2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)學(xué)案
《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)學(xué)案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)學(xué)案(22頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第一章 2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)學(xué)案 了解集合的含義;體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系;能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的數(shù)學(xué)對(duì)象或數(shù)學(xué)問題;了解集合之間包含與相等的含義;能識(shí)別給定集合的子集;了解全集與空集的含義. ① 學(xué)會(huì)區(qū)分集合與元素,集合與集合之間的關(guān)系. ② 學(xué)會(huì)自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言之間的互化. ③ 集合含義中掌握集合的三要素. ④ 不要求證明集合相等關(guān)系和包含關(guān)系. 1. (必修1P7練習(xí)1改編)用列舉法表示集合{x|x2-3x+2=0}為_____
2、_________.
答案:{1,2}
解析:∵ x2-3x+2=0,∴ x=1或x=2.故集合為{1,2}.
2. (必修1P10習(xí)題5改編)由x2,x組成一個(gè)集合A,A中含有2個(gè)元素,則實(shí)數(shù)x的取值不可以是______________.
答案:0和1
解析:由 x2=x可解得x=0或x=1.
3. (必修1P9練習(xí)1改編)集合A={x|0≤x<3且x∈N}的真子集個(gè)數(shù)是__________.
答案:7
解析:A={x|0≤x<3且x∈N}={0,1,2},∴ 真子集有7個(gè).
4. (必修1P10練習(xí)6改編)設(shè)A={x|2 3、范圍是____________.
答案:[3,+∞)
解析:A={x|2 4、一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合.其中集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素.
(1) 若a是集合A的元素,記作a∈A;若b不是集合A的元素,記作b?A.
(2) 集合中元素的特征:確定性、互異性、
無序性.
確定性:設(shè)A是一個(gè)給定的集合,x是某一個(gè)具體對(duì)象,則x或者是A的元素,或者不是A的元素,兩種情況必有一種且只有一種成立;
互異性:一個(gè)給定集合中的元素,指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體(對(duì)象),因此,同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素;
無序性:集合中不同的元素之間沒有地位差異,集合的不同與元素的排列順序無關(guān).
(3) 集合的常用表示方法:列舉法、描述法、Venn圖 5、法.
列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號(hào){ }內(nèi);
描述法:把集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號(hào){ }內(nèi).
具體方法:在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.
注意:列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn),應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法,要注意,一般集合中元素較多或有無限個(gè)元素時(shí),不宜采用列舉法.
(4) 集合的分類:若按元素的個(gè)數(shù)分類,可分為有限集、無限集、空集;若按元素的屬性分類,可分為點(diǎn)集、數(shù)集等.應(yīng)當(dāng)特別注意空集是一個(gè)特殊而又重要的集合,解題時(shí)切勿忽視空集的情形.
(5) 常用數(shù)集及其 6、記法:自然數(shù)集記作N;正整數(shù)集記作N*或N+;整數(shù)集記作Z;有理數(shù)集記作Q;實(shí)數(shù)集記作R;復(fù)數(shù)集記作C.
2. 兩類關(guān)系
(1) 元素與集合之間的關(guān)系包括屬于與不屬于關(guān)系,反映了個(gè)體與整體之間的從屬關(guān)系.
(2) 集合與集合之間的關(guān)系
① 包含關(guān)系:如果集合A中的每一個(gè)元素都是集合B的元素,那么集合A稱為集合B的子集,記為A?B或B?A,讀作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.
② 真包含關(guān)系:如果A?B,并且A≠B,那么集合A稱為集合B的真子集,記為AB或BA,讀作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”.
③ 相等關(guān)系:如果兩個(gè)集合所含的元素完 7、全相同,即A中的元素都是B中的元素且B中的元素都是A中的元素,則稱這兩個(gè)集合相等.
(3) 簡(jiǎn)單關(guān)系
① A?A;
② ??A;
③ 若A?B,B?C,則A?C;
④ 含有n個(gè)元素的集合的子集共有2n個(gè),真子集共有2n-1個(gè),非空子集共有2n-1個(gè),非空真子集有個(gè).
[備課札記]
1 集合的基本概念
1 已知集合A含有兩個(gè)元素a-3和2a-1.若-3∈A,試求實(shí)數(shù)a的值.
解:∵ -3∈A,∴ -3=a-3或-3=2a- 8、1,若-3=a-3,則a=0.此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素-3,-1,符合題意.若-3=2a-1,則a=-1,此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素-4,-3,符合題意.綜上所述,滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或-1.
變式訓(xùn)練
已知集合A中有且僅有三個(gè)數(shù)1,0,a,若a2∈A,求a的值.
解:若a2=0,則a=0,不符合集合中元素的互異性,∴ a2≠0.若a2=1,則a=±1,由元素的互異性知a≠1,∴ a=-1時(shí)適合.若a2=a,則a=0或1,由上面討論知均不符合集合中元素互異性的要求.綜上可知a=-1.
2 集合間的基本關(guān)系
2 已知A={-1,1},B={x|x2-ax+b=0}≠?.若B? 9、A,求實(shí)數(shù)a,b的值.
