數(shù)圖象對稱變換的相關結論 (1)y=f(x)的圖象關于y軸對稱的圖象是函數(shù)y=
7、f(-x)的圖象. (2)y=f(x)的圖象關于x軸對稱的圖象是函數(shù)y=-f(x)的圖象. (3)y=f(x)的圖象關于原點對稱的圖象是函數(shù)y=-f(-x)的圖象. (4)y=f(x)的圖象關于直線y=x對稱的圖象是函數(shù)y=f-1(x)的圖象. (5)y=f(x)的圖象關于直線x=m對稱的圖象是函數(shù)y=f(2m-x)的圖象. (6)y=f(x)的圖象關于直線y=n對稱的圖象是函數(shù)y=2n-f(x)的圖象. 函數(shù)圖象平移變換的相關結論 (1)把y=f(x)的圖象沿x軸向左或向右平移|c|個單位長度(c>0時向左平移,c<0時向右平移)得到函數(shù)y=f(x+c)的圖象(c為常數(shù)).
8、 (2)把y=f(x)的圖象沿y軸向上或向下平移|b|個單位長度(b>0時向上平移,b<0時向下平移)得到函數(shù)y=f(x)+b的圖象(b為常數(shù)). 函數(shù)圖象伸縮變換的相關結論 (1)把y=f(x)的圖象上各點的縱坐標伸長(a>1)或縮短(00)的圖象. (2)把y=f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長(01)到原來的倍,而縱坐標不變,得到函數(shù)y=f(bx)(b>0)的圖象. 常見抽象函數(shù)的性質(zhì)與對應的特殊函數(shù)模型的對照表 抽象函數(shù)的性質(zhì) 特殊函數(shù)模型 ①f(x+y)=f(x)+f(y)(x
9、∈R,y∈R); ②f(x-y)=f(x)-f(y)(x∈R,y∈R) 正比例函數(shù)f(x)=kx(k≠0) ①f(x)f(y)=f(x+y)(x,y∈R); ②=f(x-y)(x,y∈R,f(y)≠0) 指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1) ①f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0); ②f()=f(x)-f(y)(x>0,y>0) 對數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1) ①f(xy)=f(x)f(y)(x,y∈R); ②f()=(x,y∈R,y≠0) 冪函數(shù)f(x)=xn 可導函數(shù)與極值點之間的三種關系 (1)定義域D上的可導函數(shù)f(x)在x=
10、x0處取得極值的充要條件是f′(x0)=0,并且f′(x)在x=x0兩側異號,若“左負右正”,則x=x0為極小值點,若“左正右負”,則x=x0為極大值點. (2)函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值時,它在這點的導數(shù)不一定存在,例如函數(shù)y=|x|,結合圖象知它在x=0處有極小值,但它在x=0處的導數(shù)不存在. (3)“f′(x0)=0”是“函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值”的既不充分也不必要條件,要注意對極值點進行檢驗. [必練習題] 1.已知函數(shù)f(x)=若f(a)=3,則f(a-2)=( ) A.- B.3 C.-或3 D.-或3 解析:選A.當a>0時,若f
11、(a)=3,則log2a+a=3,解得a=2(滿足a>0);當a≤0時,若f(a)=3,則4a-2-1=3,解得a=3,不滿足a≤0,所以舍去.于是,可得a=2.故f(a-2)=f(0)=4-2-1=-.故選A.
