2022高考數學二輪復習 專題三 三角函數、平面向量 第三講 平面向量學案 理

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1、2022高考數學二輪復習 專題三 三角函數、平面向量 第三講 平面向量學案 理 考點一　平面向量的概念及線性運算 1．在平面向量的化簡或運算中，要根據平面向量基本定理選好基底，變形要有方向不能盲目轉化． 2．在用三角形加法法則時要保證“首尾相接”，結果向量是第一個向量的起點指向最后一個向量的終點所在的向量；在用三角形減法法則時要保證“同起點”，結果向量的方向是指向被減向量． [對點訓練] 1．(2018·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ [解析]　∵E是AD的中點，∴＝－，∴＝＋＝－＋，又

2、∵D為BC的中點，∴＝(＋)，因此＝－(＋)＋＝－，故選A. [答案]　A 2．(2018·河北三市聯(lián)考)已知e1，e2是不共線向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，則等于(　　) A．－ B. C．－2 D．2 [解析]　∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，則故＝－2. [答案]　C 3．(2018·河南鄭州質檢)已知P為△ABC所在平面內一點，D為AB的中點，若2＋＝(λ＋1)＋，且△PBA與△PBC的面積相等，則實數λ的值為________． [解析]　∵D為AB的中點，∴2＝＋， 又∵2＋＝(λ＋1)＋. ∴＋

3、＋＝(λ＋1)＋ ∴＝λ，又△PBA與△PBC的面積相等， ∴P為AC的中點，∴λ＝－1. [答案]?。? 4．(2018·鹽城一模)在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于點D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，則AD的長為________． [解析]　因為B，D，C三點共線，所以＋λ＝1，解得λ＝，如圖，過點D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點M，N，則＝，＝，經計算得AN＝AM＝3，AD＝3. [答案]　3 [快速審題]　(1)看到向量的線性運算，想到三角形和平行四邊形法則． (2)看到向量平行，想到向量平行的條件． 平面向量線性運算的2種技巧 (

4、1)對于平面向量的線性運算問題，要盡可能轉化到三角形或平行四邊形中，靈活運用三角形法則、平行四邊形法則，緊密結合圖形的幾何性質進行運算． (2)在證明兩向量平行時，若已知兩向量的坐標形式，常利用坐標運算來判斷；若兩向量不是以坐標形式呈現的，常利用共線向量定理(當b≠0時，a∥b?存在唯一實數λ，使得a＝λb)來判斷． 考點二　平面向量的數量積 1．平面向量的數量積有兩種運算形式 (1)數量積的定義：a·b＝|a||b|cosθ(其中θ為向量a，b的夾角)． (2)坐標運算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)時，a·b＝x1x2＋y1y2. 2．投影 向量a在向量b方向上的投影

5、為＝|a|cosθ(θ為向量a，b的夾角)． [對點訓練] 1．已知|a|＝1，b＝(－1,1)且a⊥(a＋b)，則向量a與向量b的夾角為(　　) A. B. C. D. [解析]　設向量a與向量b的夾角為θ，因為a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝0，即|a|2＋a·b＝1＋|a||b|cosθ＝1＋cosθ＝0，cosθ＝－，θ＝，故選D. [答案]　D 2．(2018·陜西西安八校聯(lián)考)已知點A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影是(　　) A．－3 B．－ C．3 D. [解析]　依題意得，＝(－2，－1)，＝(5

6、,5)，·＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝－3，選A. [答案]　A 3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，－6)，若向量c滿足c與b的夾角為120°，c·(4a＋b)＝5，則|c|＝(　　) A．1 B. C．2 D．2 [解析]　依題意可得|a|＝，|b|＝3，a∥b.由c·(4a＋b)＝5，可得4a·c＋b·c＝5.由c與b的夾角為120°， 可得c與a的夾角為60°，則有b·c＝|b||c|cos120°＝|c|×3×＝－|c|，a·c＝|a||c|cos60°＝|c|××＝|c|，所以4×|c|－|c|＝5，解得|c|＝2，

7、故選D. [答案]　D 4．如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，則·＝________. [解析]　因為·＝2·，所以·－·＝·，所以·＝·. 因為AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2||＝||||cos，化簡得||＝2. 故·＝·(＋)＝||2＋·＝ (2)2＋2×2cos＝12. [答案]　12 [快速審題]　(1)看到向量垂直，想到其數量積為零． (2)看到向量的模與夾角，想到向量數量積的有關性質和公式． 平面向量數量積的兩種運算方法 (1)依據模和夾角計算，要注意確定這兩個向量的夾角，如夾角不易求或者不可求，可通過