解:∵ B?A,A={-1,1},B≠?,∴ B={-1}或B={1}或B={-1,1}.若B={-1},則方程x2-ax+b=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根-1,即Δ=(-a)2-4b=0,且(-1)2-a×(-1)+b=0,此時(shí)a=-2,b=1.若B={1},則方程x2-ax+b=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根1,即Δ=(-a)2-4b=0,且12-a×1+b=0,此時(shí)a=2,b=1.若B={-1,1},則方程x2-ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根-1,1,即(-1)2-a×(-1)+b=0,12-a×1+b=0,此時(shí)a=0,b=-1.綜上所述,當(dāng)或或時(shí),B?A.
, 3) 10、 已知集合M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq2}(a為非零常數(shù)).若M=N,求q的值.
解:由題意,若則a(q-1)2=0,q=1(a≠0).然而q=1與集合中元素的互異性矛盾,所以?a(q-1)(2q+1)=0.因?yàn)閍≠0,q≠1,所以q=-.故所求q的值為-.
變式訓(xùn)練
已知A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},B?A,求m的取值范圍.
解:當(dāng)m+1>2m-1,即m<2時(shí),B=?,滿足B?A,即m<2;當(dāng)m+1=2m-1,即m=2時(shí),B={3},滿足B?A,即m=2;當(dāng)m+1<2m-1,即m>2時(shí),由B?A,得即2 11、
一個(gè)含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為,也可表示為{a+b,0,a2},則a2 018+b2 018=________.
答案:1
解析:若集合相等,則集合的元素對(duì)應(yīng)相等,并且集合還需滿足確定性、互異性、無序性,所以=0,得b=0,此時(shí){a,1,0}={a,0,a2},即故a=-1,所以a2 018+b2 018=1.
, 3 根據(jù)集合的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍)
, 4) 已知集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R,x∈R}.若B?A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:B?A可分為BA和B=A兩種情況,易知A={0,- 12、4}.
(1) 當(dāng)A=B={0,-4}時(shí),∵ 0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的兩根,
∴
∴ a=1.
(2) 當(dāng)BA時(shí),有B≠?或B=?.
① 當(dāng)B≠?時(shí),B={0}或B={-4},∴ 方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有相等的實(shí)數(shù)根0或-4,∴ Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,∴ a=-1,∴ B={0}滿足條件.
② 當(dāng)B=?時(shí),Δ<0,∴ a<-1.
綜上,所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-1或a=1.
變式訓(xùn)練
已知集合A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A},C={z|z=x2,x∈A},且C?B,求正數(shù)a的取值范圍. 13、
解:B={x|-1≤x≤2a+3},當(dāng)02時(shí),C={x|0≤x≤a2},而C?B,則2a+3≥a2,即 2
14、x為A的一個(gè)“孤立元素”,那么S中無“孤立元素”的4個(gè)元素的子集共有________個(gè).
答案:6
解析:由成對(duì)的相鄰元素組成的四元子集都沒有“孤立元素”,如{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},這樣的集合共有6個(gè).
2. 已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},則A∩B的元素個(gè)數(shù)為________________________________________________________________________.
答案:2
解析: 15、直接解方程組可得兩組解,即A∩B的元素個(gè)數(shù)為2.
3. 若x∈A,則∈A,就稱A是“伙伴關(guān)系集合”,集合M=的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)是________.
答案:3
解析:具有伙伴關(guān)系的元素是-1,,2,所以具有伙伴關(guān)系的集合有3個(gè):{-1},{,2},.
4. (2017·溧陽(yáng)中學(xué)月考)若集合A={x|ax2-3x+2=0}的子集至多有兩個(gè),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
答案:{0}∪
解析:若集合A的子集只有兩個(gè),則A中只有一個(gè)元素.當(dāng)a=0時(shí),x=符合要求.當(dāng)a≠0時(shí),Δ=(-3)2-4a×2=0,∴ a=.故a=0或.若集合A的子集只有一個(gè),則A=? 16、,∴ 解得a>,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是{0}∪.
5. 已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 17、____.
易錯(cuò)分析:從集合的關(guān)系看,N?M,則N=?或N≠?,易遺忘N=?的情況.
解析:M={-3,2}.當(dāng)a=0時(shí),N=?,滿足N?M;
當(dāng)a≠0時(shí),方程ax+1=0的解為x=-,
為滿足N?M可使-=-3或-=2,
即a=或a=-.故所求集合為.
答案:
特別提醒:(1) 根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)的關(guān)鍵是抓住集合間的關(guān)系以及集合元素的特征;(2) 在解答本題時(shí),一是不要忽略對(duì)空集的討論,如a=0時(shí),N=?;二是注意對(duì)字母的討論,如-可以為-3或2.一定要注意分類討論,避免漏解.
1. (2018·溧陽(yáng)中學(xué)期初)已知集合A={2+,a},B={-1,1,3},且A?B, 18、則實(shí)數(shù)a的值是________.
答案:1
解析:易知a>0.當(dāng)a=1時(shí),A={1,3},B={-1,1,3},滿足題意;當(dāng)a=3時(shí),A={3,2+},B={-1,1,3},不滿足題意.所以實(shí)數(shù)a的值為1.
