（江蘇專用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3 雙曲線 2.3.2 雙曲線的幾何性質(zhì)學(xué)案 蘇教版選修1-1

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1、 2.3.2　雙曲線的幾何性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解雙曲線的幾何性質(zhì)．(重點(diǎn))　2.會(huì)求雙曲線的漸近線、離心率、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)等．(重點(diǎn))　3.會(huì)用雙曲線的幾何性質(zhì)處理簡(jiǎn)單的問(wèn)題．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知] 1．雙曲線的幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 圖形 范圍 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：x軸，y軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)O 頂點(diǎn) A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 離心率 e＝　　 漸近線 y＝±x y＝±x 2.等軸雙曲線 實(shí)軸和虛軸等

2、長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，等軸雙曲線的離心率e＝. 3．離心率對(duì)雙曲線開(kāi)口大小的影響 以雙曲線－＝1(a>0，b>0)為例． e＝＝＝，故當(dāng)?shù)闹翟酱螅瑵u近線y＝x的斜率越大，雙曲線的開(kāi)口越大，e也越大，所以e反映了雙曲線開(kāi)口的大小，即雙曲線的離心率越大，它的開(kāi)口就越大． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．判斷正誤： (1)等軸雙曲線的離心率是.(　　) (2)方程－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x.(　　) (3)離心率越大，雙曲線－＝1的漸近線斜率絕對(duì)值越大．(　　) 【解析】　(1)√.因?yàn)閍＝b，所以c＝a，所以e＝＝. (2)×.由－＝1，得y＝±x，所以漸近線方程為y

3、＝±x. (3)√.由＝＝(e＞1)，所以e越大，漸近線y＝±x斜率的絕對(duì)值越大． 【答案】　(1)√　(2)×　(3)√ 2．雙曲線x2－＝1的漸近線方程為_(kāi)_______，離心率e＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902117】 【解析】　a＝1，b＝，∴漸近線方程為y＝±x， 離心率e＝＝＝2. 【答案】　y＝±x　2 [合 作 探 究·攻 重 難] 由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求幾何性質(zhì) 　求雙曲線nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程． [思路探究]　→→ 【自主解答】　把方程nx2－my2＝mn(

4、m＞0，n＞0)，化為標(biāo)準(zhǔn)方程－＝1(m＞0，n＞0)， 由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a＝，虛半軸長(zhǎng)b＝，c＝， 焦點(diǎn)坐標(biāo)(，0)，(－，0)，離心率e＝＝＝. 頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－，0)，(，0)．∴漸近線的方程為y＝±x＝±x. [規(guī)律方法]　 1．由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟： (1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決本題的關(guān)鍵． (2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定a、b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c值，從而寫(xiě)出雙曲線的幾何性質(zhì)． 2．(1)由雙曲線方程求其幾何性質(zhì)時(shí)，要與橢圓區(qū)分開(kāi)，不能混淆，如對(duì)橢圓a2＝b2＋c2，而對(duì)雙曲線則是c2＝a2＋b2；對(duì)橢圓e＝＝，對(duì)雙曲線

5、則是e＝＝. (2)求雙曲線的漸近線方程時(shí)，只需將雙曲線方程中的常數(shù)項(xiàng)化為零即可得到． [跟蹤訓(xùn)練] 1．求雙曲線x2－3y2＋12＝0的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902118】 【解】　將方程x2－3y2＋12＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，∴a＝2，b＝2，c＝4，因此頂點(diǎn)A1(0，－2)，A2(0,2)，焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0，－4)，F(xiàn)2(0,4)，實(shí)軸長(zhǎng)2a＝4，虛軸長(zhǎng)2b＝4，離心率e＝2，漸近線方程為y＝±x. 由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程 　求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離等于； (

6、2)頂點(diǎn)間距離為6，漸近線方程為y＝±x； (3)與雙曲線x2－2y2＝2有公共的漸近線，且過(guò)點(diǎn)M(2，－2)． [思路探究]　→→→ 【自主解答】　(1)依題意，b＝，＝2?a＝1，c＝2， ∴雙曲線的方程為x2－＝1或y2－＝1. (2)設(shè)以y＝±x為漸近線的雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)． 當(dāng)λ>0時(shí)，a2＝4λ，∴2a＝2＝6?λ＝； 當(dāng)λ<0時(shí)，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6?λ＝－1. ∴所求的方程為－＝1和－＝1. (3)設(shè)與雙曲線－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為－y2＝k，將點(diǎn)(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. [規(guī)律方法

