2022年高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第2章 拓展資料：導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)

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1、 2022年高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第2章 拓展資料：導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn) 一、定義的理解與應(yīng)用 例1.已知函數(shù)f（x）=2x3+5，求。 分析：本題很容易這樣做： ∵=6x2，∴==24， 或者=3=3=72。 這兩種做法都是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因皆在于對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義理解不深。 解：∵=6x2， ∴=－3=－3=－72。 評(píng)注：當(dāng)是x在x0處的增量時(shí)，－3也是x在x0處的增量。本題的正確做法是視－3為增量，套用導(dǎo)數(shù)定義求得極限。 二、單調(diào)遞增就是導(dǎo)數(shù)大于零 例2.已知向量a=(，x+1)，b= (1-x，t)若函數(shù)=a·b在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍。

2、錯(cuò)解：依定義，。 若在（-1，1）上是增函數(shù)，則在（-1，1）上可設(shè)>0。 ∵的圖象是開口向下的拋物線， ∴當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，在（-1，1）上滿足>0，即在（-1，1）上是增函數(shù)。 故t的取值范圍是t>5。 剖析：若>0，則在R上是增函數(shù)反之不成立。如在R上單調(diào)遞增，但≥0所以>0是為增函數(shù)的充分不必要條件。若為增函數(shù)，則≥0，反之不成立。因?yàn)椤?，即>0或=0。當(dāng)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)恒有=0時(shí)，為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。所以，≥0是為增函數(shù)的必要不充分條件。一般地，使=0的離散的點(diǎn)不影響函數(shù)在該區(qū)上的單調(diào)性。如=x+sinx. 正解：依定義，。 若在（-1，1）上是增函數(shù)，則在（-1，

3、1）上可設(shè)≥0。 ∵的圖象是開口向下的拋物線，∴當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)， 在（-1，1）上滿足>0，即在（-1，1）上是增函數(shù)。 故t的取值范圍是t≥5。 三、極值的存在條件 例3.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a，b。 分析：抓住條件“在x=1處有極值10”所包含的兩個(gè)信息，列出兩個(gè)方程，解得a，b。a，b有兩組值，是否都合題意需檢驗(yàn)。 解：=3x2+2ax+b，根據(jù)題意可得， 即 ， 易得此時(shí)，在x=1兩側(cè)附近符號(hào)相同，不合題意。 當(dāng)時(shí)，=（3x+11）（x－1），此時(shí)，在x=1兩側(cè)附近符號(hào)相異，符合題意。 所以。 評(píng)注：極值存在的條件

4、是在極值點(diǎn)處附近兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值應(yīng)異號(hào)。 四、“過某點(diǎn)”和“在某點(diǎn)處“的關(guān)系 例4.過點(diǎn)（--1，0）作拋物線y=x2+x+1的切線，則其中一條切線為（ ） A 2x+y+2=0 B 3x--y+3=0 C x+y+1=0 D x--y+1=0 錯(cuò)解：=2x+1 所以切線的斜率K=故切線方程為即x+y+1=0 點(diǎn)評(píng)“在某點(diǎn)處”的切線表明此點(diǎn)是切點(diǎn)，而“過某點(diǎn)”的切線不一定是切點(diǎn)。這里就忽視了二者的區(qū)別。 正解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)是，則切線斜率為k=2x0+1 因?yàn)榍芯€過點(diǎn)（--1，0）所以即所以 所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）或(--2,3)故切線方程為x—y+1=0或3x

5、+y—12=0所以應(yīng)選D 五、極值與最值的關(guān)系 例5.求函數(shù)f(x)=sin2x—x在上的最大值和最小值。 錯(cuò)解：=，令，得=0。解得或 當(dāng)時(shí)，<0,所以f(x)在是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)＞0，所以f(x)是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)＜0，所以f(x)是減函數(shù)。 所以當(dāng)時(shí)，f(x)取最大值；當(dāng)時(shí)，f(x)取最小值。 點(diǎn)評(píng)：極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的，并不意味著它在函數(shù)的某個(gè)區(qū)間上最大（?。?。因此，同一函數(shù)在某一點(diǎn)的極大（?。┲?，可以比另一點(diǎn)的極小（大）值?。ù螅?；而最值是指閉區(qū)間上所有函數(shù)值的比較，所以極大（?。┲挡灰欢ㄊ亲畲螅ㄐ。┲?，最值也不一定是極值。對(duì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果在相應(yīng)的開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)求上最值可簡(jiǎn)化過程。即直接將極值點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值比較，就可判定最大（或最小）的函數(shù)值就是最大（或最?。┲?。 正解：=，令，得=0。解得或 所以， 又， 所以函數(shù)f(x) 在上的最大值和最小值分別為。