2. 若集合A={-1,1},B={0,2},則集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的個(gè)數(shù)為________.
答案: 3
解析:容易看出x+y只能?。?、1、3這三個(gè)數(shù)值.故共有3個(gè)元素.
3. 已知集合A=,且2∈A,3?A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
答案:∪(2,3]
解析:因?yàn)?∈A,所以<0,即(2a-1)(a-2)>0,解得a>2或a< 19、.①
若3∈A,則<0,即(3a-1)(a-3)>0,解得a>3或a<,所以3?A時(shí),≤a≤3.②
由①②可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是∪(2,3].
4. 已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},則B中所含元素的個(gè)數(shù)為________.
答案:10
解析:由x-y∈A及A={1,2,3,4,5}得x>y.當(dāng)y=1時(shí),x可取2,3,4,5,有4個(gè);當(dāng)y=2時(shí),x可取3,4,5,有3個(gè);當(dāng)y=3時(shí),x可取4,5,有2個(gè);當(dāng)y=4時(shí),x可取5,有1個(gè).故共有1+2+3+4=10(個(gè)).
1. 研究一個(gè)集合,首先要看集合中的代表元素是什么,然后再 20、看元素的限制條件,即有何屬性,當(dāng)集合用描述法表示時(shí),注意弄清其元素表示的意義是什么.注意區(qū)分{x|y=f(x)}、{y|y=f(x)}、{(x,y)|y=f(x)}三者的不同.對(duì)于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意檢驗(yàn)集合的元素是否滿足互異性.
2. 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解題時(shí),若未明確說明集合非空時(shí),要考慮到集合為空集的可能性.例如:A?B,則需考慮A=?和A≠?兩種可能的情況.
3. 判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法:一是化簡(jiǎn)集合,從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系;二是用列舉法表示各集合,從元素中尋找關(guān)系.
4. 已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí),關(guān)鍵是將兩集合 21、間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.解決這類問題常常需要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析.
第2課時(shí) 集合的基本運(yùn)算(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)4~5頁(yè))
理解兩個(gè)集合的交集與并集的含義;會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的交集與并集,理解給定集合的一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義;會(huì)求給定子集的補(bǔ)集,會(huì)用Venn圖表示集合的關(guān)系及運(yùn)算.
① 在給定集合中會(huì)求一個(gè)子集的補(bǔ)集,補(bǔ)集的含義在數(shù)學(xué)中就是對(duì)立面.
② 會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的交集與并集;交集的關(guān)鍵詞是“且”,并集的關(guān)鍵詞是“或”.
③ 會(huì)使用Venn圖表示集合的關(guān)系及運(yùn)算;對(duì)于數(shù)集有時(shí)也可以用數(shù)軸表示.
22、
1. (必修1P13練習(xí)1改編)設(shè)集合A={平行四邊形},B={對(duì)角線相等的四邊形},則A∩B=________.
答案:{矩形}
解析:對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形.
2. (必修1P13練習(xí)3改編)已知集合A={y|y=x2-2x,x∈R},B={y|y=x2+6x+16,x∈R},則A∪B=________.
答案:[-1,+∞)
解析:依題意知A=[-1,+∞),B=[7,+∞),所以A∪B=[-1,+∞).
3. (必修1P9練習(xí)2改編)設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2},A={x|x≤1},B={-2,0,2},則?U(A∩B)=__________.
答案:{ 23、-1,1,2}
解析:∵ A∩B={-2,0}∴ ?U(A∩B)={-1,1,2}.
4. (必修1P10習(xí)題4改編)已知集合A={0,2,4,6},?UA={-1,1,-3,3},?UB={-1,0,2},則集合B=__________.
答案:{1,4,6,-3,3}
解析:∵ ?UA={-1,1,-3,3},∴ U={-1,1,0,2,4,6,-3,3}.又?UB={-1,0,2},∴ B={1,4,6,-3,3}.
5. (必修1P14習(xí)題10改編)設(shè)集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,則集合?U(A∩B)中的元素共有__________個(gè) 24、.
答案:3
解析:全集U=A∪B={3,4,5,7,8,9},A∩B={4,7,9},∴ ?U(A∩B)={3,5,8},∴ ?U(A∩B)中的元素共有3個(gè).
1. 集合的運(yùn)算
(1) 交集:由所有屬于A且屬于B的元素組成的集合,叫做集合A與集合B的交集,記作A∩B,即A∩B={x|x∈A且x∈B}.
(2) 并集:由所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合,叫做集合A與集合B的并集,記作A∪B,即A∪B={x|x∈A或x∈B}.
(3) 全集:如果集合S含有我們所研究的各個(gè)集合的全部元素,那么這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集,通常用U來表示.一切所研究的集合都是這個(gè)集合的子集.
(4 25、) 補(bǔ)集:集合A是集合S的一個(gè)子集,由S中所有不屬于A的元素組成的集合叫做A的補(bǔ)集,記作?SA,即?SA={x|x∈S,且x?A}.
2. 常用運(yùn)算性質(zhì)及一些重要結(jié)論
(1) A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩?=?,A∩B=A?A?B.
(2) A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B?A?B.
