2022學(xué)年高中物理 第1章 機械振動 簡諧運動的回復(fù)力和能量、單擺學(xué)案 教科版選修3-4

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1、2022學(xué)年高中物理 第1章 機械振動 簡諧運動的回復(fù)力和能量、單擺學(xué)案 教科版選修3-4 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．掌握簡諧運動的動力學(xué)特征，明確回復(fù)力的概念。 2．知道簡諧運動是一種沒有能量損耗的理想情況。 3．理解簡諧運動過程中位移、回復(fù)力、加速度、速度、動能、勢能的變化情況。 4．知道什么是單擺。 5．理解擺角很小時單擺的振動是簡諧運動。 6．知道單擺的周期跟什么因素有關(guān)，了解單擺的周期公式，并能用來進行有關(guān)的計算。 【要點梳理】 要點一、簡諧運動的回復(fù)力、能量 1．回復(fù)力 物體振動時受到的回復(fù)力的方向總是指向平衡位置，即總是要把物體拉回到平衡位置的力稱為回復(fù)

2、力． ． 要點詮釋：（1）負號表示回復(fù)力的方向是與位移方向相反．（2）為與的比例系數(shù)，對于彈簧振子，為勁度系數(shù)．（3）對水平方向振動的彈簧振子，回復(fù)力由彈簧的彈力提供；對豎直方向振動的彈簧振子，回復(fù)力由彈簧的彈力與重力兩力的合力提供．（4）物體做簡諧運動到平衡位置時，回復(fù)力為（但合力可能不為）．（5）回復(fù)力大小隨時間按正弦曲線變化． 2．簡諧運動的能量 （1）彈簧振子運動的任意位置，系統(tǒng)的動能與勢能之和都是一定的，即振動過程中機械能守恒． （2）水平方向的振子在平衡位置的機械能以動能的形式出現(xiàn)，勢能為零；在位移最大處勢能最大，動能為零．

3、 （3）簡諧運動中系統(tǒng)的動能與勢能之和稱為簡諧運動的能量，即。 （4）簡諧運動中的能量跟振幅有關(guān)，振幅越大，振動的能 量越大． （5）在振動的一個周期內(nèi)，動能和勢能間完成兩次周期性變化，經(jīng)過平衡位置時動能最大，勢能最?。唤?jīng)過最大位移處時，勢能最大，動能最?。? 要點二、簡諧運動的特征 1．物體做簡諧運動的三個特征 （1）振動圖像是正弦曲線； （2）回復(fù)力滿足條件； （3）機械能守恒． 2．簡諧運動的判定方法 （1）簡諧運動的位移一時間圖像是正弦曲線或余弦曲線． （2）故簡諧運動的物體所受的力滿

4、足，即回復(fù)力與位移成正比且方向總相反． （3）用判定振動是否是簡諧運動的步驟： ①對振動物體進行受力分析； ②沿振動方向?qū)αM行合成與分解； ③找出回復(fù)力，判斷是否符合． 要點三、簡諧運動的運動特點 1．簡諧運動的加速度分析方法 簡諧運動是一種變加速的往復(fù)運動，由知其加速度周期性變化，“”表示加速度的方向與振動位移的方向相反，即總是指向平衡位置，的大小跟成正比． 2．簡諧運動的運動特點 物體 位置 位移 回復(fù)力 加速度 速度 勢能 動能 方向 大小 方向 大小 方向 大小 方向 大小 平衡 位置O

5、 最大位移處M 指向M 指向O 指向O 指向 M 指向O 指向O 指向M 指向 M 指向O 指向O 指向O 通過上表不難看出：位移、回復(fù)力、加速度三者同步變化，與速度的變化相反．通過上表可看出兩個轉(zhuǎn)折點：平衡位置點是位移方向、加速度方向和回復(fù)力方向變化的轉(zhuǎn)折點；最大位移處是速度方向變化的轉(zhuǎn)折點．還可以比較出兩個過程的不同特點，即向平衡位置靠近的過程及遠離平衡位置的過程的不同特點：靠近點時速度大小變大，遠離點時位移、加速度和回復(fù)力大小變大 3

