24、弧的中點為M，則過點M的圓C的切線方程是______________．
解析：因為圓C與兩坐標(biāo)軸相切，且M是劣弧的中點，
所以直線CM是第二、四象限的角平分線，
所以斜率為－1，所以過M的切線的斜率為1.
因為圓心到原點的距離為，所以|OM|＝－1，
所以M，
所以切線方程為y－1＋＝x－＋1，
整理得x－y＋2－＝0.
答案：x－y＋2－＝0
三、解答題
13．已知△ABC的三個頂點分別為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC邊所在直線的方程；
(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；
(3)BC邊的垂直平分線DE的方程．
解：(1)因為直線
25、BC經(jīng)過B(2,1)和C(－2,3)兩點，
由兩點式得BC的方程為＝，
即x＋2y－4＝0.
(2)設(shè)BC邊的中點D的坐標(biāo)為(x，y)，
則x＝＝0，y＝＝2.
BC邊的中線AD過點A(－3,0)，D(0,2)兩點，由截距式得AD所在直線方程為＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)由(1)知，直線BC的斜率k1＝－，
則直線BC的垂直平分線DE的斜率k2＝2.
由(2)知，點D的坐標(biāo)為(0,2)．
由點斜式得直線DE的方程為y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
14．已知圓C的方程為x2＋(y－4)2＝1，直線l的方程為2x－y＝0，點P在直線l上，過點P作圓C的
26、切線PA，PB，切點為A，B.
(1)若∠APB＝60°，求點P的坐標(biāo)；
(2)求證：經(jīng)過A，P，C(其中點C為圓C的圓心)三點的圓必經(jīng)過定點，并求出所有定點的坐標(biāo)．
解：(1)由條件可得圓C的圓心坐標(biāo)為(0,4)，|PC|＝2，
設(shè)P(a,2a)，則＝2，
解得a＝2或a＝，
所以點P的坐標(biāo)為(2,4)或.
(2)證明：設(shè)P(b,2b)，過點A，P，C的圓即是以PC為直徑的圓，其方程為x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，
即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.
由解得或
所以該圓必經(jīng)過定點(0,4)和.
高
27、考研究課(一)
直線方程命題4角度——求方程、判位置、定距離、用對稱
[全國卷5年命題分析]
考點
考查頻度
考查角度
直線方程
5年3考
多與圓、拋物線結(jié)合考查
兩直線位置關(guān)系
未考查
點到直線的距離
5年3考
多與圓結(jié)合考查
對稱問題
未考查
直線方程的求法
[典例] (1)求過點A(1,3)，斜率是直線y＝－4x的斜率的的直線方程．
(2)求經(jīng)過點A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程．
[解] (1)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－4×＝－.又直線經(jīng)過點A(1,3)，因此所求直線方程為y－3＝－(x－1)
28、，即4x＋3y－13＝0.
(2)當(dāng)直線不過原點時，設(shè)所求直線方程為＋＝1，將(－5,2)代入所設(shè)方程，解得a＝－，所以直線方程為x＋2y＋1＝0；當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線方程為y＝kx，則－5k＝2，解得k＝－，所以直線方程為y＝－x，即2x＋5y＝0.
故所求直線方程為2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
[方法技巧]
求直線方程的2個注意點
(1)在求直線方程時，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件．
(2)對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零)．
[即時演練]
1．若直線l過
29、點A(3,4)，且點B(－3,2)到直線l的距離最遠(yuǎn)，則直線l的方程為( )
A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0
C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0
解析：選D 當(dāng)l⊥AB時滿足條件．
∵kAB＝＝，則kl＝－3.
∴直線l的方程為y－4＝－3(x－3)，
即3x＋y－13＝0.