(3) ?S(?SA)=A,?S?=S,
(?SA)∪(?SB)=?S(A∩B),
(?SA)∩(?SB)=?S(A∪B).
[備課札記]
, 1 集合的運(yùn)算)
, 1) 已知A=,B={y|y=x2 26、+x+1,x∈R}.
(1) 求A,B;
(2) 求A∪B,A∩(?RB).
解:(1) 由≥1,得-1=≥0,即x(x-1)≤0且x≠0,解得0 27、-1=1?a=2(此時(shí)B={1}).
由A∩C=C?C?A,從而C=A或C=?(當(dāng)C={1}或C={2}時(shí),可檢驗(yàn)不符合題意).
當(dāng)C=A時(shí),m=3;
當(dāng)C=?時(shí),Δ=m2-8<0?-2 28、3 29、) A∩B=A;
(3) A∪(?RB)=?RB.
解:(1) A∩B≠?,∵ 集合A的區(qū)間長(zhǎng)度為3,∴ 由圖可得a<-1或a+3>5,解得a<-1或a>2,
∴ 當(dāng)a<-1或a>2時(shí),A∩B≠?.
(2) ∵ A∩B=A,∴ A?B.
由圖得a+3<-1或a>5,即a<-4或a>5時(shí),A∩B=A.
(3) 由補(bǔ)集的定義知?RB={x|-1≤x≤5},
∵ A∪(?RB)=?RB,∴ A??RB.
由圖得解得-1≤a≤2.
變式訓(xùn)練
設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}.
(1) 當(dāng)a=-4時(shí),求A∩B和A∪B;
(2 30、) 若(?RA)∩B=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:(1) A=.
當(dāng)a=-4時(shí),B={x|-2 31、關(guān)于x的方程x2-2x+2m+4=0兩根均為非負(fù)實(shí)數(shù)},
則?-2≤m≤-,
∴ M=.設(shè)全集U={m|Δ≥0}=,
∴ m的取值范圍是?UM={m|m<-2}.
(解法2)命題?方程的小根x=1-<0
?>1?-2m-3>1?m<-2.
, 3 集合的綜合應(yīng)用)
, 3) 已知集合A=,B={x|x2-2x-m<0}.
(1) 當(dāng)m=3時(shí),求A∩(?RB);
(2) 若A∩B={x|-1 32、x≤-1或x≥3},
所以A∩(?RB)={x|3≤x≤5}.
(2) 因?yàn)锳={x|-1 33、定義問題)
, 4) 定義集合運(yùn)算A*B={x|x∈A,或x∈B,但x?A∩B},設(shè)A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},則(A*B)*A=________.
答案:{1,2,5,6,7}
解析:A*B={3,4,5,6,7},∴ (A*B)*A={1,2,5,6,7}.
變式訓(xùn)練
(必修1P14習(xí)題13改編)設(shè)A,B是非空集合,定義A×B={x|x∈A∪B,且x?A∩B}.若A={x|y=},B={y|y=3x},則A×B=__________.
答案:(-∞,3)
解析:集合A即為函數(shù)f(x)=的定義域,由x2-3x≥0?x≤0或x≥3,故集合A=(-∞ 34、,0]∪[3,+∞),集合B即為函數(shù)g(x)=3x的值域,故B=(0,+∞),從而有A∪B=R,A∩B=[3,+∞),由定義知A×B=(-∞,3).
(2018·洪澤中學(xué)單元卷)對(duì)于任意兩集合A,B,定義A-B={x|x∈A且x?B},A*B=(A-B)∪(B-A),記A={y|y≥0},B={x|-3≤x≤3},則A*B=________.
答案:[-3,0)∪(3,+∞)
解析:由題意知,A-B={x|x>3},B-A={x|-3≤x<0},A*B=(A-B)∪(B-A)=[-3,0)∪(3,+∞).
反思:本題考查集合的運(yùn)算新定義問題,屬于難題.新定義題型的特點(diǎn)是:通過給出一 35、個(gè)新概念,或約定一種新運(yùn)算,或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景,要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上,依據(jù)題目提供的信息,聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法,實(shí)現(xiàn)信息的遷移,達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題,應(yīng)耐心讀題,分析新定義的特點(diǎn),弄清新定義的性質(zhì),按新定義的要求,“照章辦事”,逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算,使問題得以解決.本題定義一種運(yùn)算A-B={x|x∈A且x?B},A*B=(A-B)∪(B-A)達(dá)到考查集合運(yùn)算的目的.
1. (2018·四川雅安中學(xué)月考)已知M={y|y=x2,x∈R},N={y|x2+y2=1,x∈R,y∈R},則M∩N=________.
答案:[0,1]
解析:由題意得M=[ 36、0,+∞),由x2+y2=1,得到-1≤y≤1,即N=[-1,1],則M∩N=[0,1].
2. 已知集合A={0,a},B={0,1,3}.若A∪B={0,1,2,3},則實(shí)數(shù)a的值為__________.
答案:2
解析:A={0,a},B={0,1,3},A∪B={0,1,2,3},則a=2.
3. 已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},那么A∪(?UB)=__________.
