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1、2022年高中數(shù)學(xué)必修四 2.4.1《平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義》教案2
備課人
授課時(shí)間
課題
§2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義
課標(biāo)要求
掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律
教
學(xué)
目
標(biāo)
知識(shí)目標(biāo)
掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義及向量垂直的條件.
技能目標(biāo)
用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題
情感態(tài)度價(jià)值觀
培養(yǎng)細(xì)心嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度
重點(diǎn)
平面向量的數(shù)量積定義
難點(diǎn)
平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
教
學(xué)
過(guò)
程
及
方
法
問題與情境
2、及教師活動(dòng)
學(xué)生活動(dòng)
一、復(fù)習(xí)引入：
1． 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使=λ.
2．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2
3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
若，，則，，.
若，，則
4． 力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F與s的夾角.
二、講解新課：
1．兩個(gè)非零向量夾角的概念
已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.
說(shuō)明：（1）當(dāng)θ＝０時(shí)，ａ與ｂ同向；
（2）當(dāng)θ＝π時(shí)，ａ與ｂ反向；
C
3、
教
學(xué)
過(guò)
程
及
方
法
問題與情境及教師活動(dòng)
學(xué)生活動(dòng)
（3）當(dāng)θ＝時(shí)，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥ｂ；
（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0°≤q≤180°
C
2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，（０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.
×探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積
4、有很大區(qū)別
（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定.
（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a×b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而a×b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在實(shí)數(shù)中，若a10，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a10，且a×b=0，不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏osq有可能為0.
（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b10)，則ab=bc T a=c.但是a×b = b×c a = c
如右圖：a×b = |a||b|cosb = |b||OA|，b×c
5、= |b||c|cosa = |b||OA|
T a×b = b×c 但a 1 c
(5)在實(shí)數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c 1 a(b×c)
顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.
3.向量數(shù)量積的運(yùn)算律
4．“投影”的概念：作圖
.
6、
教
學(xué)
過(guò)
程
及
方
法
問題與情境及教師活動(dòng)
學(xué)生活動(dòng)
定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影
投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0°時(shí)投影為 |b|；當(dāng)q = 180°時(shí)投影為 -|b|.
4．向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積a×b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.
5．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.
1° e×a = a×e =|a|cosq
2° a^b ? a
7、×b = 0
3° 當(dāng)a與b同向時(shí)，a×b = |a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a×b = -|a||b|. 特別的a×a = |a|2或
4° cosq =
5° |a×b| ≤ |a||b|
三、講解范例：課本104頁(yè)例1 105頁(yè)例2 例3 例4
例5判斷正誤，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.
①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，則對(duì)任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，則ａ與ｂ中至少有一個(gè)為0；⑦對(duì)任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ與ｂ是兩個(gè)單位向量，則ａ２＝ｂ２.
解：上述8個(gè)命題中只有③⑧正確；
評(píng)述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律.
五、小結(jié)（略）
六、課后作業(yè)（略）
教
學(xué)
小
結(jié)
課后
反思
2022年高中數(shù)學(xué)必修四 2.4.1《平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義》教案2