8、選擇易求夾角和模的基底進行轉化． (2)利用坐標來計算，向量的平行和垂直都可以轉化為坐標滿足的等式，從而應用方程思想解決問題，化形為數，使向量問題數量化． 考點三　平面向量在幾何中的應用 用向量法解決平面(解析)幾何問題的兩種方法 (1)基向量法：選取適當的基底(基底中的向量盡量已知?；驃A角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質計算； (2)坐標法：建立平面直角坐標系，實現向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉化為代數運算． 一般地，存在坐標系或易建坐標系的題目適合用坐標法． [解析]　(1)解法一：∵⊥，||＝||＝1

9、， ∴|＋|＝＝. 設(＋)與的夾角為θ，則(－)·(－)＝2－(＋)·＋·＝1－cosθ，又∵θ∈[0，π]，∴cosθ∈[－1,1]，∴(－)·(－)＝1－cosθ∈[1－，1＋]， ∴(－)·(－)的最大值為＋1，故選A. 解法二：以O為原點，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸建立平面直角坐標系(取的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向)，則A(1,0)，B(0,1)．設C(cosθ，sinθ)(θ∈[0,2π))，∴－＝(cosθ－1，sinθ)，－＝(cosθ，sinθ－1)，∴(－)·(－)＝cosθ(cosθ－1)＋sinθ(sinθ－1)＝cos2θ＋sin2θ－(

10、sinθ＋cosθ)＝1－sin，∵θ∈[0,2π)，∴sin∈[－1,1]，∴(－)·(－)的最大值為＋1，故選A. (2)解法一：因為2＝， 所以E為BC中點．設正方形的邊長為2，則||＝， ||＝2，·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2， 所以cosθ＝＝＝－. 解法二：因為2＝， 所以E為BC中點． 設正方形的邊長為2，建立如圖所示的平面直角坐標系xAy，則點A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(2,1)， 所以＝(2,1)，＝(－2,2)，所以·＝2×(－2)＋1×2＝－2， 故cosθ＝＝＝－. [答案]　(1)A　(2)－ 解

11、決以平面圖形為載體的向量數量積問題的策略 (1)選擇平面圖形中的模與夾角確定的向量作為一組基底，用該基底表示構成數量積的兩個向量，結合向量數量積運算律求解． (2)若已知圖形中有明顯的適合建立直角坐標系的條件，可建立直角坐標系將向量數量積運算轉化為代數運算來解決． [對點訓練] 1．在△ABC中，點M是BC邊的中點，AM＝1，點P在AM上且滿足＝2，則·(＋)等于(　　) A. B. C．－ D．－ [解析]　由點M為BC邊的中點，得＋＝2＝. ∴·(＋)＝2. 又∵＝2，∴||＝||＝. ∴2＝||2＝.故選A. [答案]　A 2．(2017·全國卷Ⅱ)已知△AB

12、C是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則·(＋)的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 [解析]　解法一：設BC的中點為D，AD的中點為E，則有＋＝2， 則·(＋)＝2· ＝2(＋)·(－)＝2(2－2)．而2＝2＝，當P與E重合時，2有最小值0，故此時·(＋)取最小值， 最小值為－22＝－2×＝－. 解法二：以AB所在直線為x軸，AB的中點為原點建立平面直角坐標系，如圖， 則A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，設P(x，y)，取BC的中點D，則D.·(＋)＝2·＝2(－1－x，－y)·＝2＝2. 因此，當x＝－，y＝時，·(＋)取

13、得最小值，為2×＝－，故選B. [答案]　B 1．(2018·全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 [解析]　因為|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.故選B. [答案]　B 2．(2017·全國卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　) A．3 B．2 C. D．2 [解析]　分別以CB、CD所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標系，則A(2,1)，B(2

14、,0)，D(0,1)． ∵點P在以C為圓心且與BD相切的圓上， ∴可設P. 則＝(0，－1)，＝(－2,0)， ＝. 又＝λ＋μ， ∴λ＝－sinθ＋1，μ＝－cosθ＋1， ∴λ＋μ＝2－sinθ－cosθ＝2－sin(θ＋φ)， 其中tanφ＝，∴(λ＋μ)max＝3. [答案]　A 3．(2018·全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________. [解析]　由已知得2a＋b＝(4,2)．又c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，所以4λ－2＝0，解得λ＝. [答案]　 4．(2018·上海卷)在平面直角坐