答案:{1,2,5}
解析:∵ ?UB={1,5},∴ A∪(?UB)={1,2,5}.
4. 已知集合A={1,2,3,4,5},B={1,3,5,7,9},C 37、=A∩B,則集合C的子集的個(gè)數(shù)為__________.
答案:8
解析:C={1,3,5},則集合C的子集的個(gè)數(shù)為8.
5. 設(shè)集合A={-1,0,1},B={a-1,a+},A∩B={0},則實(shí)數(shù)a的值為__________.
答案:1
解析:0∈,由 a+≠0,則a-1=0,則實(shí)數(shù)a的值為1.
, 2. 集合關(guān)系不能轉(zhuǎn)化)
典例 設(shè)A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k,b∈N,使得(A∪B)∩C=?,并證明你的結(jié)論.
易錯(cuò)分析:難點(diǎn)在于對(duì)集合關(guān)系的不理解,對(duì)題目所給出 38、的條件不能認(rèn)清其實(shí)質(zhì)內(nèi)涵,因而可能感覺無從下手.
解:∵ (A∪B)∩C=?,
∴ A∩C=?且B∩C=?.
∵ ∴ k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0.
∵ A∩C=?,∴ Δ1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0,
∴ 4k2-4bk+1<0,此不等式有解,其充要條件是16b2-16>0,即b2>1?、?
∵
∴ 4x2+(2-2k)x+(5-2b)=0.
∵ B∩C=?,∴ Δ2=(1-k)2-4(5-2b)<0,
∴ k2-2k+8b-19<0,從而8b<20,即b<2.5 ②.
由①②及b∈N,得b=2,代入由Δ1<0和Δ2<0組成的不等式組,得∴ 39、k=1.
故存在自然數(shù)k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=?.
特別提醒:解決此題的閃光點(diǎn)是將條件(A∪B)∩C=?轉(zhuǎn)化為A∩C=?且B∩C=?.要能夠借助Venn圖充分理解集合的交、并、補(bǔ)之間的關(guān)系及熟練轉(zhuǎn)化.
1. (2018·遂寧射洪中學(xué)入學(xué)考試)設(shè)集合U={x|x<5,x∈N*},M={x|x2-5x+6=0},則?UM=________.
答案:{1,4}
解析:集合U={x|x<5,x∈N*}={1,2,3,4},M={x|x2-5x+6=0}={2,3},則?UM={1,4}.
2. 設(shè)集合A={x∈R|},B={x∈Z|x-2>0},則A∩B=_______ 40、_.
答案:{3}
解析:∵ A={x|-1≤x≤3},B={x∈Z|x>2},∴ A∩B={x∈Z|2 41、2)=-4,且m=(-2)×(-2)=4,這兩式不能同時(shí)成立,∴ B≠{-2};
③ 若B={-1,-2},則應(yīng)有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×(-2)=2,由這兩式得m=2.
經(jīng)檢驗(yàn)知m=1和m=2符合條件.
∴ m的值是1或2.
4. 某校高一年級(jí)舉行語(yǔ)、數(shù)、英三科競(jìng)賽,高一(2)班共有32名 同學(xué)參加三科競(jìng)賽,有16人參加語(yǔ)文競(jìng)賽,有10人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,有16人參加英語(yǔ)競(jìng)賽,同時(shí)參加語(yǔ)文和數(shù)
學(xué)競(jìng)賽的有3人,同時(shí)參加語(yǔ)文和英語(yǔ)競(jìng)賽的有3人,沒有人同時(shí)參加全部三科競(jìng)賽,問:同時(shí)參加數(shù)學(xué)和英語(yǔ)競(jìng)賽的有多少人?只參加語(yǔ)文一科競(jìng)賽的有多少人?
解:設(shè)所有參加 42、語(yǔ)文競(jìng)賽的同學(xué)組成的集合用A表示,所有參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)組成的集合用B表示,所有參加英語(yǔ)競(jìng)賽的同學(xué)組成的集合用C表示,設(shè)只參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有x人,只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有y人,只參加英語(yǔ)競(jìng)賽的有z人,同時(shí)參加數(shù)學(xué)和英語(yǔ)競(jìng)賽的有m人.根據(jù)題意,可作出如圖所示Venn圖,
則有
解得
答:同時(shí)參加數(shù)學(xué)和英語(yǔ)競(jìng)賽的有4人,只參加語(yǔ)文一科競(jìng)賽的有10人.
1. 集合的運(yùn)算結(jié)果仍然是集合.進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)應(yīng)當(dāng)注意:
(1) 勿忘對(duì)空集情形的討論;
(2) 勿忘集合中元素的互異性;
(3) 對(duì)于集合A的補(bǔ)集運(yùn)算,勿忘A必須是全集的子集;
(4) 已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)或參數(shù)范圍時(shí),關(guān)鍵是將 43、兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.解決這類問題常常需要合理利用數(shù)軸、Venn圖化抽象為直觀.還要注意“回代檢驗(yàn)”,從而對(duì)所求數(shù)值進(jìn)行合理取舍.
