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1、2022年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題五 空間幾何 5.2 空間中的平行與垂直練習(xí)
1.設(shè)α,β是兩個不同的平面,m是直線且m?α,“m∥β”是“α∥β”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
解析: 當(dāng)m∥β時,過m的平面α與β可能平行也可能相交,因而m∥β?/ α∥β;當(dāng)α∥β時,α內(nèi)任一直線與β平行,因為m?α,所以m∥β.綜上知,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件.
答案: B
2.(2018·全國卷Ⅱ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點,則異面直線AE與CD所成角的正切值為(
2、)
A. B.
C. D.
解析: 如圖,因為AB∥CD,所以AE與CD所成的角為∠EAB.
在Rt△ABE中,設(shè)AB=2,
則BE=,則tan∠EAB==,
所以異面直線AE與CD所成角的正切值為.故選C.
答案: C
3.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為,底面是邊長為的正三角形.若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為( )
A. B.
C. D.
解析: 如圖,取P1為底面ABC的中心,連接PP1,AP1,由底面是邊長為的正三角形,知底面三角形的高為,面積為,又三棱柱的體積為,則高PP1=,AP1=1,∠PAP1
3、為所求角,因為tan∠PAP1=,所以∠PAP1=.
答案: B
4.如圖,以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后,某學(xué)生得出下列四個結(jié)論:
①BD⊥AC;
②△BAC是等邊三角形;
③三棱錐D-ABC是正三棱錐;
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正確的是( )
A.①②④ B.①②③
C.②③④ D.①③④
解析: 由題意知,BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正確;AD為等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等邊三角形,②正確;易知DA=DB=DC,結(jié)
4、合②知③正確;由①知④不正確.故選B.
答案: B
5.如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,若P為三角形A1B1C1內(nèi)一點(不含邊界),則點P在底面ABC的投影可能在( )
A.△ABC的內(nèi)部 B.△ABC的外部
C.直線AB上 D.以上均有可能
解析: 因為AC⊥AB,AC⊥BC1,
所以AC⊥平面ABC1,AC?平面ABC,
所以平面ABC1⊥平面ABC,
所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上.
若P為三角形A1B1C1內(nèi)一點(不含邊界),則點P在底面ABC的投影可能在△ABC的外部.
答案: B
6.若P為矩
5、形ABCD所在平面外一點,矩形對角線的交點為O,M為PB的中點,給出以下四個命題:①OM∥平面PCD;②OM∥平面PBC;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA.其中正確的命題是________.
解析: 由已知可得OM∥PD,∴OM∥平面PCD且OM∥平面PAD.故正確的只有①③.
答案: ①③
7.已知a,b,l表示三條不同的直線,α,β,γ表示三個不同的平面,有下列四個命題:
①若α∩β=a,β∩γ=b,且a∥b,則α∥γ;
②若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,則α∥β;
③若α⊥β,α∩β=a,b?β,a⊥b,則b⊥α;
④若a?α,b?α,l
6、⊥a,l⊥b,l?α,則l⊥α.
其中正確的命題是________.(填序號)
解析: ①在正方體A1B1C1D1-ABCD中,可令平面A1B1CD為α,平面DCC1D1為β,平面A1B1C1D1為γ,又平面A1B1CD∩平面DCC1D1=CD,平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1=C1D1,則CD與C1D1所在的直線分別表示a,b,因為CD∥C1D1,但平面A1B1CD與平面A1B1C1D1不平行,即α與γ不平行,故①錯誤.②因為a,b相交,假設(shè)其確定的平面為γ,根據(jù)a∥α,b∥α,可得γ∥α.同理可得γ∥β,因此α∥β,②正確.③由兩平面垂直,在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線和另一個
7、平面垂直,易知③正確.④當(dāng)a∥b時,l垂直于平面α內(nèi)兩條不相交直線,不可得出l⊥α,④錯誤.故填②③.
答案:?、冖?
8.如圖,PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上的一點,E、F分別是點A在PB、PC上的正投影,給出的下列結(jié)論正確的是________.
①AF⊥PB;②EF⊥PB;
③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.
解析: 由題意知PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.
又AC⊥BC,PA∩AC=A,
所以BC⊥平面PAC.
所以BC⊥AF.
因為AF⊥PC,BC∩PC=C,
所以AF⊥平面PBC,PB?平面PBC,
所以AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩A
8、F=A,
所以PB⊥平面AEF,所以PB⊥EF.
故①②③正確.
答案:?、佗冖?
9.(2018·鄭州市第一次質(zhì)量測試)如圖,在三棱錐P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,AB=6,BC=2,AC=2,D為線段AB上的點,且AD=2DB,PD⊥AC.
(1)求證:PD⊥平面ABC;
(2)若∠PAB= ,求點B到平面PAC的距離.
解析: (1)證明:∵cos∠ABC==,
∴CD2=22+(2)2-2×2×2cos∠ABC=8,∴CD=2,
∴CD2+AD2=AC2,則CD⊥AB.
∵平面PAB⊥平面ABC,∴CD⊥平面PAB,PD?平面PAB,∴CD⊥PD,
∵PD⊥
9、AC,AC∩CD=C,∴PD⊥平面ABC.
