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1、2022高中數(shù)學 第2章 推理與證明 第3節(jié) 數(shù)學歸納法學案 理 蘇教版選修2-2
一、學習目標:
了解數(shù)學歸納法的原理,會用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關的命題。
二、重點、難點
能運用數(shù)學歸納法證明和自然數(shù)有關的命題。
三、考點分析:
數(shù)學歸納法中的歸納思想是比較常見的數(shù)學思想,因此要重視。數(shù)學歸納法在考試中時隱時現(xiàn),且較隱蔽,因此在復習中應引起重視。只要與自然數(shù)有關,都可考慮使用數(shù)學歸納法,當然主要是恒等式、等式、不等式、整除問題、幾何問題、三角問題、數(shù)列問題等聯(lián)系得更多一些。
一、數(shù)學歸納法的定義:
由歸納法得到的與自然數(shù)有關的數(shù)學命題常采用下面的證明
2、方法:
(1)先證明當n=n0(n0是使命題成立的最小自然數(shù))時命題成立;
(2)假設當n=k(k∈N*, k≥n0)時命題成立,再證明當n=k+1時命題也成立,那么就證明這個命題成立,這種證明方法叫數(shù)學歸納法。
二、數(shù)學歸納法的應用:
(1)證恒等式;
(2)整除性的證明;
(3)探求平面幾何中的問題;
(4)探求數(shù)列的通項;
(5)不等式的證明。
特別提示
(1)用數(shù)學歸納法證題時,兩步缺一不可;
(2)證題時要注意兩湊:一湊歸納假設;二湊目標。
例1 已知,則的值為( )
A. + B. ++
C. -
3、 D. +-
思路分析:是從n+1開始的n個連續(xù)自然數(shù)的倒數(shù)和,故是從n+2開始的n+1個連續(xù)自然數(shù)的倒數(shù)和,即
=
==++-
=+- 故選D。
解題后反思:用數(shù)學歸納法證明問題的過程實質(zhì)上是一個遞推的過程,(1)是遞推的基礎,(2)是遞推的條件;二者缺一不可。
例2 用數(shù)學歸納法證明等。
思路分析:和自然數(shù)有關的命題的證明可以選用數(shù)學歸納法。
證明:(1)當n=1時,左邊==右邊,等式成立
(2)假設當n=k時等式成立,即
則,
當n=k+1時,等式也成立,
綜合(1)(2),等式對所有正整數(shù)都成立
解題后反思:(1)用數(shù)學歸納法證題時,兩
4、步缺一不可;(2)證題時要注意兩湊:一湊歸納假設;二湊目標。
例3 在數(shù)列{an}中,a1=1,當n≥2時,an,Sn,Sn-成等比數(shù)列。
(1)求a2,a3,a4,并推出an的表達式;
(2)用數(shù)學歸納法證明所得的結論。
思路分析:本題考查了數(shù)列、數(shù)學歸納法,可以依托等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學歸納法的一般步驟,采用的方法是歸納、猜想、證明。
求通項可先證明{}是以為首項,為公差的等差數(shù)列,進而求得通項公式
解題過程:∵an,Sn,Sn-成等比數(shù)列,
∴Sn2=an·(Sn-)(n≥2) (*)
(1)由a1=1,S2=a1+a2
5、=1+a2,代入(*)式得a2=-
由a1=1,a2=-,S3=+a3代入(*)式得a3=-
同理可得a4=-,由此可推出an=
(2)①當n=1,2,3,4時,由(*)知猜想成立
②假設n=k(k≥2)時,ak=-成立
故Sk2=-·(Sk-)
∴(2k-3)(2k-1)Sk2+2Sk-1=0
∴Sk=(舍)
由Sk+12=ak+1·(Sk+1-),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk-)
由①②知,an=對一切n∈N*成立
解題后反思:(2)中,Sk=-應舍去,這一點往往容易被忽視。
例4 是否存在常數(shù)a、b、c使等式1·(n2-12)+2(
6、n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c對一切正整數(shù)n成立?證明你的結論。
思路分析:先取n=1,2,3探求a、b、c的值,然后用數(shù)學歸納法證明對一切n∈N*,a、b、c所確定的等式都成立。
解題過程:分別用n=1,2,3代入解方程組
下面用數(shù)學歸納法證明。
(1)當n=1時,由上可知等式成立;
(2)假設當n=k時,等式成立,
則當n=k+1時,
