2022高考數(shù)學大一輪復習 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第七節(jié) 離散型隨機變量的分布列、均值與方差檢測 理 新人教A版

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1、2022高考數(shù)學大一輪復習 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第七節(jié) 離散型隨機變量的分布列、均值與方差檢測 理 新人教A版 1．袋中有20個大小相同的球，其中標上0號的有10個，標上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標號． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值． 解：(1)X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5. D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.

2、5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. (2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2. 又E(Y)＝aE(X)＋b， 所以當a＝2時， 由1＝2×1.5＋b，得b＝－2. 當a＝－2時， 由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. 所以或 2．(2018·合肥市第一次教學質量檢測)某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲、乙兩個抽獎方案供員工選擇． 方案甲：員工最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎率均為.第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結束．若中獎，則通過拋一枚質地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進行第二次抽獎．規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進行第二次

3、抽獎；若正面朝上，員工則須進行第二次抽獎，且在第二次抽獎中，若中獎，則獲得獎金1 000元；若未中獎，則所獲得的獎金為0元． 方案乙：員工連續(xù)三次抽獎，每次中獎率均為，每次中將均可獲得獎金400元． (1)求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X(元)的分布列； (2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎，哪個方案更劃算？ 解：(1)X的可能取值為0,500,1 000. P(X＝0)＝＋××＝，P(X＝500)＝×＝，P(X＝1 000)＝××＝， 所以某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X(元)的分布列為 X 0 500 1 000 P (2)由(1)可知

4、，選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X的期望E(X)＝500×＋1 000×＝520， 若選擇方案乙進行抽獎，中獎次數(shù)ξ～B，則E(ξ)＝3×＝，抽獎所獲獎金X的期望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故選擇方案甲較劃算． 3．(2018·天津實驗中學期中)從裝有大小相同的2個紅球和6個白球的袋子中摸球(不放回)，每摸出2個球為一次試驗，直到摸出的球中有紅球，則試驗結束． (1)求第一次試驗恰好摸到1個紅球和1個白球的概率； (2)記試驗次數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望． 解：(1)記“第一次試驗恰好摸到1個紅球和1個白球”為事件A，則P(A)＝＝. (2)X的所有可能取值為

5、1,2,3,4， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝×＝； P(X＝3)＝××＝；P(X＝4)＝×××＝. ∴X的分布列為 X 1 2 3 4 P E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 4．(2018·湖南湘中聯(lián)考)某商場經銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商場經銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元．η表示經銷一件該商品的利潤． (1)求事件A“購買該商品的3

6、位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)； (2)求η的分布列及期望E(η)． 解：(1)由A表示事件“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”，可得表示事件“購買該商品的3位顧客中，無人采用1期付款”． 又P()＝(1－0.4)3＝0.216， 故P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784. (2)η的所有可能取值為200,250,300. P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4， P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2. 所以η的分布列為 η 2

7、00 250 300 P 0.4 0.4 0.2 E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240. B組　能力提升練 5．(2018·湖南邵陽月考)某省電視臺舉行歌唱大賽，大賽依次設初賽、復賽、決賽三個輪次的比賽．已知某歌手通過初賽、復賽、決賽的概率分別為，，，且各輪次通過與否相互獨立．記該歌手參賽的輪次為ξ. (1)求ξ的分布列和數(shù)學期望； (2)記“函數(shù)f(x)＝3sin(x∈R)是偶函數(shù)”為事件A，求A發(fā)生的概率． 解：(1)ξ的所有可能取值為1,2,3. P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝， P(ξ＝3)＝×＝. 所以ξ的分布列為

8、 ξ 1 2 3 P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝. (2)若f(x)＝3sin(x∈R)是偶函數(shù)，則ξ＝1或ξ＝3. 故P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＝＋＝. 6．(2018·遼寧大連期中)某工廠為了對新研發(fā)的產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的單位進行試銷，得到一組檢測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，6)如表所示. 試銷單價x/元 4 5 6 7 a 9 產品銷量y/件 b 84 83 80 75 68 已知變量x，y具有線性負相關關系，且i＝39，i＝480，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學通過計算求得其回歸方程分別為：甲，y

9、＝4x＋54；乙，y＝－4x＋106；丙，y＝－4.2x＋105.其中有且僅有一位同學的計算結果是正確的． (1)試判斷誰的計算結果正確，并求出a，b的值； (2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)(xi，i)中的i與檢測數(shù)據(jù)(xi，yi)中的yi差的絕對值不超過1，則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取3個，求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)ξ的分布列和數(shù)學期望． 解：(1)已知變量x，y具有線性負相關關系，故甲的計算結果不對，由題意得，＝＝6.5，＝＝80， 將＝6.5，＝80分別代入乙、丙的回歸方程，經驗證知乙的計算結果正確， 故回歸方程為y＝－4x＋106. 由i＝4＋5＋6＋7＋a＋9＝39，得a＝8， 由i＝b＋84＋83＋80＋75＋68＝480，得b＝90. (2)列出估計數(shù)據(jù)(xi，yi)與檢測數(shù)據(jù)(xi，yi)如表. x 4 5 6 7 8 9 y 90 84 83 80 75 68 90 86 82 78 74 70 易知有3個“理想數(shù)據(jù)”，故“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.