(2)由(1)得PD⊥AB,∵∠PAB=,
∴PD=AD=4,PA=4,
在Rt△PCD中,PC==2,
∴△PAC是等腰三角形,∴可求得S△PAC=8.
設(shè)點B到平面PAC的距離為d,
由VB-PAC=VP-ABC,得S△PAC×d=S△ABC×PD,
∴d==3.
故點B到平面PAC的距離為3.
10.在如圖所示的多面體ABCDE中,已知ABCD是邊長為2的正方形,平面ABCD⊥平面ABE,∠AEB=90°,AE=BE.
(1)若M是DE的中點,試在AC上找一點N,使得MN∥平面ABE,并給出證明;
(2)求多面體ABC
10、DE的體積.
解析: (1)連接BD,交AC于點N,則點N即為所求,證明如下:
∵ABCD是正方形,∴N是BD的中點,
又M是DE的中點,∴MN∥BE,
∵BE?平面ABE,MN?平面ABE,
∴MN∥平面ABE.
(2)取AB的中點F,連接EF,
∵△ABE是等腰直角三角形,且AB=2,
∴EF⊥AB,EF=AB=1,
∵平面ABCD⊥平面ABE,
平面ABCD∩平面ABE=AB,
EF?平面ABE,
∴EF⊥平面ABCD,即EF為四棱錐E-ABCD的高,
∴V四棱錐E-ABCD=S正方形ABCD·EF=×22×1=.
B級
1.如圖,四棱錐S-ABCD
11、的底面為正方形,SD⊥底面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA與平面 SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角
D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角
解析: 易證AC⊥平面SBD,因而AC⊥SB,A正確;
AB∥DC,DC?平面SCD,故AB∥平面SCD,B正確;
由于SA,SC與平面SBD的相對位置一樣,因而所成的角相同.故選D.
答案: D
2.把平面圖形M上的所有點在一個平面上的射影構(gòu)成的圖形M′稱為圖形M在這個平面上的射影.如圖,在長方體ABCD-EFGH中,AB=5,AD=4,AE=3.則△EBD
12、在平面EBC上的射影的面積是( )
A.2 B.
C.10 D.30
解析: 連接HC,過D作DM⊥HC,連接ME,MB,因為BC⊥平面HCD,又DM?平面HCD,所以BC⊥DM,因為BC∩HC=C,所以DM⊥平面HCBE,即D在平面HCBE內(nèi)的射影為M,所以△EBD在平面HCBE內(nèi)的射影為△EBM,在長方體中,HC∥BE,所以△MBE的面積等于△CBE的面積,所以△EBD在平面EBC上的射影的面積為××4=2,故選A.
答案: A
3.如圖所示,平行四邊形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.
13、(1)求證:AB⊥DE;
(2)求三棱錐E-ABD的側(cè)面積和體積.
解析: (1)證明:在△ABD中,因為AB=2,AD=4,∠DAB=60°,所以BD==2,
所以AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD.
又平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,AB?平面ABD,所以AB⊥平面EBD.
又DE?平面EBD,所以AB⊥DE.
(2)由(1)知AB⊥BD.
因為CD∥AB,所以CD⊥BD,從而DE⊥BD.
在Rt△DBE中,因為DB=2,DE=DC=AB=2,所以S△EDB=BD·DE=2.
因為AB⊥平面EBD,BE?平面EBD,所以AB⊥BE.
因為B
14、E=BC=AD=4,所以S△EAB=AB·BE=4.
因為DE⊥BD,平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,所以DE⊥平面ABD,而AD?平面ABD,所以DE⊥AD,故S△EAD=AD·DE=4.
故三棱錐E-ABD的側(cè)面積S=S△EDB+S△EAB+S△EAD=8+2.
因為DE⊥平面ABD,且S△ABD=S△EBD=2,DE=2,
所以V三棱錐E-ABD=S△ABD×DE=×2×2=.
4.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=,E是側(cè)棱PA上的動點.
(1)求四棱錐P-ABCD的體積;
(2)如果E是PA的中點,求
15、證:PC∥平面BDE;
(3)不論點E在側(cè)棱PA的任何位置,是否都有BD⊥CE?證明你的結(jié)論.
解析: (1)因為PA⊥平面ABCD,
所以VP-ABCD=S正方形ABCD·PA=×12×=,
即四棱錐P-ABCD的體積為.
(2)證明:如圖所示,連接AC交BD于點O,連接OE.
因為四邊形ABCD是正方形,所以O(shè)是AC的中點,
又E是PA的中點,所以PC∥OE,
因為PC?平面BDE,OE?平面BDE,
所以PC∥平面BDE.
(3)不論點E在側(cè)棱PA的任何位置,都有BD⊥CE.證明如下:
因為四邊形ABCD是正方形,所以BD⊥AC,
因為PA⊥底面ABCD,且BD?平面ABCD,所以BD⊥PA,
又AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC.
因為不論點E在側(cè)棱PA的任何位置,都有CE?平面PAC,
所以不論點E在側(cè)棱PA的任何位置,都有BD⊥CE.