左邊=1·[(k+1)2-12]+2[(k+1)2-22]+…+k[(k+1)2-k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2]
=1·(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+1·(2k+1)+2
7、(2k+1)+…+k(2k+1)
=k4+(-)k2+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)
=(k+1)4-(k+1)2。
∴當n=k+1時,等式成立。
由(1)(2)得等式對一切的均成立。
解題后反思:本題是探索性命題,它通過觀察——歸納——猜想——證明這一完整的思路過程去探索和發(fā)現(xiàn)問題,并證明所得結論的正確性,這是非常重要的一種思維能力。
(全國高考)已知數(shù)列中,。
(1)設,求數(shù)列的通項公式;
(2)求使不等式成立的的取值范圍。
思路分析:(1)將代入到中整理,并替換,得到關系式,進而可得到{}是首項為,公比為4的等比數(shù)列,先得到的通項公式,即可得到
8、數(shù)列的通項公式。
(2)先求出時的的取值范圍,然后用數(shù)學歸納法分3步進行證明,當時,然后當時,令,由,可發(fā)現(xiàn)時不能滿足條件,進而可確定的取值范圍。
解題過程:(1),
,即。
,又a1=1,故,
所以是首項為,公比為4的等比數(shù)列,
。
(2),由a2>a1得c>2。
用數(shù)學歸納法證明:當c>2時,an2時,an2時,令,由得an<。
當2時,>3,且1≤an<,于是
≤,
≤。
當
9、n3。
因此不符合要求。
所以c的取值范圍是。
解題后反思:本題主要考查了數(shù)列的通項公式、遞推數(shù)列、不等式等知識,在解題過程中滲透了函數(shù)與方程、歸納與轉化思想,屬于難題,考查學生分析、歸納、探究和推理論證問題的能力。
用數(shù)學歸納法證明:
錯解:(1)當n=1時,左=右=,等式成立
(2)假設當n=k時等式成立,
那么當n=k+1時,
綜合(1)(2),等式對所有正整數(shù)都成立
點撥:錯誤原因在于只有數(shù)學歸納法的形式,沒有數(shù)學歸納法的“實質(zhì)”。
正解:
(1)當n=1時,左=右=,等式成立
(2)假設當n=k時等式成立
10、,即
那么當n=k+1時,
數(shù)學歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學命題的一種推理方法,在解數(shù)學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數(shù)學論證方法,論證的第一步是證明命題在n=1(或n0)時成立,這是遞推的基礎;第二步是假設在n=k時命題成立,再證明n=k+1時命題也成立,這是無限遞推下去的理論依據(jù),它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般,實際上它使命題的正確性突破了有限,達到無限。這兩個步驟密切相關,缺一不可,完成了這兩步,就可以斷定“對任何自然數(shù)(或n≥n0且)結論都正確”。由這兩步可以看出,數(shù)學歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的,屬于完全歸納。
運用數(shù)學歸納法證明問題時,關
11、鍵是對n=k+1時命題成立的推證,此步證明要具有目標意識,注意與最終要達到的解題目標進行分析比較,以此確定和調(diào)控解題的方向,使差異逐步減小,最終實現(xiàn)目標、完成解題。
運用數(shù)學歸納法,可以證明下列問題:與自然數(shù)n有關的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。
用數(shù)學歸納法證明問題應注意:
(1)第一步驗證n=n0時,n0并不一定是1。
(2)第二步證明的關鍵是要運用歸納假設,特別要弄清由k到k+1時命題的變化。
(3)由假設n=k時命題成立,證n=k+1時命題也成立,要充分利用歸納假設,要恰當?shù)亍皽悺背瞿繕恕?
歸納、猜想、論證是培養(yǎng)學生觀察能力、歸納能力以及推理論證能力的方式之一。
下節(jié)課我們開始學習——數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入,請大家閱讀課本思考:
1. 為什么要進行數(shù)系的擴充?
2. 數(shù)系擴充的原則是什么?
3. 復數(shù)能滿足哪些運算?