(全國(guó)通用版)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前沖刺四 溯源回扣六 平面解析幾何學(xué)案 文

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1、溯源回扣六 平面解析幾何 1.不能準(zhǔn)確區(qū)分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關(guān)系,導(dǎo)致由斜率的取值范圍確定傾斜角的范圍時(shí)出錯(cuò). [回扣問題1] 直線xcos θ+y-2=0的傾斜角的范圍是________. 解析 tan α=k=-,知-≤k≤, ∴0≤α≤或≤α<π. 答案 ∪ 2.易忽視直線方程的幾種形式的限制條件,如根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等設(shè)方程時(shí),忽視截距為0的情況. [回扣問題2] 已知直線過點(diǎn)P(1,5),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則此直線的方程為________. 解析 當(dāng)截距為0,則直線方程為y=5x,當(dāng)截距不是0時(shí),設(shè)直線方程為x+y=a,將P(1,

2、5)坐標(biāo)代入方程,得a=6.∴所求方程為5x-y=0或x+y-6=0. 答案 5x-y=0或x+y-6=0 3.求兩條平行線之間的距離時(shí),易忽視兩直線x,y的系數(shù)相等的條件,而直接代入公式d=,導(dǎo)致錯(cuò)誤. [回扣問題3] 直線3x+4y+5=0與6x+8y-7=0的距離為________. 解析 將3x+4y+5=0化為6x+8y+10=0,∴兩平行線間的距離d==. 答案  4.與圓有關(guān)的參數(shù)問題,易忽視參數(shù)的影響. [回扣問題4] 已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標(biāo)是________. 解析 由方程表示圓,則a2=a+2,解得a

3、=-1或a=2. 當(dāng)a=-1時(shí),方程化為(x+2)2+(y+4)2=25,故圓心為(-2,-4). 但a=2時(shí),x2+y2+x+2y+=0不表示圓. 答案 (-2,-4) 5.求圓的切線方程時(shí),易忽視斜率不存在的情形. [回扣問題5] 已知點(diǎn)P(1,2)與圓C:x2+y2=1,則過點(diǎn)P作圓C的切線l,則切線l的方程為________________. 解析 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),切線l的方程為x=1. 若直線l的斜率存在,設(shè)為k,則l的方程為y=k(x-1)+2,即kx-y+2-k=0. 依題意,得=1,解得k=. 此時(shí)切線l的方程為y=x+. 答案 x=1或y=x+

4、6.兩圓的位置關(guān)系可根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系判定,在兩圓相切的關(guān)系中,誤認(rèn)為相切為兩圓外切,忽視相內(nèi)切的情形. [回扣問題6] 雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F1,頂點(diǎn)為A1,A2,P是雙曲線右支上任意一點(diǎn),則分別以線段PF1,A1A2為直徑的兩圓的位置關(guān)系為________. 解析 設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為P0,雙曲線的右焦點(diǎn)為F2,則|OP0|=|PF2|, 由雙曲線定義,|PF1|-|PF2|=2a, ∴|OP0|=|PF1|-a=R-r,因此兩圓內(nèi)切. 答案 內(nèi)切 7.易混淆橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,尤其是方程中a,b,c三者之間的關(guān)系,導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤. [回扣

5、問題7] 已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率e=,且其右焦點(diǎn)為F2(5,0),則雙曲線C的方程為(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析 ∵e==,F(xiàn)2(5,0), ∴c=5,a=4,b2=c2-a2=9, ∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 答案 C 8.由圓錐曲線方程討論幾何性質(zhì)時(shí),易忽視討論焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸導(dǎo)致漏解. [回扣問題8] 已知橢圓+=1(m>0)的離心率等于,則m=________. 解析 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上,則a=2,c=, ∴=,則m=1. 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上,則a=,c=, ∴=,則m=16. 答案 1或16

6、 9.利用橢圓、雙曲線的定義解題時(shí),要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件.如在雙曲線的定義中,有兩點(diǎn)是缺一不可的:其一,絕對(duì)值;其二,2a<|F1F2|.如果不滿足第一個(gè)條件,動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù),而不是差的絕對(duì)值為常數(shù),那么其軌跡只能是雙曲線的一支. [問題回扣9] 已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A(0,1),B(0,-1),動(dòng)點(diǎn)M到A,B兩點(diǎn)的距離之差為1,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是________________. 解析 依題意|MA|-|MB|=1<|AB|, 所以點(diǎn)M的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的下支. 由a=,c=1,則b2=, 所以點(diǎn)M的軌跡方程是4y2-=1(y<0). 答案 

7、4y2-=1(y<0) 10.在拋物線中,點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離的轉(zhuǎn)化是解決拋物線問題的突破口,注意定義的活用. [問題回扣10] (2017·全國(guó)Ⅱ卷)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|=________. 解析 如圖,不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi),拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A,過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)P,∴PM∥OF. 由題意知,F(xiàn)(2,0),|FO|=|AO|=2. ∵點(diǎn)M為FN的中點(diǎn),PM∥OF, ∴|MP|=|FO|=1. 又|BP|=|AO|=2, ∴|MB|=|MP|+|BP|

8、=3. 由拋物線的定義知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6. 答案 6 11.直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解,消元后得到的方程中要注意:二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零,判別式Δ≥0的限制.尤其是在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題時(shí),必須先有“判別式Δ≥0”;在求交點(diǎn)、弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、斜率、對(duì)稱或存在性問題都應(yīng)在“Δ>0”下進(jìn)行. [回扣問題11] (2018·西安調(diào)研)已知橢圓W:+=1(a>b>0)的焦距為2,過右焦點(diǎn)和短軸一個(gè)端點(diǎn)的直線的斜率為-1,O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求橢圓W的方程; (2)設(shè)斜率為k的直線l與W相交于A,B兩點(diǎn),記△AOB面積的最大值為

9、Sk,證明:S1=S2. (1)解 由題意,得W的半焦距c=1,右焦點(diǎn)F(1,0),上頂點(diǎn)M(0,b). ∴直線MF的斜率kMF==-1,解得b=1. 由a2=b2+c2,得a2=2. ∴橢圓W的方程為+y2=1. (2)證明 設(shè)直線l的方程為y=kx+m,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由方程組 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0, ∴Δ=16k2-8m2+8>0.① 由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=,x1x2=. ∴|AB|= =, ∵原點(diǎn)O到直線y=kx+m的距離d=, ∴S△AOB=|AB|d=,當(dāng)k=1時(shí),S△AOB=, ∴當(dāng)m2=時(shí),S△AOB有最大值S1=,驗(yàn)證滿足①式,當(dāng)k=2時(shí),S△AOB=, ∴當(dāng)m2=時(shí),S△AOB的最大值S2=,驗(yàn)證①式成立.因此S1=S2. 5

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