2．已知直線l過點M(1,1)，且與x軸，y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則當(dāng)|OA|＋|OB|取得最小值時，直線l的方程為____________．
解析：設(shè)A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)．
設(shè)直線l的方程為＋＝1，則＋＝1，所以|OA
30、|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2·＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時取等號，此時直線l的方程為x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
兩直線的位置關(guān)系
[典例] (1)若直線l1：(m＋3)x＋4y＋3m－5＝0與l2：2x＋(m＋5)y－8＝0平行，則m的值為( )
A．－7 B．－1或－7
C．－6 D．－6或－7
(2)已知傾斜角為α的直線l與直線x＋2y－3＝0垂直，則cos的值為( )
A. B．－
C．1 D．－
[解析] (1)直線l1的斜率一定存在，因為l2：2x＋(m＋5)y－8＝0，
當(dāng)m＝－5時，l2的斜率不存在，兩直線不
31、平行．
當(dāng)m≠－5時，由l1∥l2，得(m＋3)(m＋5)－2×4＝0，
解得m＝－1或－7.
當(dāng)m＝－1時，兩直線重合，故不滿足條件；經(jīng)檢驗，m＝－7滿足條件，故選A.
(2)由已知得tan α＝2，則cos＝sin 2α＝＝＝.
[答案] (1)A (2)A
[方法技巧]
由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法
直線方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1與l2垂直的充要條件
A1A2＋B1B2＝0
l1與l2平行的充分條件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1與l2相交的充分條件
≠(A2B2≠0)
l1
32、與l2重合的充分條件
＝＝(A2B2C2≠0)
[提醒] 在判斷兩直線位置關(guān)系時，比例式與，的關(guān)系容易記住，在解答選擇、填空題時，建議多用比例式來解答．
[即時演練]
1．過點(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：選A 依題意，設(shè)所求的直線方程為x－2y＋a＝0，由點(1,0)在所求直線上，得1＋a＝0，即a＝－1，則所求的直線方程為x－2y－1＝0.
2．若直線l經(jīng)過點P(1,2)，且垂直于直線2x＋y－1＝0，則直線l的方程是______________．
33、
解析：設(shè)垂直于直線2x＋y－1＝0的直線l的方程為x－2y＋c＝0，
∵直線l經(jīng)過點P(1,2)，
∴1－4＋c＝0，解得c＝3，
∴直線l的方程是x－2y＋3＝0.
答案：x－2y＋3＝0
距離問題
[典例] (1)過直線x－y＋1＝0與 x＋y－＝0的交點，且與原點的距離等于1的直線有( )
A．0條 B．1條
C．2條 D．3條
(2)直線l經(jīng)過點P(2，－5)且與點A(3，－2)和點B(－1,6)的距離之比為1∶2，求直線l的方程．
[解析] (1)解方程組得
由于2＋2＝1，則所求直線只有1條．
[答案] B
(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時，此時直
34、線l的方程為x＝2，點A到直線l的距離為d1＝1，點B到直線l的距離為d2＝3，不符合題意，故直線l的斜率必存在．
∵直線l過點P(2，－5)，
∴設(shè)直線l的方程為y＋5＝k(x－2)．
即kx－y－2k－5＝0.
∴點A(3，－2)到直線l的距離
d1＝＝，
點B(－1,6)到直線l的距離
d2＝＝.
∵d1∶d2＝1∶2，
∴＝，
∴k2＋18k＋17＝0，∴k1＝－1，k2＝－17.
∴所求直線方程為x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0.
[方法技巧]
求解距離問題的注意點
解決與點到直線的距離有關(guān)的問題應(yīng)熟記點到直線的距離公式，若已知點到直線的距離求直線方
35、程，一般考慮待定斜率法，此時必須討論斜率是否存在．
[即時演練]
1．已知點A(a,2)到直線l：x－y＋3＝0距離為，則a等于( )
A．1 B．±1
C．－3 D．1或－3
解析：選D ∵點A(a,2)到直線l：x－y＋3＝0距離為，
∴＝，
∴a＋1＝±2.
解得a＝1或－3.
2．直線l過點P(－1,2)且到點A(2,3)和點B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為__________．
解析：當(dāng)直線l的斜率存在時，
設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋2＝0.