6、．彈簧振子在光滑斜面上的振動 光滑斜面上的小球連在彈簧上，把原來靜止的小球沿斜面拉下一段距離后釋放，小球的運動是簡諧運動． 分析如下： 如圖所示，小球靜止時彈簧的伸長量為 ， 往下拉后彈簧相對于靜止位置伸長時，物體所受回復(fù)力 ． 由此可判定物體是做簡諧運動的． 要點四、單擺 1．單擺 單擺指在一條不可伸長的，又沒有質(zhì)量的線的下端系一質(zhì)點所形成的裝置．單擺是實際擺的理想化的物理模型．實際擺可視為單擺的條件：細線的質(zhì)量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長度相比也可以忽略． 一個很輕的細線系著一個有質(zhì)量

7、的質(zhì)點，這個模型叫做單擺．在實驗室里，如果懸掛物體的細線的伸縮和質(zhì)量可以忽略，細線的長度比物體的直徑大得多，這樣的裝置就叫做單擺． 單擺做簡諧運動的條件： 小球擺到最高點時，細線與豎直方向的夾角叫偏角．偏角很小時，單擺做簡諧運動． 2．單擺做簡諧運動的回復(fù)力 單擺做簡諧運動的回復(fù)力是由重力沿圓弧切線的分力提供（不要誤認(rèn)為是擺球所受的合外力）．當(dāng)很小時，圓弧可以近似地看成直線，．切線的分力可以近似地看做沿這條直線作用，這時可以證明． 可見，在偏角很小的情況下，單擺振動時回復(fù)力跟位移成正比而方向相反，是簡諧運動． 3．單擺的周期公式

8、 荷蘭物理學(xué)家惠更斯發(fā)現(xiàn)在偏角很小的情況下，單擺的周期跟擺長的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟擺球的質(zhì)量和振幅無關(guān)，即 式中為懸點到擺球球心間的距離，為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋? （1）單擺的等時性：往振幅較小時，單擺的周期與單擺的振幅尤天，單擺的這種性質(zhì)叫單擺的等時性． （2）單擺的周期公式：由簡諧運動的周期公式 ， 對于單擺 ， 所以 ． 周期為的單擺，叫做秒擺，由周期公式 得秒擺的擺長 ． 要點五、單擺的應(yīng)用 1．單擺的應(yīng)用 （1）計時器：利用單擺周期與振幅無關(guān)的等時性，制成計時儀器，如擺鐘等．由單擺周期公

9、式知道，調(diào)節(jié)單擺擺長即可調(diào)節(jié)鐘表快慢． （2）測定重力加速度：把單擺周期公式變形，得．由此可知，只要測出單擺的擺長和振動周期，就可以測出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取? 2．如何理解單擺的周期公式 （1）等效擺長：擺長是指擺動圓弧的圓心到擺球重心的距離，而不是一定為擺線的長．如圖中，擺球可視為質(zhì)點，各段繩長均為，甲、乙擺球做垂直紙面的小角度擺動，丙擺球在紙面內(nèi)做小角度擺動，為垂直紙面的釘子，而且，則各擺的周期為 甲：等效擺長，． 乙：等效擺長，． 丙：擺線擺到豎直位置時，圓心就由變?yōu)椋瑪[球振動時，半個周期擺長為，另半個周期擺長為，即為，

10、則單擺丙的周期為。 （2）等效重力加速度，不一定等于． ①由單擺所在的空間位置決定．由知，隨所在地球表面的位置和高度的變化而變化，高度越高，的值就越小，另外，在不同星球上也不同． 同一單擺，在不同的地理位置上，由于重力加速度不同，其周期也不同． 同一單擺，在不同的星球上，其周期也不相同．例如單擺放在月球上時，由于地，所以同一單擺在月球上的周期比在地球上的周期大，但是水平彈簧振子不受變化的影響而改變周期． ②還由單擺系統(tǒng)的運動狀態(tài)決定，如單擺處在向上加速的升降機中，設(shè)加速度為，則擺球處于超重狀態(tài)，沿圓弧的切向分力變大，

11、則重力加速度的等效值，若升降機加速下降，則重力加速度的等效值．單擺若在軌道上運行的衛(wèi)星內(nèi)，擺球完全失重，回復(fù)力為零，等效值，擺球不擺動了，周期無窮大．若擺球在擺動過程中突然完全失重，則擺球?qū)⒁阅菚r的速率相對懸點做勻速圓周運動． 一般情況下，的值等于擺球相對于加速系統(tǒng)靜止在平衡位置時，擺球所受的張力與擺球質(zhì)量的比值．即． 3．圓錐擺 如圖所示，用細線懸吊小球，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，即細線所掃過的面為圓錐面，通常我們稱為圓錐擺，實質(zhì)上圓錐擺中的小球不是振動，是勻速圓周運動． 設(shè)運動過程中細線與豎直方向夾角為，線長為，則小球做圓周運動的半徑 ， 向心

