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1、2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版必修2第二章第9課時(shí)《平面上兩點(diǎn)間的距離》word學(xué)案
【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
中點(diǎn)坐標(biāo)
學(xué)習(xí)要求
1．掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式；
2．能運(yùn)用距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．
【課堂互動(dòng)】
自學(xué)評(píng)價(jià)
（1）平面上兩點(diǎn)之間的距離公式為
．
（2）中點(diǎn)坐標(biāo)公式：對(duì)于平面上兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)是，則．
【精典范例】
例1：（1）求A(-1,3)、B（2，5）兩點(diǎn)之間的距離；
（2）已知A（0，10），B（a，-5）兩點(diǎn)之間的距離為17，求實(shí)數(shù)a的值．
【解】(1)由兩
2、點(diǎn)間距離公式得AB=
(2) 由兩點(diǎn)間距離公式得,解得 a=．
故所求實(shí)數(shù)a的值為8或-8．
例2：已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，試判斷的形狀．
分析：計(jì)算三邊的長(zhǎng)，可得直角三角形．
【解】
,
∵，
∴為直角三角形.
點(diǎn)評(píng)：本題方法多樣，也可利用、斜率乘積為-1，得到兩直線垂直.
例3：已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，求邊上的中線的長(zhǎng)和所在的直線方程．
分析：由中點(diǎn)公式可求出中點(diǎn)坐標(biāo),分別用距離公式、兩點(diǎn)式就可求出的長(zhǎng)和所在的直線方程．
【解】如圖，設(shè)點(diǎn)．
∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
∴
，
即的坐標(biāo)為．
由兩點(diǎn)間的距離公式得．
因此，邊上的中線的長(zhǎng)為．
由兩點(diǎn)式得中線所在的直線方
3、程為
，即．
點(diǎn)評(píng):本題是中點(diǎn)坐標(biāo)公式、距離公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用.
例4．已知是直角三角形，斜邊的中點(diǎn)為，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，
證明：．
證：如圖，以的直角邊所在直線為坐標(biāo)軸，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
∵是的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．
由兩點(diǎn)間的距離公式得
所以，．
追蹤訓(xùn)練一
1.式子可以理解為()
兩點(diǎn)(a,b)與(1,-2)間的距離
兩點(diǎn)(a,b)與(-1,2)間的距離
兩點(diǎn)(a,b)與(1,2)間的距離
兩點(diǎn)(a,b)與(-1,-2)間的距離
2.以A(3,-1), B(1,3)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線的方程為
4、 ()
2x+y-5=0 2x+y+6=0
x-2y=0 x-2y-8=0
3. 線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,3),又點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,-1),則點(diǎn)B的坐標(biāo)是．
4．已知點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，求取最小值．
解:設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,∵在直線上，∴，
，
∴的最小值為．
【選修延伸】
對(duì)稱性問(wèn)題
例5: 已知直線，（1）求點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)；（2）求關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程．
分析：由直線垂直平分線段，可設(shè)，有垂直關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出點(diǎn)；而關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線必平行，因此可求出對(duì)稱的直線方程．
【解】（1）設(shè)，由于⊥，且中點(diǎn)在上，有
，解得
5、∴
（2）在上任取一點(diǎn)，如，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為．
∵所求直線過(guò)點(diǎn)且與平行，
∴方程為，即．
聽(tīng)課隨筆
例6：一條光線經(jīng)過(guò)點(diǎn),射在直線上，反射后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求光線的入射線和反射線所在的直線方程．
分析：入射光線和反射光線所在直線都經(jīng)過(guò)反射點(diǎn)，反射直線所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)．
【解】入射線所在的直線和反射線所在的直線關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的中點(diǎn)在直線上，且所在直線與直線垂直，
所以，
解得．
反射光線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，∴反射線所在直線的方程為．
由得反射點(diǎn)．
入射光線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，
∴入射線所在直線的方程為．
點(diǎn)評(píng):求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，通常都是根據(jù)
6、直線垂直于直線，以及線段的中點(diǎn)在直線上這兩個(gè)關(guān)系式列出方程組，然后解方程組得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．
思維點(diǎn)拔：
平面上兩點(diǎn)間的距離公式為，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為.平面上兩點(diǎn)間距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式有著廣泛的應(yīng)用，如：計(jì)算圖形面積，判斷圖形形狀等.同時(shí)也要注意掌握利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式處理對(duì)稱性問(wèn)題.
追蹤訓(xùn)練二
1．點(diǎn)(-1,2)關(guān)于直線x+y-3=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐 標(biāo)為 ( )
(1,4) (-1,4) (1,-4) (-1,-4)
2．直線3x-y-2=0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為．
3．已知點(diǎn),試求點(diǎn)的坐標(biāo),使四邊形為等腰梯形．
答案:點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
4．已知定點(diǎn)，，，求的最小值．
(數(shù)形結(jié)合:將看成是軸上的動(dòng)點(diǎn)與兩點(diǎn)的距離和,利用對(duì)稱性,得到最小值為).
學(xué)生質(zhì)疑
教師釋疑
2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版必修2第二章第9課時(shí)《平面上兩點(diǎn)間的距離》word學(xué)案