由題意知＝，
即|3k－1|＝|－3k－3|，
∴k＝－.
∴
36、直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，也符合題意．
答案：x＝－1或x＋3y－5＝0
對稱問題
對稱問題是高考?？純?nèi)容之一，也是考查轉(zhuǎn)化能力的一種常見題型．
常見的命題角度有：
(1)點關(guān)于點對稱；
(2)點關(guān)于線對稱；
(3)線關(guān)于線對稱；
(4)對稱問題的應(yīng)用．
角度一：點關(guān)于點對稱
1．已知A，B兩點分別在兩條互相垂直的直線2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB線段的中點為P，則線段AB的長為( )
A．11 B．10
C．9 D．8
解析：選B 依題意a＝2，P(
37、0,5)，設(shè)A(x,2x)，B(－2y，y)，由得A(4,8)，B(－4,2)，所以|AB|＝＝10.
[方法技巧]
點P(x，y)關(guān)于O(a，b)的對稱點P′(x′，y′)滿足
角度二：點關(guān)于線的對稱問題
2．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則m＋n＝( )
A. B.
C. D.
解析：選A 由題意可知紙的折痕應(yīng)是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(7,3)與點(m，n)連線的中垂線，于是
解得故m＋n＝
[方法技巧]
解決點關(guān)于直線對稱問題要把握兩點，點M與點N關(guān)
38、于直線l對稱，則線段MN的中點在直線l上，直線l與直線MN垂直．
角度三：線關(guān)于線對稱問題
3．已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：
(1)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；
(2)直線l關(guān)于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程．
解：(1)在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M′必在直線m′上．
設(shè)對稱點為M′(a，b)，則
解得M′.
設(shè)直線m與直線l的交點為N，則
由得N(4,3)．
又∵m′經(jīng)過點N(4,3)，
∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.
(2)在直線l：
39、2x－3y＋1＝0上任取兩點，如M(1,1)，N(4,3)，則M，N關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點M′，N′均在直線l′上．易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，再由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.
[方法技巧]
若直線l1，l2關(guān)于直線l對稱，則有如下性質(zhì)：①若直線l1與l2相交，則交點在直線l上；②若點B在直線l1上，則其關(guān)于直線l的對稱點B′在直線l2上．
角度四：對稱問題的應(yīng)用
4．已知有條光線從點A(－2,1)出發(fā)射向x軸上的B點，經(jīng)過x軸反射后射向y軸上的C點，再經(jīng)過y軸反射后到達(dá)點D(－2，7)．
(1)求直線BC的方程；
(2)求光線從A點到達(dá)D
40、點所經(jīng)過的路程．
解：作出草圖，如圖所示，
(1)∵A(－2,1),
∴點A關(guān)于x軸的對稱點A′(－2，－1),
∵D(－2,7),
∴點D關(guān)于y軸的對稱點D′(2,7).
由對稱性可得，A′，D′所在直線方程即為BC所在直線方程，
由兩點式得直線BC的方程為＝，
整理得2x－y＋3＝0.
(2)由圖可得，光線從A點到達(dá)D點所經(jīng)過的路程即為
|A′D′|＝＝4.
[方法技巧]
解決中心對稱問題的關(guān)鍵在于運用中點坐標(biāo)公式，而解決軸對稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對稱點的問題，在求對稱點時，關(guān)鍵是抓住兩點：一是兩對稱點的連線與對稱軸垂直；二是兩對稱點的中心在對稱軸上
41、，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個方程，由“平分”列出一個方程，聯(lián)立求解．
1．(2013·全國卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點．若|AF|＝3|BF|，則l的方程為( )
A．y＝x－1或y＝－x＋1
B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
解析：選C 法一：如圖所示，作出拋物線的準(zhǔn)線l1及點A，B到準(zhǔn)線的垂線段AA1，BB1，并設(shè)直線l交準(zhǔn)線于點M.