7、]　 1．根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選擇方程的形式． 2．利用漸近線與雙曲線的位置關(guān)系，設(shè)有公共漸近線的雙曲線系方程－＝λ(λ≠0)，這樣可避免分類討論，從而減少運(yùn)算量，提高解題速度與準(zhǔn)確性． [跟蹤訓(xùn)練] 2．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)和橢圓＋＝1有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902119】 【解析】　由題意知，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±，0)，離心率是.故在雙曲線中c＝，e＝＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，故所求雙曲線的方程是

8、－＝1. 【答案】　－＝1 雙曲線的離心率 [探究問(wèn)題] 1．雙曲線離心率的定義式是什么？你能從其定義式得到其離心率的范圍嗎？ 【提示】　e＝，因?yàn)閏2＝a2＋b2，所以c＞a＞0，所以e＝＞1. 2．利用a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2，雙曲線的離心率還有其它表達(dá)方式嗎？ 【提示】　e＝或e＝. 3．根據(jù)探究2可知，求雙曲線的離心率并不一定要求出a，b，c的具體數(shù)值，只要知道a，b，c三個(gè)參數(shù)中任意兩個(gè)的比值就可以求出離心率，如果c2－ac－2a2＝0，那么雙曲線的離心率是什么？ 【提示】　由c2－ac－2a2＝0可得－－2＝0，即e2－e－2＝0， 所以(e＋1)(

9、e－2)＝0，因?yàn)閑＞1，所以e＝2. 4．如何求雙曲線的離心率的取值范圍？ 【提示】　解關(guān)于離心率e的不等式，或者利用基本不等式、雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍求出或的取值范圍可求離心率的取值范圍． 　(1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得(PF1－PF2)2＝b2－3ab，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_______． (2)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，若的最小值為8a，則雙曲線離心率的取值范圍是________． [思路探究]　(1)(PF1－PF2)2＝b2－3ab4a2＝b2－

10、3ab離心率 (2)利用雙曲線的定義及基本不等式尋找a，c之間的不等關(guān)系，可求出雙曲線離心率的取值范圍． 【自主解答】　(1)由雙曲線的定義知，(PF1－PF2)2＝4a2，又(PF1－PF2)2＝b2－3ab， 所以4a2＝b2－3ab，等號(hào)兩邊同除a2，化簡(jiǎn)得－3·－4＝0，解得＝4，或＝－1(舍去)故離心率e＝＝＝＝＝. (2)因?yàn)镻為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，所以PF1＝2a＋PF2， 所以＝PF2＋＋4a≥2＋4a＝8a， 當(dāng)且僅當(dāng)PF2＝2a，PF1＝4a，可得2a＋4a≥2c解得e≤3， 又因?yàn)殡p曲線離心率大于1，故答案為(1,3]． 【答案】　(1)　(2)(1,

11、3] [規(guī)律方法]　求雙曲線離心率的兩種方法 (1)直接法：若已知a，c，可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝求解. (2)方程法：若無(wú)法求出a，b，c的具體值，但根據(jù)條件可確定a，b，c之間的關(guān)系，可通過(guò)b2＝c2－a2，將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程，借助于e＝，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的n次方程求解. [跟蹤訓(xùn)練] 3．雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率為_(kāi)_______． 【解析】　依題意·＝－1，∴a＝b.則e2＝＝＝2，∴e＝. 【答案】　 [構(gòu)建·體系] [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基] 1．雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)

12、軸長(zhǎng)是________． 【解析】　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，∴a2＝4，∴2a＝4. 【答案】　4 2．已知雙曲線－＝1(m＞0)的離心率為， 則m＝__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902120】 【解析】　這里a2＝m2＋3，b2＝4m，c2＝m2＋4m＋3， ∴＝2，解得m＝1或m＝3. 【答案】　1或3 3．已知中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,3)，離心率為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______． 【解析】　由離心率為，∴e2＝＝＝1＋＝2，即a＝b， ∴雙曲線為等軸雙曲線，故設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，又點(diǎn)P(1,3) 在雙

13、曲線上，則λ＝1－9＝－8，∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 【答案】?。? 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線－＝1(m＞0)的離心率為，則該雙曲線的兩條漸近線方程是__________． 【解析】　a2＝2，b2＝m，∴c2＝2＋m，又e＝，∴e2＝，即＝，得m＝1，故漸近線方程為y＝±x＝±x. 【答案】　y＝±x 5．雙曲線與橢圓＋＝1有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線為y＝x，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902121】 【解】　由橢圓＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦點(diǎn)在y軸上， ∵雙曲線的一條漸近線為y＝x，∴設(shè)雙曲線方程為－＝1.又c2＝2a2＝48，∴a2＝24. ∴所求雙曲線的方程為－＝1. 由a2＝24，c2＝48，得e2＝＝2，又e>0，∴e＝. 7