15、標系中，已知點A(－1,0)、B(2,0)，E、F是y軸上的兩個動點，且||＝2，則·的最小值為________． [解析]　設E(0，m)，F(0，n)， 又A(－1,0)，B(2,0)， ∴＝(1，m)，＝(－2，n)． ∴·＝－2＋mn， 又知||＝2，∴|m－n|＝2. ①當m＝n＋2時，·＝mn－2＝(n＋2)n－2＝n2＋2n－2＝(n＋1)2－3. ∴當n＝－1，即E的坐標為(0,1)，F的坐標為(0，－1)時，·取得最小值－3. ②當m＝n－2時，·＝mn－2＝(n－2)n－2＝n2－2n－2＝(n－1)2－3. ∴當n＝1，即E的坐標為(0，－1)，F的坐標

16、為(0,1)時，·取得最小值－3. 綜上可知，·的最小值為－3. [答案]?。? 5．(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，則λ的值為________． [解析]　解法一：如圖，由＝2得＝＋， 所以·＝·(λ－)＝λ·－2＋λ2－·， 又·＝3×2×cos60°＝3，2＝9，2＝4，所以·＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝－4，解得λ＝. 解法二：以A為原點，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖，因為AB＝3，AC＝2，∠A＝60°，所以B(3,0)，C(1，)，又＝2，所以D， 所以＝，而＝λ－＝λ(1，

17、)－(3,0)＝(λ－3，λ)，因此·＝(λ－3)＋×λ ＝λ－5＝－4，解得λ＝. [答案]　 1.平面向量是高考必考內容，每年每卷均有一個小題(選擇題或填空題)，一般出現在第3～7或第13～15題的位置上，難度較低．主要考查平面向量的模、數量積的運算、線性運算等，數量積是其考查的熱點． 2．有時也會以平面向量為載體，與三角函數、解析幾何等其他知識相交匯綜合命題，難度中等． 熱點課題9　坐標法在平面向量中的運用 [感悟體驗] 1．(2018·湖南長郡中學一模)若等邊三角形ABC的邊長為3，平面內一點M滿足＝＋，則·的值為(　　) A．2 B．－ C. D

18、．－2 [解析]　如圖所示，點A，點B，點C， ∴＝，＝(3,0)． ∴＝＋＝＋(3,0)＝， ∴＝＋＝，∴＝－＝，＝－＝，∴·＝－1×＋×＝2.故選A. [答案]　A 2．(2018·河南開封質檢)已知△ABC為等邊三角形，AB＝2，設點P，Q滿足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若 ·＝－，則λ的值為________． [解析]　如圖，以點A為坐標原點，AB所在的直線為x軸，過點A且垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標系．設A(0,0)，B(2,0)，C(1，)，則＝(2,0)，＝(1，)，∴P(2λ，0)，Q(1－λ，(1－λ))． ∵·＝－，∴(－1－λ，(1－

19、λ))·(2λ－1，－)＝－，化簡得4λ2－4λ＋1＝0， ∴λ＝. [答案]　 專題跟蹤訓練(十六) 一、選擇題 1．(2018·昆明模擬)在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，則＝(　　) A.a＋b B.a－b C．－a－b D．－a＋b [解析]　 ＝＋ ＝＋ ＝(－)－ ＝－－＝－a－b，故選C. [答案]　C 2．(2018·吉林白城模擬)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b共線，則＝(　　) A. B．2 C．－ D．－2 [解析]　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2

20、)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb與a－2b共線，得＝，所以＝－，故選C. [答案]　C 3．已知兩個非零向量a與b的夾角為θ，則“a·b>0”是“θ為銳角”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　由a·b>0，可得到θ∈，不能得到θ∈；而由θ∈，可以得到a·b>0.故選B. [答案]　B 4．(2018·鄭州一中高三測試)已知向量a，b均為單位向量，若它們的夾角為60°，則|a＋3b|等于(　　) A. B. C. D．4 [解析]　依題意得a·b＝，|a＋

21、3b|＝＝，故選C. [答案]　C 5．已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，則(－2)·(3＋4)＝(　　) A．－ B．－ C．－6－ D．－6＋ [解析]　(－2)·(3＋4)＝3·－62＋4·－8·＝3||·||·cos120°－6||2＋4||·||cos120°－8||·||·cos120°＝3×1×1×－6×12＋4×1×1×－8×1×1×＝－－6－2＋4＝－，故選B. [答案]　B 6．(2018·河南中原名校聯(lián)考)如圖所示，矩形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若＝λ＋μ(λ，μ為實數)，則λ2＋μ2＝(　　) A. B. C．1 D

22、. [解析]?。剑剑剑?＋)＝－，所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故選A. [答案]　A 7．(2018·山西四校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點，＝3，F為AE的中點，則＝(　　) A.－ B.－ C．－＋ D．－＋ [解析]　解法一：如圖，取AB的中點G，連接DG、CG，則易知四邊形DCBG為平行四邊形，所以＝＝－＝－，∴＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故選C. 解法二：＝＋＝＋ ＝－＋ ＝－＋ ＝－＋＋＋(＋＋) ＝－＋. [答案]　C 8．(2018·河南鄭州二模)已知平面向量a，b，c滿