設(shè)|BF|＝m，由拋物線的定義可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由BB1∥AA1可知＝
42、，即＝，所以|MB|＝2m，則|MA|＝6m.故∠AMA1＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，結(jié)合選項知選C項．
法二：由|AF|＝3|BF|可知＝3，易知F(1,0)，設(shè)B(x0，y0)，則從而可解得A的坐標(biāo)為(4－3x0，－3y0)．因為點A，B都在拋物線上，
所以解得x0＝，y0＝±，
所以kl＝＝±.
2．(2013·全國卷Ⅱ)已知點A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線y＝ax＋b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是( )
A．(0,1) B.
C. D.
解析：選B 由消去x，得y＝，當(dāng)a＞0時，直線y＝ax＋b與x軸交
43、于點，結(jié)合圖形知××＝，化簡得(a＋b)2＝a(a＋1)，則a＝.∵a＞0，∴＞0，解得b＜.考慮極限位置，即a＝0，此時易得b＝1－，故選B.
一、選擇題
1．如果AB＞0，BC＜0，則直線Ax＋By＋C＝0不經(jīng)過的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：選C 由AB＞0，BC＜0，可得直線Ax＋By＋C＝0的斜率為－＜0，直線在y軸上的截距－＞0, 故直線不經(jīng)過第三象限．
2．直線xsin α＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是( )
A．[0，π) B.∪
C. D.∪
解析：選B 直線xsin α＋y＋2＝0的
44、斜率為k＝－sin α，
∵－1≤sin α≤1, ∴－1≤k≤1,
∴直線傾斜角的取值范圍是∪.
3．已知點M是直線x＋y＝2上的一個動點，且點P(，－1)，則|PM|的最小值為( )
A. B．1
C．2 D．3
解析：選B |PM|的最小值即點P(，－1)到直線x＋y＝2的距離，又＝1，故|PM|的最小值為1.
4．(2018·鄭州質(zhì)量預(yù)測)“a＝1”是“直線ax＋y＋1＝0與直線(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的( )
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選B ∵ax＋y＋1＝0與(a＋2)x－3y－
45、2＝0垂直，
∴a(a＋2)－3＝0，解得a＝1或a＝－3.
∴“a＝1”是兩直線垂直的充分不必要條件．
5．已知點A(1，－2)，B(m,2)，若線段AB的垂直平分線的方程是x＋2y－2＝0，則實數(shù)m的值為( )
A．－2 B．－7
C．3 D．1
解析：選C ∵A(1，－2)和B(m,2)的中點在直線x＋2y－2＝0上，
∴＋2×0－2＝0，
∴m＝3.
6．已知直線l過點P(1,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，則當(dāng)△AOB的面積取得最小值時，直線l的方程為( )
A．2x＋y－4＝0 B．x－2y＋3＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y
46、＋1＝0
解析：選A 由題可知，直線l的斜率k存在，且k<0，則直線l的方程為y－2＝k(x－1)．
∴A，B(0,2－k)，
∴S△OAB＝(2－k)＝≥＝4，當(dāng)且僅當(dāng)k＝－2時取等號．
∴直線l的方程為y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.
7．(2018·豫南九校質(zhì)量考評)若直線x＋ay－2＝0與以A(3,1)，B(1,2)為端點的線段沒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－2,1)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C.
D．(－∞，－1)∪
解析：選D 直線x＋ay－2＝0過定點C(2,0)，直線CB的斜率kCB＝－2，直線CA的斜率kCA＝1，所
47、以由題意可得a≠0且－2<－<1，解得a<－1或a>.
8．已知P(x0，y0)是直線l：Ax＋By＋C＝0外一點，則方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示( )
A．過點P且與l垂直的直線
B．過點P且與l平行的直線
C．不過點P且與l垂直的直線
D．不過點P且與l平行的直線
解析：選D 因為P(x0，y0)是直線l：Ax＋By＋C＝0外一點，所以Ax0＋By0＋C＝k，k≠0.