2. 在集合運(yùn)算過程中應(yīng)力求做到“三化”
(1) 意義化:首先明確集合的元素的意義,它是怎樣類型的對(duì)象(數(shù)集、點(diǎn)集,圖形等)?是表示函數(shù)的定義域、值域,還是表示方程或不等式的解集?
(2) 具體化:具體求出相關(guān)集合中函數(shù)的定義域、值域或方程、不等式的解集等;不能具體求出的,也應(yīng)力求將相關(guān)集合轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)形式.
(3) 直觀化:借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)平面、Venn圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來,從而借助數(shù)形結(jié)合思想解決 44、問題.
[備課札記]
第3課時(shí) 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、量詞(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)6~8頁(yè))
了解命題的逆命題、否命題與逆否命題的意義;理解必要條件、充分條件、充要條件的意義;了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義;了解全稱量詞與存在量詞的意義;了解含有一個(gè)量詞的命題的否定的意義.
① 會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系.
② 會(huì)判斷必要條件、充分條件與充要條件.
③ 能用“或”“且”“非”表述相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容(真值表不作要求).
④ 能用全稱量詞與存在量詞敘述簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)內(nèi)容.
⑤ 能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.
45、
1. 寫出命題“若a=0,則ab=0”的逆否命題:________________________________________________________________________.
答案:若ab≠0,則a≠0
2. 原命題“設(shè)a,b,c∈R,若ac2>bc2,則a>b”的逆命題、否命題、逆否命題中,真命題共有________個(gè).
答案:1
3. (改編題)已知集合A={1,a},B={1,2,3},則“a=3”是“A?B”的____________條件.
答案:充分不必要
解析:a=3時(shí),A={1,3},顯然A?B.但A?B時(shí),a=2或3.所以a=3是A?B的充分 46、不必要條件.
4. (改編題)函數(shù)f(x)=x2+mx+1的圖象關(guān)于直線x=1 對(duì)稱的充要條件是____________.
答案:m=-2
解析:已知函數(shù)f(x)=x2+mx+1的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則m=-2;反之也成立.所以函數(shù)f(x)=x2+mx+1的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱的充要條件是m=-2.
5. (改編題)已知命題p:?x∈R,x2+x-1<0,則綈p為__________.
答案:?x∈R,x2+x-1≥0
解析:含有存在量詞的命題的否定,需將存在量詞改為全稱量詞,并將結(jié)論否定,即綈p:?x∈R,x2+x-1≥0.
1. 四種命題及其關(guān)系
(1) 四種命題 47、
① 如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論,且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件,那么這兩個(gè)命題互為逆命題;
② 如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定,那么這兩個(gè)命題叫做互否命題,這個(gè)命題叫做原命題的否命題;
③ 如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定,那么這兩個(gè)命題互為逆否命題,這個(gè)命題叫做原命題的逆否命題.
命題
表述形式
原命題
若p,則q
逆命題
若q,則p
否命題
若非p,則非q
逆否命題
若非q,則非p
(2) 四種命題間的逆否關(guān)系
(3) 四種命題的真假關(guān)系
兩個(gè)命題互為逆否命題,它們有相同的真假性;
48、兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關(guān)系.
2. 充分條件與必要條件
(1) 如果p?q,那么稱p是q的充分條件,q是p的必要條件.
(2) 如果p?q,且q?p,那么稱p是q的充要條件,記作p?q.
(3) 如果p?q,q__p,那么稱p是q的充分不必要條件.
(4) 如果q?p,p__q,那么稱p是q的必要不充分條件.
(5) 如果p?/ q,且q?/ p,那么稱p是q的既不充分也不必要條件.
3. 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞
(1) “或”“且”“非”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.
① 或:兩個(gè)簡(jiǎn)單命題至少一個(gè)成立.
② 且:兩個(gè)簡(jiǎn)單命題都成立.
③ 非:對(duì)一個(gè)命題的否定.
49、
(2) 用聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)命題p和命題q,記作p∧q,讀作“p且q”.
(3) 用聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)命題p和命題q,記作p∨q,讀作“p或q”.
(4) 一個(gè)命題p的否定記作綈p,讀作“非p”或“p的否定”.
(5) 命題p∧q,p∨q,綈p的真假判斷
p∧q中p,q有一假為假,p∨q中p,q有一真為真,p與非p必定是一真一假.
4. 全稱量詞與存在量詞
(1) 全稱量詞與全稱命題
短語(yǔ)“所有”“任意”“每一個(gè)”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞,并用符號(hào)“?x”表示“對(duì)任意x”.
含有全稱量詞的命題,叫做全稱命題.
全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x,都有p(x)成立”可用符號(hào) 50、簡(jiǎn)記為?x∈M,p(x),讀作“對(duì)任意x屬于M,有p(x)成立”.
(2) 存在量詞與存在性命題
短語(yǔ)“有一個(gè)”“有些”“存在一個(gè)”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞,并用符號(hào)“?x”表示“存在x”.
含有存在量詞的命題,叫做存在性命題.
存在性命題“M中存在一個(gè)x,使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M,p(x),讀作“存在一個(gè)x屬于M,使p(x)成立”.