12、力 ． 由 ， 得圓錐擺的周期 ． 顯然該周期小于單擺周期，所以在用單擺測重力加速度的實驗中，強調(diào)擺球必須在豎直面內(nèi)擺動． 4．?dāng)[鐘快慢問題的分析方法 擺鐘是單擺做簡諧運動的一個典型應(yīng)用，其快慢不同是由擺鐘的周期變化引起的，分析時應(yīng)注意： （1）由擺鐘的機械構(gòu)造所決定，擺鐘每完成一次全振動。擺鐘所顯示的時間為一定值，也就是走時準(zhǔn)確的擺鐘的周期。 （2）在擺鐘機械構(gòu)造不變的前提下，走時快的擺鐘，在給定時間內(nèi)全振動的次數(shù)多，周期小，鐘面上顯示的時間快．走時慢的擺鐘，在給定時間內(nèi)全振動的次數(shù)少，周期大，鐘面上顯示的時間就慢．因鐘面顯示的時間總等于擺

13、動次數(shù)乘以準(zhǔn)確擺鐘的周期，即，所以在同一時間內(nèi)，鐘面指示時間之比等于擺動次數(shù)之比． （3）無論擺鐘走時是否準(zhǔn)確，鐘面上顯示的時間，其中為走時準(zhǔn)確擺鐘的周期，為全振動的次數(shù)．同時對于走時不準(zhǔn)確的擺鐘，要計算其全振動的次數(shù)，不能用鐘面上顯示的時間除以其周期，而應(yīng)以準(zhǔn)確時間除以其周期，即． 【例】甲、乙兩只相同的擺鐘同時計時，當(dāng)甲擺鐘指示時，乙擺鐘已指示，則甲、乙兩擺鐘的擺長之比。 【解析】 設(shè)甲、乙兩擺鐘經(jīng)過的時間為，周期分別為，標(biāo)準(zhǔn)鐘的周期為．則兩鐘在時間內(nèi)完成全振動次數(shù)為 　　，． 兩鐘顯示的時間為： 　　，。 所以 ． 由

14、 ， 得 　?。? 【答案】16∶9 【說明】本題兩擺鐘所用時間相同，但顯示的時間各不相同，無法判斷哪只擺鐘準(zhǔn)確，也可能都不準(zhǔn)確，但對同一只擺鐘每振動一次所顯示的時間是一樣的．?dāng)[鐘所顯示的時間就是擺的振動次數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)鐘的周期的乘積． 【典型例題】 類型一、對簡諧運動的理解 例1．如圖所示，水平面的輕彈簧一端與物體相連，另一端固定在墻上點，已知物體的質(zhì)量為，物體與水平面間的動摩擦因數(shù)，彈簧的勁度系數(shù)．現(xiàn)用力拉物體，使彈簧從處于自然狀態(tài)的點由靜止開始向左移動，這時彈簧具有彈性勢能，物體處于靜止?fàn)顟B(tài)．若取，則撤去外力后（ ）．

15、 A．物體向右滑動的距離可以達到 B．物體向右滑動的距離一定小于 C．物體回到點時速度最大 D．物體到達最右端時動能為，系統(tǒng)機械能不為 【答案】B、D 【解析】如圖所示，物體由最大位移處釋放，在彈力作用下向右加速，由于受滑動摩擦力的作用，物體向右運動時的平衡位置應(yīng)在點左側(cè)處， 由平衡條件 得 ， 即 由簡諧運動的對稱性可知到達點右側(cè)的點時物體速度減小為零，即 ， A項錯誤，B項正確；在平衡位置處速度最大，C項錯誤；物體到達最右端時動能為零，彈簧處于壓縮狀態(tài)，系統(tǒng)機械能不為零，故D項

16、正確． 類型二、簡諧振動中的牛頓第二定律 例2．如圖所示，疊放在光滑水平地面上，與自由長度為的輕彈簧相連，當(dāng)系統(tǒng)振動時，始終無相對滑動，已知，當(dāng)振子距平衡位置的位移時，系統(tǒng)的加速度為，求間摩擦力，與位移的函數(shù)關(guān)系． 【思路點撥】合理選取研究對象，在不同的研究對象中回復(fù)力不同． 【答案】 【解析】設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為后，以整體為研究對象，系統(tǒng)在水平方向上做簡諧運動，其中彈簧的彈力作為系統(tǒng)的回復(fù)力，所以對系統(tǒng)運動到距平衡位置時，有 ， 由此得 ． 當(dāng)系統(tǒng)的位移為時，間的靜摩擦力為，此時具有共同加速度，對系統(tǒng)有 　　， 　　