若方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0，
則Ax＋By＋C＋k＝0.
因為直線Ax＋By＋C＋k＝0和直線l斜率相等，
但在y軸上的截距不相等，
故直線Ax＋By＋C＋
48、k＝0和直線l平行．
因為Ax0＋By0＋C＝k，且k≠0，
所以Ax0＋By0＋C＋k≠0，
所以直線Ax＋By＋C＋k＝0不過點P，故選D.
二、填空題
9．已知點A(－3，－4)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數(shù)a的值為________．
解析：由題意及點到直線的距離公式得＝，解得a＝－或－.
答案：－或－
10．與直線2x＋3y＋5＝0平行，且在兩坐標(biāo)軸上截距的和為6的直線方程是________________．
解析：由平行關(guān)系設(shè)所求直線方程為2x＋3y＋c＝0,
令x＝0，可得y＝－；令y＝0，可得x＝－，
∴－－＝6，解得c＝－，
49、
∴所求直線方程為2x＋3y－＝0,
化為一般式可得10x＋15y－36＝0.
答案：10x＋15y－36＝0
11．已知直線l1的方程為3x＋4y－7＝0，直線l2的方程為6x＋8y＋1＝0，則直線l1與l2的距離為________．
解析：直線l1的方程為3x＋4y－7＝0，直線l2的方程為6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋＝0，∴直線l1與l2的距離為＝.
答案：
12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P(－2,2)，對于任意不全為零的實數(shù)a，b，直線l：a(x－1)＋b(y＋2)＝0，若點P到直線l的距離為d，則d的取值范圍是____________．
解析：由題意，直線
50、過定點Q(1，－2)，PQ⊥l時，d取得最大值＝5,
直線l過點P時，d取得最小值0,
所以d的取值范圍[0,5]．
答案：[0,5]
三、解答題
13．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋5－2m＝0(m∈R)．
(1)求方程表示一條直線的條件；
(2)當(dāng)m為何值時，方程表示的直線與x軸垂直；
(3)若方程表示的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求實數(shù)m的值．
解：(1)由解得m＝－1，
∵方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋5－2m＝0(m∈R)表示直線，
∴m2－2m－3,2m2＋m－1不同時為0，∴m≠－1.
故方程表示一條直線的條
51、件為m≠－1.
(2)∵方程表示的直線與x軸垂直，
∴解得m＝.
(3)當(dāng)5－2m＝0，即m＝時，直線過原點，在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0；
當(dāng)m≠時，由＝，解得m＝－2.
故實數(shù)m的值為或－2.
14．已知直線m：2x－y－3＝0與直線n：x＋y－3＝0的交點為P.
(1)若直線l過點P，且點A(1,3)和點B(3,2)到直線l的距離相等，求直線l的方程；
(2)若直線l1過點P且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，△ABO的面積為4，求直線l1的方程．
解：(1)由得即交點P(2,1)．
由直線l與A，B的距離相等可知，l∥AB或l過AB的中點．
①由l∥AB，得k
52、l＝kAB＝＝－，
所以直線l的方程為y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0，
②由l過AB的中點得l的方程為x＝2，
故x＋2y－4＝0或x＝2為所求．
(2)法一：由題可知，直線l1的斜率k存在，且k＜0.
則直線l1的方程為y＝k(x－2)＋1＝kx－2k＋1.
令x＝0，得y＝1－2k＞0，
令y＝0，得x＝>0，
∴S△ABO＝×(1－2k)×＝4，解得k＝－，
故直線l1的方程為y＝－x＋2，即x＋2y－4＝0.
法二：由題可知，直線l1的橫、縱截距a，b存在，且a＞0，b＞0，則l1：＋＝1.
又l1過點(2,1)，△ABO的面積為4，
∴解得
53、
故直線l1的方程為＋＝1，即x＋2y－4＝0.