5. 含有一個(gè)量詞的命題的否定
命題
命題的否定
?x∈M,p(x)
?x∈M,綈p(x)
?x∈M,p(x)
?x∈M,綈p(x)
[備課札記]
51、
, 1 四種命題及其相互關(guān)系)
, 1) (1) 命題“若a>b,則2a>2b-1”的否命題為______________;
(2) (2018·溧陽(yáng)中學(xué)摸底)命題“?x<0,有x2>0”的否定是________________.
(3) 命題“若x2+x-m=0沒有實(shí)根,則m≤0”是________命題.(選填“真”或“假”)
答案:(1) 若a≤b,則2a≤2b-1 (2) ?x<0,有x2≤0 (3) 真
解析:(3) 很可能許多同學(xué)會(huì)認(rèn)為它是假命題(原因m=0時(shí)顯然方程有 52、根),其實(shí)不然,由x2+x-m=0沒有實(shí)根可推得m<-,而是{m|m≤0}的真子集,由m<-可推得m≤0,故原命題為真.其實(shí),用逆否命題很容易判斷它是真命題.
【精要點(diǎn)評(píng)】 本題考查了命題間的關(guān)系,由原命題寫出其否命題、逆否命題.原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假.
變式訓(xùn)練
下列命題中不是真命題的是__________.(填序號(hào))
① “若ab=0,則a=0或b=0”的逆命題;
② “若x2+y2≠0,則x, y不全為零”的否命題;
③ “?x∈R,使x2+1>3x”的否定;
④ “若m>0,則x2+x-m=0有實(shí)根”的逆否命題.
答案:③
解析:①中命題的逆 53、命題為若a=0或b=0,則ab=0,為真命題,故①正確;②中命題的否命題為若x2+y2=0,則x,y全為零,為真命題,故②正確;③中命題的否定為?x∈R,使x2-3x+1≤0 ,因?yàn)棣ぃ?-3)2-4=5>0,故③錯(cuò)誤;④中命題x2+x-m=0有實(shí)根?Δ=1+4m≥0?m≥-?若m>0,則x2+x-m=0有實(shí)根為真命題?其逆否命題也為真命題,故④正確.故填③.
命題“若x,y都是偶數(shù),則x+y也是偶數(shù)”的逆否命題是____________________________________.
答案:若x+y不是偶數(shù),則x,y不都是偶數(shù)
解析:由于“x,y都是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x,y不都 54、是偶數(shù)”,“x+y是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x+y不是偶數(shù)”,故原命題的逆否命題為“若x+y不是偶數(shù),則x,y不都是偶數(shù)”., 2 充分條件和必要條件)
●典型示例
, 2) 已知集合A=,B={x|x+m2≥1}.p:x∈A,q:x∈B,并且p是q的充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【思維導(dǎo)圖】 對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)→將條件間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系→利用集合間的關(guān)系列出關(guān)于m的不等式→求出實(shí)數(shù)m的范圍
【規(guī)范解答】 解: 化簡(jiǎn)集合A,由y=x2-x+1配方得y=+.
∵ x∈,∴ ymin=,ymax=2.∴ y∈.∴ A=.
化簡(jiǎn)集合B,由x+m2 55、≥1,得x≥1-m2,B={x|x≥1-m2}.
∵ 命題p是命題q的充分條件,∴ A?B.∴ 1-m2≤,解得m≥或m≤-.
∴ 實(shí)數(shù)m的取值范圍是∪.
【精要點(diǎn)評(píng)】 本例涉及參數(shù)問題,直接解決較為困難,先用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,將復(fù)雜、生疏的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、熟悉的問題來解決.一般地,在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關(guān)系問題中,常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來考慮,這是破解此類問題的關(guān)鍵.
●總結(jié)歸納
充要關(guān)系的幾種判斷方法
(1) 定義法:直接判斷若p則q、若q則p的真假.
(2) 等價(jià)法:即利用A?B與綈B?綈A;B?A與綈A?綈B;A?B與綈B?綈A的等價(jià)關(guān)系,對(duì)于條件或結(jié)論是否定 56、形式的命題,一般運(yùn)用等價(jià)法.
(3) 利用集合間的包含關(guān)系判斷:設(shè)A={x|p(x)},B={x|q(x)},若A?B,則p是q的充分條件或q是p的必要條件;若A=B,則p是q的充要條件.
●題組練透
1. “m<”是“一元二次方程x2+x+m=0有實(shí)數(shù)解”的______________(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)條件.
答案:充分不必要
解析:x2+x+m=0有實(shí)數(shù)解等價(jià)于Δ=1-4m≥0,即m≤.
2. 已知p:x≥k,q:(x+1)(2-x)<0,如果p是q的充分不必要條件,則k的取值范圍是____________.
答案: 57、(2,+∞)
解析:由q:(x+1)(2-x)<0,得x<-1或x>2,又p是q的充分不必要條件,所以k>2,即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(2,+∞).
3. 設(shè)n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=__________.
答案:3或4
解析:已知方程有根,由判別式Δ=16-4n≥0,解得n≤4,又n∈N*,逐個(gè)分析,當(dāng)n=1,2時(shí),方程沒有整數(shù)根;而當(dāng)n=3時(shí),方程有整數(shù)根1,3;當(dāng)n=4時(shí),方程有整數(shù)根2.
