2022年高中數學 第一章《分類加法計數原理和分步乘法計數原理》教案4 新人教A版選修2-3

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1、2022年高中數學 第一章《分類加法計數原理和分步乘法計數原理》教案4 新人教A版選修2-3 例1.給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母 A～G 或 U～Z , 后兩個要求用數字1～9．問最多可以給多少個程序命名？ 分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第 1 步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符．而首字符又可以分為兩類． 解：先計算首字符的選法．由分類加法計數原理，首字符共有7 + 6 = 13 種選法． 再計算可能的不同程序名稱．由分步乘法計數原理，最多可以有13×9×9 = = 1053 個不同的名稱，即最多可以給1053個程序命名

2、． 例2. 核糖核酸（RNA）分子是在生物細胞中發(fā)現的化學成分一個 RNA 分子是一個有著數百個甚至數千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學成分所占據． 總共有 4 種不同的堿基，分別用A,C,G,U表示．在一個 RNA 分子中，各種堿基能夠以任意次序出現，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關．假設有一類 RNA 分子由 100 個堿基組成，那么能有多少種不同的 RNA 分子？ 分析：用圖1. 1一2 來表示由100個堿基組成的長鏈，這時我們共有100個位置，每個位置都可以從A , C , G , U 中任選一個來占據． 解：100個堿基組成的長鏈

3、共有 100個位置，如圖1 . 1一2所示．從左到右依次在每一個位置中，從 A , C , G , U 中任選一個填人，每個位置有 4 種填充方法．根據分步乘法計數原理，長度為 100 的所有可能的不同 RNA 分子數目有 （個） 例3.電子元件很容易實現電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)．因此計算機內部就采用了每一位只有 O 或 1 兩種數字的記數法，即二進制．為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數據存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由 8 個二進制位構成．問： (1）一個字節(jié)（ 8 位）最多可以

4、表示多少個不同的字符？ (2）計算機漢字國標碼（GB 碼）包含了6 763 個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？ 分析：由于每個字節(jié)有 8 個二進制位，每一位上的值都有 0,1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計數原理求解本題． 解：(1）用圖1.1一3 來表示一個字節(jié)． 圖 1 . 1 一 3 一個字節(jié)共有 8 位，每位上有 2 種選擇．根據分步乘法計數原理，一個字節(jié)最多可以表示 2×2×2×2×2×2×2×2= 28 =256 個不同的字符； ( 2）由（ 1 ）知，用一個字節(jié)所能表示的不同字符不夠

5、 6 763 個，我們就考慮用2 個字節(jié)能夠表示多少個字符．前一個字節(jié)有 256 種不同的表示方法，后一個字節(jié)也有 256 種表示方法．根據分步乘法計數原理，2個字節(jié)可以表示 256×256 = 65536 個不同的字符，這已經大于漢字國標碼包含的漢字個數 6 763．所以要表示這些漢字，每個漢字至少要用 2 個字節(jié)表示． 例4.計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行測試．程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結束的路線），以便知道需要提供多少個測試數據．一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成．如圖1.1一4，它是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊．問：這個程序模塊有多少條執(zhí)

6、行路徑？ 另外，為了減少測試時間，程序員需要設法減少測試次數你能幫助程序員設計一個測試方法，以減少測試次數嗎？ 圖1.1一4 分析：整個模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第 1 步是從開始執(zhí)行到 A 點；第 2 步是從 A 點執(zhí)行到結束．而第 1 步可由子模塊 1 或子模塊 2 或子模塊 3 來完成；第 2 步可由子模塊 4 或子模塊 5 來完成．因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個計數原理． 解：由分類加法計數原理，子模塊 1 或子模塊 2 或子模塊 3 中的子路徑共有18 + 45 + 28 = 91 （條） ; 子模塊 4 或子模塊 5 中的子路徑共有3

7、8 + 43 = 81 （條） . 又由分步乘法計數原理，整個模塊的執(zhí)行路徑共有91×81 = 7 371（條）. 在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊．這樣，他可以先分別單獨測試 5 個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常．總共需要的測試次數為 18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172. 再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1 步中的各個子模塊和第 2 步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測試次數為3×2=6 . 如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息

8、交流也正常，那么整個程序模塊就工作正常．這樣，測試整個模塊的次數就變?yōu)?172 + 6=178（次）. 顯然，178 與7371 的差距是非常大的． 鞏固練習： 1.如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通, 從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？ 2.書架上放有3本不同的數學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書． （1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？ （2）若從這些書中，取數學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？ （3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？ 3.如圖一,

9、要給①,②,③,④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數為() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 ① ③ ④ ② ① ② ③ ④ ④ ③ ② ① 圖一 圖二 圖三 若變?yōu)閳D二,圖三呢? 5.五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？ 6．（xx年重慶卷）若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成（ C ） A．5部分 B.6部分

10、C.7部分 D.8部分 教學反思： 課堂小結 1．分類加法計數原理和分步乘法計數原理是排列組合問題的最基本的原理，是推導排列數、組合數公式的理論依據，也是求解排列、組合問題的基本思想. 2．理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理，并加區(qū)別 分類加法計數原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相對獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；而分步乘法計數原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成后才算做完這件事. 3．運用分類加法計數原理與分步乘法計數原理的注意點： 分類加法計數原理：首先確定分類標準，其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類

11、，并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法，即"不重不漏". 分步乘法計數原理：首先確定分步標準，其次滿足：必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟，這件事才算完成. 分配問題 把一些元素分給另一些元素來接受．這是排列組合應用問題中難度較大的一類問題．因為這涉及到兩類元素：被分配元素和接受單位．而我們所學的排列組合是對一類元素做排列或進行組合的，于是遇到這類問題便手足無措了． 事實上，任何排列問題都可以看作面對兩類元素．例如，把10個全排列，可以理解為在10個人旁邊，有序號為1，2，……，10的10把椅子，每把椅子坐一個人，那么有多少種坐法？這樣就出現了兩類元素，一類是人，一類是椅子。于是對眼花繚亂的常見分配問題，可歸結為以下小的“方法結構”： ①.每個“接受單位”至多接受一個被分配元素的問題方法是，這里.其中是“接受單位”的個數。至于誰是“接受單位”，不要管它在生活中原來的意義，只要.個數為的一個元素就是“接受單位”，于是，方法還可以簡化為.這里的“多”只要“少”. ②.被分配元素和接受單位的每個成員都有“歸宿”,并且不限制一對一的分配問題，方法是分組問題的計算公式乘以.