17、　　 ① 　　， 　　　　　　　　 ② 對A有 ，　　　　　　　　 ③ 結(jié)合①②③有 ． 【總結(jié)升華】此題綜合考查了受力分析、胡克定律、牛頓定律和回復(fù)力等概念，其解題關(guān)鍵是合理選取研究對象，在不同的研究對象中回復(fù)力不同．此題最后要求把摩擦力與位移的關(guān)系用函數(shù)來表示，即要將物理規(guī)律與數(shù)學(xué)知識結(jié)合． 舉一反三: 【變式】如圖所示，質(zhì)量為的物塊放置在質(zhì)量為的物塊上，與彈簧相連，它們一起在光滑水平面上做簡諧運動，振動過程中之間無相對運動，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為，當(dāng)物塊離開平衡位置的位移為時，間摩擦力的大小等于（ ）． A． B．

18、 C． D． 【答案】D 類型三、振動與物體平衡的綜合運用 例3．如圖所示，一質(zhì)量為的無底木箱，放在水平地面上，一輕質(zhì)彈簧一端懸于木箱的上邊，另一端掛著用細線連接在一起的兩物體和，．剪斷間的細線后，做簡諧運動，則當(dāng)振動到最高點時，木箱對地面的壓力為________。 【答案】 【解析】本題考查簡諧運動的特點及物體受力情況的分析．剪斷細線前的受力情況： 重力：，向下； 細線拉力：，向下； 彈簧對的彈力：，向上． 設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為，則此時彈簧的伸長量為 ． 剪斷細線后，做簡諧運動，其平衡位置在彈簧

19、的伸長量為處，最低點即剛剪斷細線時的位置，離平衡位置的距離為。由簡諧運動的特點知最高點離平衡位置的距離也為，所以最高點的位置恰好在彈簧的原長處．此時彈簧對木箱作用力為零，所以此時木箱對地面的壓力為． 【總結(jié)升華】在一些力學(xué)綜合題目的處理中，如果能充分考慮簡諧運動的對稱性，注意彈簧的原長點、平衡點、最高點、最低點等特殊點，可收到事半功倍的效果． 舉一反三: 【變式】 如圖所示，彈簧下面掛一質(zhì)量為的物體，物體在豎直方向上作振幅為的簡諧運動，當(dāng)物體振動到最高點時，彈簧正好為原長。則物體在振動過程中（ ）． 　　　　 A．物體在最低點時的彈力大小應(yīng)為 B．彈簧的彈性勢能和物

20、體動能總和不變 C．彈簧的最大彈性勢能等于 D．物體的最大動能應(yīng)等于 【答案】AC 【解析】A、小球做簡諧運動的平衡位置處，，．當(dāng)物體振動到最高點時，彈簧正好為原長，可知．所以在最低點時，形變量為．彈力大小為．故A正確． ?? B、在運動的過程中，只有重力和彈力做功，系統(tǒng)機械能守恒，彈簧的彈性勢能、物體的動能、重力勢能之和不變．故B錯誤． ?? C、從最高點到最低點，動能變化為，重力勢能減小，則彈性勢能增加．而初位置彈性勢能為，在最低點彈性勢能最大，為．故C正確． ?? D、在平衡位置動能最大，由最高點到平衡位置，重力勢能減小，動能和彈性勢能增加，所以物體的最大動能不等于

21、．故D錯誤． 故選AC． 【總結(jié)升華】解決本題的關(guān)鍵抓住簡諧運動的對稱性以及靈活運用能量守恒定律和機械能守恒定律． 名題詮釋 類型四、根據(jù)振動周期求擺長 例4．已知單擺完成次全振動的時間內(nèi)，單擺完成次全振動，兩擺長之差為，則兩單擺擺長與分別為（ ）． A．， B．， C．， D．， 【思路點撥】根據(jù)兩單擺在相同時間內(nèi)擺動的次數(shù)可以求出其周期關(guān)系，利用周期公式可以求出擺長． 【答案】B 【解析】該題考查的是單擺的周期公式．設(shè)兩個單擺的周期分別為和，由題意 ， 得 ． 根據(jù)單擺周期公式 ， 可知 ， 由此得 ． 則