1．設(shè)m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y)(點P與點A，B不重合)，則△PAB的面積最大值是( )
A．2 B．5
C. D.
解析：選C 由題意可知，動直線x＋my＝0過定點A(0,0)．
動直線mx－y－m＋3＝0?m(x－1)＋3－y＝0，
因此直線過定點B(1,3)．
當(dāng)m＝0時，兩條直線分別為x＝0，y＝3，交點P(0,3)，
S△PAB＝×1×3＝.
當(dāng)m≠0時，兩條直線的斜率分別為－，m，
則－·m＝－1，因此兩條直線相互垂直．
當(dāng)|PA|＝|
54、PB|時，△PAB的面積取得最大值．
由|PA|＝|AB|＝＝，
解得|PA|＝.
∴S△PAB＝|PA|2＝.
綜上可得，△PAB的面積最大值是.
2．已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點A，B的坐標(biāo)分別是(－4,2)，(3,1)，則點C的坐標(biāo)為( )
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
解析：選C 設(shè)A(－4,2)關(guān)于直線y＝2x的對稱點為(x，y)，則解得，即(4，－2)．
∴直線BC所在方程為y－1＝(x－3)，
即3x＋y－10＝0.
聯(lián)立解得可得C(2,4)．
3．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點A(1,
55、2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距離之和最小的點的坐標(biāo)是________．
解析：設(shè)平面上任一點M，因為|MA|＋|MC|≥|AC|，當(dāng)且僅當(dāng)A，M，C共線時取等號，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，當(dāng)且僅當(dāng)B，M，D共線時取等號，連接AC，BD交于一點M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，則點M為所求．
∵kAC＝＝2，
∴直線AC的方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.①
又∵kBD＝＝－1，
∴直線BD的方程為y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.②
由①②得∴即M(2,4)．
答案：(2,4)
高考研究課(二)
圓的方程命題3角度
56、——求方程、算最值、定軌跡
[全國卷5年命題分析]
考點
考查頻度
考查角度
圓的方程
5年4考
求圓的方程及先求圓的方程再考查應(yīng)用
與圓有關(guān)的最值問題
5年1考
求范圍
與圓有關(guān)的軌跡問題
未考查
圓的方程
圓的方程的求法，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程，一般來說，求圓的方程有兩種方法：
(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進而求出圓的基本量.
(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.
[典例] 求經(jīng)過點A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上的圓的方程．
[解] 法一：用“幾何法”解題
由題意知kAB＝2，A
57、B的中點為(4,0)，設(shè)圓心為C(a，b)，
∵圓過A(5,2)，B(3，－2)兩點，
∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上．
則解得∴C(2,1)，
∴r＝|CA|＝＝.
∴所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法二：用“代數(shù)法”解題
設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
則解得
故圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法三：用“代數(shù)法”解題
設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
則解得
∴所求圓的方程為x2＋y2－4x－2y－5＝0.
[方法技巧]
求圓的方程的方法
(1)方程選擇原則
若條件中圓
58、心坐標(biāo)明確時，常設(shè)為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，不明確時，常設(shè)為一般方程．
(2)求圓的方程的方法和步驟
確定圓的方程的主要方法是代數(shù)法，大致步驟如下：
①根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；
②根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；
③解出a，b，r或D，E，F(xiàn)代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．
[即時演練]
根據(jù)下列條件，求圓的方程．
(1)已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(0，－6)，B(1，－5)，且圓心在直線l：x－y＋1＝0上；
(2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)．
解：(1)法一：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－
59、4F>0)，則圓心坐標(biāo)為.
由題意可得解得
所以圓的方程為x2＋y2＋6x＋4y－12＝0.
法二：因為A(0，－6)，B(1，－5)，
所以線段AB的中點D的坐標(biāo)為，
直線AB的斜率kAB＝＝1，
因此線段AB的垂直平分線的方程是
y＋＝－，即x＋y＋5＝0.