2.(2019·貴州省適應性考試)若log2a=0.3,0.3b=2,c=0.32,則實數(shù)a,b,c之間的大小關系為( )
A.a(chǎn)>b>c B.a(chǎn)>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
解析:選B.根據(jù)題意有a=20.3,b=log0.32,c=0.32,又20.3>20=1,log0.32
12、9·濟南市學習質(zhì)量評估)函數(shù)y=-ln|x|的圖象大致為( ) 解析:選D.令f(x)=y(tǒng)=-ln|x|,則f(-x)=f(x),故函數(shù)為偶函數(shù),排除選項B;當x>0且x→0時,y→+∞,排除選項A;當x=2時,y=1-ln 2<1-ln e=0,排除選項C.故選D. 4.(2019·江西七校第一次聯(lián)考)設f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù),如圖表示該函數(shù)在區(qū)間(-2,1]上的圖象,則f(2 018)+f(2 019)=( ) A.2 B.1 C.-1 D.0 解析:選C.因為函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù),所以f(2 018)=f(2 0
13、18-673×3)=f(-1),f(2 019)=f(2 019-673×3)=f(0),由題中圖象知f(-1)=-1,f(0)=0,所以f(2 018)+f(2 019)=f(-1)+f(0)=-1. 5.(2019·濟南市模擬考試)已知函數(shù)f(x)=cos(2x-)++1,則f(x)的最大值與最小值的和為( ) A.0 B.1 C.2 D.4 解析:選C.由已知得f(x)=sin 2x++1,因為y=sin 2x,y=都為奇函數(shù),所以不妨設f(x)在x=a處取得最大值,則根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知,f(x)在x=-a處取得最小值,故f(a)+f(-a)=sin 2a++1+s
14、in(-2a)++1=2.選C. 6.已知R上的奇函數(shù)f(x)滿足:當x<0時,f(x)=log2(1-x),則f(f(1))=________. 解析:因為f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x).當x>0時,-x<0,f(-x)=log2(1+x)=-f(x),故f(x)=-log2(1+x),f(1)=-log2(1+1)=-1,f(f(1))=f(-1)=log22=1. 答案:1 7.若函數(shù)f(x)=ax+b,x∈[a-4,a]的圖象關于原點對稱,則函數(shù)g(x)=bx+,x∈[-4,-1]的值域為________. 解析:由函數(shù)f(x)在[a-4,a]的圖象關于原點對稱
15、,可得a-4+a=0,即a=2,則函數(shù)f(x)=2x+b,其定義域為[-2,2],所以f(0)=0,所以b=0,所以g(x)=,易知g(x)在[-4,-1]上單調(diào)遞減,故值域為[g(-1),g(-4)],即. 答案: 8.已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=則函數(shù)y=f(f(x))-1零點的個數(shù)為________. 解析:函數(shù)y=f(f(x))-1零點的個數(shù)等價于方程f(f(x))=1實數(shù)根的個數(shù),令μ=f(x),則f(μ)=1.方程f(μ)=1有3個實數(shù)根,且μ1=-,μ2=0,μ3=.方程μ1=f(x)有2個實數(shù)根,方程μ2=f(x)有2個實數(shù)根,方程μ3=f(x
16、)有4個實數(shù)根,故函數(shù)y=f(f(x))-1有8個零點. 答案:8 9.已知函數(shù)f(x)=ax2-x+ln x(a>0). (1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為2,求a的值及在該點處的切線方程; (2)若f(x)是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍. 解:(1)f′(x)=2ax-1+, 易知f′(1)=2a=2,得a=1, 則f(1)=0, 所以所求切線方程為y=2(x-1),即2x-y-2=0. (2)f′(x)=,x∈(0,+∞), 當f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)時,有f′(x)≥0,即2ax2-x+1≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,所以2a≥=-+, 令=t
17、,t>0,則2a≥-t2+t,t∈(0,+∞), 則2a≥(-t2+t)max, 令h(t)=-t2+t(t>0),易知當t=時,h(t)取得最大值,h(t)max=,則2a≥,所以a≥; 當f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)時,有f′(x)≤0,即2ax2-x+1≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,因為a>0,所以2ax2-x+1≤0在x∈(0,+∞)上恒成立是不可能的. 綜上,a的取值范圍為. 10.(2019·四省八校雙教研聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ax-axln x-1(a∈R,a≠0). (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (2)當x>1時,求證:>-1. 解:(1)f′(x)=a-a(
18、ln x+1)=-aln x,若a>0,則當x∈(0,1)時,f′(x)>0,當x∈(1,+∞),f′(x)<0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減;
若a<0,則當x∈(0,1)時,f′(x)<0,當x∈(1,+∞),f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)證明:要證>-1,即證>e-x,即證
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