22、 ， ． 【總結(jié)升華】根據(jù)兩單擺在相同時間內(nèi)擺動的次數(shù)可以求出其周期關(guān)系，利用周期公式可以求出擺長． 例5．如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一段光滑圓弧軌道，它對應(yīng)的圓心角小于，是的中點，也是圓弧的最低點．在間的一點和之間搭一光滑斜面并將其固定．將兩個小滑塊（可視為質(zhì)點）同時分別從點和點由靜止開始釋放，則兩個小滑塊第一次相遇時的位置（ ）． A．一定在斜面上的一點 　 B．一定在 C．一定在點 D．不知道斜面的長短，無法判斷 【總結(jié)升華】當(dāng)時，可認(rèn)為滿足簡諧振動條件，故為單擺模

23、型． 【答案】A 【解析】點是最低點，是圓弧上兩點，對應(yīng)圓弧半徑為，由“等時圓”可知，到歷時 ， 光滑圓弧軌道所對應(yīng)的圓心角小于，小滑塊由到做簡諧運動，由單擺周期公式 得 ， 所以 ， 故相遇時應(yīng)在上的一點，A項正確． 【總結(jié)升華】圓弧形軌道上的運動時，當(dāng)時，可認(rèn)為滿足簡諧振動條件，故為單擺模型． 類型五、單擺在加速系統(tǒng)中的振動 例6．在一加速系統(tǒng)中有一擺長為的單擺． （1）當(dāng)加速系統(tǒng)以加速度豎直向上做勻加速運動時，單擺的周期多大？若豎直向下加速呢？ （2）當(dāng)加速系統(tǒng)在水平方向以加速度做勻加速直線運動時，單擺的周期多大？ 【答案

24、】（1）, （2） 【解析】（1）當(dāng)單擺隨加速系統(tǒng)向上加速時，設(shè)在平衡位置相對靜止的擺球的視重力為，如圖甲所示， 　　　　 則 ， 故 ， 由 得視重力加速度 ， 所以單擺周期 ． 同理，當(dāng)單擺隨加速系統(tǒng)豎直向下加速時，視重力 ， 則視重力加速度 ， 故 ． （2）當(dāng)在水平方向加速時，相對系統(tǒng)靜止時擺球的位置如圖乙所示，視重力 。 故視重力加速度 ， 所以周期 ． 類型六、月球上的擺鐘問題 例7．將在地面上校準(zhǔn)的擺鐘拿到月球上去，若此鐘在月球上記錄的時間是，那么實際的時間是多少?若要在月球上使該鐘與地面上時一樣準(zhǔn)，應(yīng)如何調(diào)節(jié)？（已

25、知） 【總結(jié)升華】擺鐘指示的時間與擺鐘振動的次數(shù)成正比． 【答案】將擺長調(diào)到原來的 【解析】設(shè)在地球上該鐘的周期為，在月球上該鐘的周期為，指示的時間為．則在月球上該鐘在時間內(nèi)振動的次數(shù)為 ． 在地面上振動次數(shù)為時所指示的時間為，則有 ， 即 ， 所以 ． 所以在月球上記錄時間是，則地面上的實際時間為． 要使其與在地面上時走得一樣準(zhǔn)，則 ， 即 ， ． 即應(yīng)將擺長調(diào)到原來的． 【總結(jié)升華】擺鐘指示的時間與擺鐘振動的次數(shù)成正比． 類型七、單擺振動與力學(xué)綜合 例8．?dāng)[長為的單擺在平衡位置的左右做擺角小于的運動，當(dāng)擺球經(jīng)過平衡位置

26、（在點的正上方）向右運動的同時，另一個以速度在光滑水平面上運動的小滑塊恰好經(jīng)過點向右運動，如圖所示，小滑塊在與豎直擋板碰撞后以原來的速率返回，略去碰撞所用時間，試問： （1）間的距離滿足什么條件，才能使滑塊剛好返回點時，擺球也同時到達點且向左運動？ （2）間的最小距離是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】滑塊從向右運動到返回點所用的時間等于單擺的半個周期再加整數(shù)倍周期，當(dāng)滑塊返回點所用的時間為半個周期時間距離最?。? （1）設(shè)小滑塊做勻速直線運動從過點到再次返回到點所用時間為，，則 ， 設(shè)單擺做簡諧運動回到點且向左運動所需時間為， （）， 其中 ， 由題意可知 ， 所以 。 即 （）． （2）當(dāng)時，的距離最小， ． 【總結(jié)升華】 考查單擺振動與力學(xué)知識綜合，關(guān)鍵是要找到相應(yīng)物理量之間的美系．