4. 若命題p:?x∈R,使x2+ax+1<0,則綈p:__________________.
答案:?x∈R,使x2+ax+1≥0
解析:存在性命題的 58、否定需要將存在量詞?改為全稱量詞?,并且將命題的結(jié)論進(jìn)行否定.所以命題“?x∈R,使x2+ax+1<0”的否定是“?x∈R,使x2+ax+1≥0”.
, 3 邏輯聯(lián)結(jié)詞)
, 3) 已知p:?x∈R,mx2+1≤0,q:?x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q為假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________.
答案:[2,+∞)
解析:依題意知,p,q均為假命題.當(dāng)p是假命題時(shí),mx2+1>0恒成立,則有m≥0;當(dāng)q是假命題時(shí),則有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.因此由p,q均為假命題得即m≥2.
變式訓(xùn)練
已知命題p:“?x∈[0 59、,1],a≥ex”;命題q:“?x∈R,使得x2+4x+a=0”.若命題“p∧q”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.
答案:[e,4]
解析:若命題“p∧q”是真命題,那么命題p,q都是真命題.由?x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由?x∈R,使得x2+4x+a=0,知Δ=16-4a≥0,a≤4,因此e≤a≤4.
已知命題p:|x2-x|≥6,q:x∈Z,若“p∧q”與“綈q”都是假命題,求x的值.
解:∵ 綈q假,∴ q真.又p∧q假,∴ p假.
∴ 即∴
∴ x=-1,0,1,2.
, 4 全稱命題與存在性命題)
, 4 60、) 已知命題p:“?x∈R,?m∈R,使4x-2x+1+m=0”.若命題綈p是假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
答案:(-∞,1]
解析:命題綈p是假命題,即命題p是真命題,由4x-2x+1+m=0得m=-(4x-2x+1),令f(x)=-(4x-2x+1),由于f(x)=-(2x-1)2+1,所以當(dāng)x∈R時(shí)f(x)≤1,因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤1.
若命題“?x∈R,有x2-mx-m<0”是假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
答案:[-4,0]
解析:“?x∈R,有x2-mx-m<0”是假命題,則“?x∈R,有x2-mx-m≥0”是真命題,即Δ=m2 61、+4m≤0,∴ -4≤m≤0.
1. 已知命題p:?x∈R,使ax2+2x+1<0.當(dāng)綈p為真命題時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.
答案:{a|a≥1}
解析:綈p:?x∈R,使ax2+2x+1≥0.若此命題為真命題,則即a≥1,從而所求a的取值范圍是{a|a≥1}.
2. (2016·全國(guó)Ⅰ卷)命題“?x∈R,2x2-3ax+9<0”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.
答案:[-2,2]
解析:因題中的命題為假命題,則它的否定“?x∈R,2x2-3ax+9≥0”為真命題,也就是常見的“恒成立”問題,因此只需Δ=9a2-4×2×9≤0,即- 62、2≤a≤2.
3. (2018·衡水中學(xué)周測(cè))設(shè)p:≤0,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)<0,若p是q的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
答案:
解析:因?yàn)閜:≤x<1,q:a 63、,所以命題q為假命題,因此p∧q,(綈p)∧q,(綈p)∧(綈q)為假命題,p∧(綈q)為真命題,填②.
點(diǎn)睛:若要判斷一個(gè)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假,需先判斷構(gòu)成這個(gè)命題的每個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假,再依據(jù)“或”:一真即真,“且”:一假即假,“非”:真假相反,做出判斷即可.
5. (2017·溧陽(yáng)中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)=+ex,則x1+x2>0是f(x1)+f(x2)>f(-x1)+f(-x2)的________條件.(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案:充要
解析:當(dāng)x>0時(shí), y==1-,易知y=在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又y=是奇函數(shù),∴ 函數(shù)f 64、(x)=+ex在(-∞,+∞)上為單調(diào)增函數(shù).
先證充分性:
∵ x1+x2>0,∴ x1>-x2,又f(x)=+ex在(-∞,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),∴ f(x1)>f(-x2),同理:f(x2)>f(-x1),故f(x1)+f(x2)>f(-x1)+f(-x2).充分性證畢.
再證必要性:
記g(x)=f(x)-f(-x),由f(x)=+ex在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,可知f(-x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,∴ g(x)=f(x)-f(-x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.
由f(x1)+f(x2)>f(-x1)+f(-x2),可得f(x1)-f(-x1)>f(-x2)-f(x2), 65、即g(x1)>g(-x2),
∴ x1>-x2,x1+x2>0.必要性證畢.
1. “b=c=0”是“二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)”的________條件.
答案:充分不必要
解析:若b=c=0,則二次函數(shù)y=ax2+bx+c=ax2經(jīng)過原點(diǎn);若二次函數(shù)y=ax2+bx+c過原點(diǎn),則c=0.
2. 已知命題p:x2-5x+6≥0;命題q:0 66、足條件的實(shí)數(shù)x的范圍是(-∞,0]∪[4,+∞).
3. (2018·濟(jì)南一中期初)已知不等式|x-m|<1成立的充分不必要條件是
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