則圓心C的坐標(biāo)是方程組的解，
解得所以圓心C的坐標(biāo)是(－3，－2)．
圓的半徑長r＝|AC|＝＝5，
所以圓的方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)法一：如圖，設(shè)圓心坐標(biāo)為(x0，－4x0)，依題意得＝1，
∴x0＝1，即圓心坐標(biāo)為(1，－4)，半徑r＝＝2，故圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝
60、8.
法二：設(shè)所求方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，
根據(jù)已知條件得
解得
因此所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
與圓有關(guān)的最值問題
與圓有關(guān)的最值問題是命題的熱點內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想．
常見的命題角度有：
(1)斜率型最值問題；
(2)截距型最值問題；
(3)距離型最值問題；
(4)距離和(差)的最值問題；
(5)三角形的面積的最值問題．
角度一：斜率型最值問題
1．已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．
解：原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2,0)為圓心，為半徑
61、的圓．
的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，
所以設(shè)＝k，即y＝kx.
當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(如圖)，斜率k取最大值或最小值，
此時＝，
解得k＝±.
所以的最大值為，最小值為－.
角度二：截距型最值問題
2．在[角度一]條件下求y－x的最大值和最小值．
解：y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，如圖所示，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－.
角度三：距離型最值問題
3．設(shè)P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為(
62、 )
A．6 B．25
C．26 D．36
解析：選D (x－5)2＋(y＋4)2表示點P(x，y)到點(5，－4)的距離的平方，又點(5，－4)到圓心(2,0)的距離d＝＝5，
則點P(x，y)到點(5，－4)的距離最大值為6，從而(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為36.
角度四：距離和(差)的最值問題
4．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為( )
A．5－4 B.－1
C．6－2 D.
解析：選A 圓
63、心C1(2,3)，C2(3,4)，作C1關(guān)于x軸的對稱點C1′(2，－3)，連接C1′C2與x軸交于點P，此時|PM|＋|PN|取得最小值，為|C1′C2|－1－3＝5－4.
角度五：三角形的面積的最值問題
5．已知兩點A(－1,0)，B(0,2)，點P是圓(x－1)2＋y2＝1上任意一點，則△PAB面積的最大值與最小值分別是( )
A．2，(4－) B.(4＋)，(4－)
C.，4－ D.(＋2)，(－2)
解析：選B 直線AB的方程為＋＝1，
即2x－y＋2＝0，
圓心(1,0)到直線AB的距離d＝＝，則點P到直線AB的距離最大值為＋1，最小值為－1，
又|AB|
64、＝，則(S△PAB)max＝××＝(4＋)，(S△PAB)min＝××＝(4－)，故選B.
[方法技巧]
求解與圓有關(guān)的最值問題的2大規(guī)律
(1)借助幾何性質(zhì)求最值
處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解．
(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值
根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用基本不等式法、參數(shù)法、配方法、判別式法等，利用基本不等式求最值是比較常用的．
與圓有關(guān)的軌跡問題
[典例] 已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點．
(1)求線段A
65、P中點的軌跡方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程．
[解] (1)設(shè)AP的中點為M(x，y)，由中點坐標(biāo)公式可知，P點坐標(biāo)為(2x－2,2y)．
因為P點在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.
(2)設(shè)PQ的中點為N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
設(shè)O為坐標(biāo)原點，連接ON，則ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.
66、[方法技巧]
求與圓有關(guān)的軌跡問題的4種常用方法
直接法
直接根據(jù)題目提供的條件列出方程
定義法
根據(jù)圓、直線等定義列方程
幾何法
利用圓的幾何性質(zhì)列方程
代入法
找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等
[即時演練]
1．(2018·唐山調(diào)研)點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：選A 設(shè)圓上任意一點為(x1，y1)，中點為(x，y)，則即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4.化簡得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
2．設(shè)點A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則點P的軌跡方程為( )
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
解析：選D 設(shè)P(x，y)，則由題意知，圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為C(1,0)、半徑為1，∵PA是圓的切線，且|PA
（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三單元 直線與圓學(xué)案 理