23、足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，則(a＋b)·(2b－c)的最小值為(　　) A．－2 B．3－ C．－1 D．0 [解析]　由|a|＝|b|＝1，a·b＝，可得〈a，b〉＝，令＝a，＝b，以的方向為x軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標系，則a＝＝(1,0)，b＝＝，設c＝＝(cosθ，sinθ)(0≤θ<2π)，則(a＋b)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b2－b·c＝3－＝3－sin，則(a＋b)·(2b－c)的最小值為3－，故選B. [答案]　B 9．(2018·安徽江南十校聯(lián)考)已知△ABC中，AB＝6，AC＝3，N是邊BC上的點，且＝2，O為△ABC

24、的外心，則·的值為(　　) A．8 B．10 C．18 D．9 [解析]　由于＝2，則＝＋，取AB的中點為E，連接OE，由于O為△ABC的外心，則⊥，∴·＝·＝2＝×62＝18，同理可得·＝2＝×32＝，所以·＝·＝·＋·＝×18＋×＝6＋3＝9，故選D. [答案]　D 10．(2018·山西太原模擬)已知△DEF的外接圓的圓心為O，半徑R＝4，如果＋＋＝0，且||＝||，則向量在方向上的投影為(　　) A．6 B．－6 C．2 D．－2 [解析]　由＋＋＝0得，＝＋. ∴DO經過EF的中點，∴DO⊥EF. 連接OF，∵||＝||＝||＝4， ∴△DOF為等邊三角

25、形，∴∠ODF＝60°.∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin60°×2＝4. ∴向量在方向上的投影為||·cos〈，〉＝4cos150°＝－6，故選B. [答案]　B 11．(2018·湖北黃岡二模)已知平面向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，(c－2a)·(c－b)＝0，則|c|的最大值與最小值的和為(　　) A．0 B. C. D. [解析]　∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，即a2＝2a·b，又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，a與b的夾角為60°. 設＝a，＝b，＝c，以O為坐標原點，的方向為x軸正方向建立如圖所示的平面直角坐標系，

26、 則a＝，b＝(1,0)． 設c＝(x，y)，則c－2a＝(x－1，y－)，c－b＝(x－1，y)． 又∵(c－2a)·(c－b)＝0，∴(x－1)2＋y(y－)＝0. 即(x－1)2＋2＝， ∴點C的軌跡是以點M為圓心，為半徑的圓． 又|c|＝表示圓M上的點與原點O(0,0)之間的距離，所以|c|max＝|OM|＋，|c|min＝|OM|－， ∴|c|max＋|c|min＝2|OM|＝2× ＝，故選D. [答案]　D 12．(2018·廣東七校聯(lián)考)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N為AC邊上的兩個動點(M，N不與A，C重合)，且滿足||＝，則

27、·的取值范圍為(　　) A. B. C. D. [解析]　不妨設點M靠近點A，點N靠近點C，以等腰直角三角形ABC的直角邊所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，如圖所示， 則B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，線段AC的方程為x＋y－2＝0(0≤x≤2)．設M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由題意可知0

28、，|b|＝1，則|a＋2b|＝________. [解析]　由題意知a·b＝|a|·|b|cos60°＝2×1×＝1，則|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4＝12. 所以|a＋2b|＝2. [答案]　2 14．(2017·山東卷)已知e1，e2是互相垂直的單位向量，若e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實數λ的值是________． [解析]　∵(e1－e2)·(e1＋λe2)＝e＋λe1·e2－e1·e2－λe＝－λ，|e1－e2|＝＝＝2， |e1＋λe2|＝＝＝， ∴－λ＝2××cos60°＝，解得λ＝. [答案]　 15．在

29、△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且＝3，點O在線段CD上(與點C、D不重合)，若＝x＋(1－x)，則x的取值范圍是________． [解析]　依題意，設＝λ，其中1<λ<，則有 ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ. 又＝x＋(1－x)，且，不共線，于是有x＝1－λ，由λ∈，知x∈，即x的取值范圍是. [答案]　 16．(2018·河北衡水二中模擬)已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，AB∥CD，∠ADC＝90°，若點M在線段AC上，則|＋|的最小值為________． [解析]　建立如圖所示的平面直角坐標系． 則A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，設＝λ(0≤λ≤1)，則M(λ，2λ)，故＝(－λ，2－2λ)，＝(2－λ，－2λ)，則＋＝(2－2λ，2－4λ)，|＋|＝＝，當λ＝時，|＋|取得最小值為. [答案]